6.1.1 向量的概念-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 6.1 6.1 平面向量及其线性运算 2 6.1 6.1.1 向量的概念 刷基础 3 1.[山东菏泽2024高二月考] 下列物理量：①速度；②力；③路程；④密度；⑤功.其中不是向量 的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 向量的基本概念 4 解析 因为向量既有大小又有方向,所以此题中速度、力是向量，路程、密度、功不是向量，即不 是向量的有3 个.故选C. 题型1 向量的基本概念 5 名师点拨判断一个量是不是向量，关键看它是否具有向量的两个要素：大小和方向.同时具备这两 个要素的量是向量；否则就不是向量. 题型1 向量的基本概念 6 2.下列说法正确的是 ( ) D A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 题型1 向量的基本概念 7 解析 向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小. 题型1 向量的基本概念 3.[江苏南京师大附中2024高一期末] 设点是正三角形的中心，则向量，， 是 ( ) B A.共起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量 题型1 向量的基本概念 9 解析 向量的起点是点A，,的起点是点 ，故A错误； 因为点是正三角形的中心，所以，， 是模相等的向量，故B正确； 这三个向量方向不同，不是共线向量，故C错误； 这三个向量方向不同，不是相等向量，故D错误.故选B. 题型1 向量的基本概念 10 4.（多选）下列结论正确的是( ) BD A.向量必须用有向线段来表示 B.表示一个向量的有向线段不是唯一的 C.有向线段和是同一向量 D.有向线段和 的长度相等 题型1 向量的基本概念 11 解析 向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自 由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，与它的具体位置无关，所以表示一个向量的 有向线段不是唯一的，选项B正确；有向线段和 的方向相反，长度相等，不为同一向量，所 以选项C错误，D正确.故选 . 题型1 向量的基本概念 12 5.[江苏宿迁2024高一开学检测] 下列命题是真命题的是________. ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位 向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线. ①③⑤ 题型1 向量的基本概念 13 解析 对①，由零向量的定义知①正确； 对②，零向量的方向是任意的，故②不正确； 对③，根据单位向量的定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④，单位向量的方向可以不同，故④错误； 对⑤，任意向量与零向量都共线，故⑤正确. 故答案为①③⑤. 题型1 向量的基本概念 14 6.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半 个棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在 处，可跳 到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在 处 或处，则以, 为始点表示马走了“一步”的向量共有____个. 11 解析 此题中，马在处有三条路可走，在处有八条路可走.如图，以 点为始点 作有向线段表示向量，共3个；以 点为始点作有向线段表示向量，共8个.所 以共有11个. 题型1 向量的基本概念 15 7.[辽宁沈阳一二○中学2023高一期末] 已知向量，，则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 题型2 向量的模 16 解析 当时，向量,的方向可能不同，所以与可能不相等，当时， ， 所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 题型2 向量的模 17 8.[安徽合肥一中2023高一月考] 若在中，，，且， ， 则 的形状是( ) D A.等边三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 题型2 向量的模 18 解析 因为，，，所以,且 ，所 以 为等腰直角三角形．故选D. 题型2 向量的模 19 9.[山东威海2024高一月考] 在如图所示的半圆中，为直径，点为圆心， 为 半圆上一点，且 ，，则 ( ) A A.1 B. C. D.2 题型2 向量的模 20 解析 由得 . 因为C为半圆上的点，所以 ，所以 ．故选A. 题型2 向量的模 21 10.把同一平面内所有模不小于1、不大于2的向量的始点移到同一点 ，则这些向量的终点所构成 的图形的面积为____. 解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为 . 题型2 向量的模 22 11.若地位于地正西方向处，地位于地正北方向处，则地相对于 地的位移是 _________________. 西北方向 解析 根据题意画出图形如图所示，由图可知，且 ，故地相对于 地的位移是西北方向 . 题型2 向量的模 23 12.在如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长为1,已知向量 . （1）试以点为始点画一个向量，使 ； 【解】根据相等向量的定义，所作向量应与 平行，且长度相等、方向相同，如图所示. 题型2 向量的模 24 （2）画一个以点为始点的向量，使，并说出 的终点的轨迹是什么，然后作出轨迹； [答案] 由平面几何知识可作满足条件的一个向量.满足的向量的终点的轨迹是以点 为圆 心，2为半径的圆，如图所示. 题型2 向量的模 25 （3）试以点为始点画一个向量，使，且与 方向相反. [答案] 如图所示. 题型2 向量的模 26 13.下列结论正确的是( ) B ①若且，则； ②若，则且 ； ③若与方向相同且，则； ④若，则与的方向相反且 . A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 题型3 向量的相等与平行 27 解析 ①若且，则与 可能存在方向相反的情况，①错； ②若，则且 ，②正确； ③若与方向相同且，则 ，③正确； ④若，则与的方向不定，且与 的大小也不定，④错．故选B. 题型3 向量的相等与平行 28 14. 如图，在梯形中,,，与交于点，且经过点 ， 则相等的向量是( ) D A.与 B.与 C.与 D.与 题型3 向量的相等与平行 29 解析 与，与，与的方向都不相同，故都不是相等向量.与 方向相同，长 度相等，为相等向量,故选D. 题型3 向量的相等与平行 30 链接教材此题由教材第139页例3改编.判断相等向量要把握向量的两个要素：大小和方向，相等 向量必须二者都相同才成立．同时，向量是可以平移的，相等向量的始点并不一定要相同． 题型3 向量的相等与平行 31 15.[福建厦门二中2024阶段考试] 下列命题不正确的是( ) A A.零向量是唯一没有方向的向量 B.若向量与不共线，则与 都是非零向量 C.与是平行向量 D.若，，则 题型3 向量的相等与平行 32 解析 A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B选项，若与中有一个是零向量，则与 共线，故B正确； C选项，与 方向相反，是平行向量，故C正确； D选项，由向量相等的定义知D正确.故选A. 题型3 向量的相等与平行 33 16.[陕西师大附中2023期中] 设为单位向量，有下列命题：①若 为平面内的某个向量，则 ；②若与平行，则与同向；③若与平行且，则 ，其中假命题 的个数是( ) D A.0 B.1 C.2 D.3 题型3 向量的相等与平行 34 解析 向量是既有大小又有方向的量，与 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题； 若与平行，则与 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，故②③也是假命题. 综上所述，假命题的个数是3.故选D. 题型3 向量的相等与平行 35 17.[山东潍坊五县市2023高一期中联考] 如图所示，在长方体中， ， ， ，以长方体的八个顶点的两点分别为始点和终点的向量中： （1）单位向量共有多少个？ 【解】由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量分别为，，， ， ，，， ，这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. 题型3 向量的相等与平行 36 （2）试写出模为 的所有向量. [答案] 由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，， ， ，，，， . （3）试写出与 相等的所有向量. [答案] 与相等的向量（除它自身之外）有，和 . 题型3 向量的相等与平行 37 18.（多选）[重庆新高考协作体2024高一联合调研] 下列叙述错误的是( ) ABCD A.若，则 B.若，则与 的方向相同或相反 C.若，，则 D.对任一向量， 是一个单位向量 易错点1 忽略零向量的特殊情况致误 38 解析 向量不能比较大小，故A错误；由于零向量与任一向量共线，且零向量的方向是不确定的， 故B错误；对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；对于D，当时， 无意义，故D错误.故选 . 易错点1 忽略零向量的特殊情况致误 39 易错警示求解向量问题时，要注意题目中的向量能否为零向量，零向量是特殊向量，方向是不确定的. 易错点1 忽略零向量的特殊情况致误 19.（多选）在等边三角形中，点，，分别是，，的中点，则与向量 相等的 向量是( ) BD A. B. C. D. 易错点2 找相等向量时没有考虑方向致误 41 解析 向量相等要求向量的模相等，方向相同，因此与都是和 相等的向量. 易错点2 找相等向量时没有考虑方向致误 易错警示向量的模相等且方向相同是向量相等的充要条件，二者缺一不可，此题易忽视向量的方 向，误认为C选项也符合题意，导致错选. 易错点2 找相等向量时没有考虑方向致误 43 $$