5.1.2 数据的数字特征-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 5.1 5.1 统计 2 5.1 5.1.2 数据的数字特征 刷基础 3 1.一组数据28，27，26，24，23，22的中位数为( ) B A.26 B.25 C.24 D.26和24 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 4 解析 数据28，27，26，24，23，22的中位数为 .故选B. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 5 2.[辽宁朝阳2024高一期末] 抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为81，84，82，86，87，92， 90，85，则该学生这8次成绩的 分位数为( ) A A.85 B.85.5 C.86 D.86.5 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 6 解析 把该同学的8次数学成绩按照从小到大的顺序排列为81,82,84,85,86,87,90,92, 由可得该学生这8次成绩的 分位数应为第四个数，即85，故选A. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 7 规律方法 求 分位数的一般步骤 （1）排序：首先要将所有数据按从小到大排列，排列后的数据为,, , ； （2）计算 ; （3）定数：若不是整数，设大于的最小整数为，则分位数为第项数据;若 是整数，则 分位数为第项和第项的平均数 . 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 8 3.[山东东营2023高一期末] 十名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是：15，17，14， 10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为，众数为，第一四分位数为，则，， 的 大小关系为( ) B A. B. C. D. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 9 解析 对生产件数由小到大排序为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17， 所以中位数,众数 ， ，所以第一四分位数为第三个数，即 ， 所以 ，故选B. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 10 4.[四川绵阳2024高二月考] 某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如表： 命中球数 46 47 48 49 50 频数 2 4 4 6 4 则这组数据的中位数和众数分别为( ) D A.48，4 B.，4 C.48，49 D. ，49 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 11 解析 数据总个数为20，因此中位数是第10个与第11个数据的平均数，即 ，众数为 出现次数最多的数据，即数据49（出现6次），故选D. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 12 5.[江西抚州临川一中2024高一月考] 已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据 （单位：分）从小到大排列后，得到甲队：7，12，12，20，，31；乙队：8，9， , 19，25，28.这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则和 的值分别为( ) C A.2和3 B.0和2 C.0和3 D.2和4 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 13 解析 由题意得甲队的平均数为 ， 乙队的平均数为 ， 又甲队的中位数为，所以乙队的中位数为，即 ， 故,得 . 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 14 6.在从小到大排列的数据：20,21,25,31,31, ,34,42,43,45,47,48中,有一个数字被污染而模糊不 清,但曾计算得该组数据的最小值与中位数之和为53,则被污染的数字为( ) C A.31 B.33 C.32 D.34 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 15 解析 设被污染的数字为，又该组数据的最小值为20，则中位数为 ，所以 ,解得 .则被污染的数字为32.故选C. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 16 7.对共有10人的一个数学小组做一次数学测试,测试题由10道单项选择题构成,每答对1题得5分,答 错或不答得0分,批阅后的统计得分情况如表所示: 得分 50分 分 分 分 人数 2 4 8 10 则这次测试的平均成绩为____分. 42 解析 由题意，得50分的有2人,得45分的有2人,得40分的有4人,得35分的有2人,则平均成绩为 （分）. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 17 8.根据所给的以下数据：,,，，，,,,,,求这组数的 分 位数, 分位数. 【解】把这组数据从小到大排序，得,，，,,,,, , ，，所以分位数为，,所以 分位数为 . 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 18 9.下列对一组数据的分析，说法不正确的是( ) B A.数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C.数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 题型2 极差、方差与标准差 19 解析 极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中.方差、标准差是用来衡量一 组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越 不稳定.方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高.平均数越小，说明数据整体上偏小， 不能反映数据稳定与否.故选B. 题型2 极差、方差与标准差 20 10.（多选）[辽宁抚顺一中2023高一期末] 《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等， 共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间 （单位： ）分别为93，93，88，81，94，91，90．则这组时间数据的( ) AB A.极差为13 B.平均数为90 C.方差为25 D.中位数为92 题型2 极差、方差与标准差 21 解析 对于A，可得该组数据的极差为 ，故A正确； 对于B，平均数为 ，故B正确； 对于C，方差 ，故C不正确；对于D，中位数为91，故D不正确.故选 . 题型2 极差、方差与标准差 22 11.某公司10位员工的月工资（单位：元）分别为，， ，，其平均数和方差分别为 和 ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为 ( ) D A.， B.， C.， D., 题型2 极差、方差与标准差 23 解析 平均数为 ; 方差为 ,故选D. 题型2 极差、方差与标准差 24 规律方法 数据,, ，的平均数为,方差为,那么,, ， 的平均数为 ,方差为 . 题型2 极差、方差与标准差 25 12.（多选）[河南焦作普通高中2024高一期末联考] 已知一组数据,, , ，由生成一组新数据，， ， ，则 ( ) CD A.新数据的平均数一定比原数据的平均数大 B.新数据的中位数一定比原数据的中位数大 C.新数据的标准差一定比原数据的标准差大 D.新数据的极差一定比原数据的极差大 题型2 极差、方差与标准差 26 解析 对于A，设,, ,的平均数为，即 ， 则新数据，， ，的平均数为 ， 当时， ，故A错误； 对于B，设,, ,的中位数为，由于函数 单调递增， 则新数据，， ，的中位数为 ， 当时， ，故B错误； 题型2 极差、方差与标准差 27 对于C，设,, ,的标准差为，则 ， 由A选项得新数据，， ，的平均数为 ，故新数据的方差为 ，故新数据的标准差为，由于 ，故 ，C正确； 对于D，设,, ,的极差为，由于函数 单调递增， 故新数据的极差为，由于，故 ,D正确. 故选 . 题型2 极差、方差与标准差 28 13.（多选）[重庆巴蜀中学2024月考] 小明参加唱歌比赛，现场8位评委给分分别为:15,16,18,20, 20,22,24,25.按比赛规则，计算选手最后得分时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现去掉 这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是( ) ACD A.平均数 B.极差 C.中位数 D.众数 题型2 极差、方差与标准差 29 解析 对于A，去掉最高分和最低分之前，8个数据的平均数为 ， 去掉最高分和最低分之后，个数据的平均分为 ，A正确； 对于B，去掉最高分和最低分之前，8个数据的极差为10，去掉最高分和最低分之后，6个数据的 极差为8，B错误； 对于C，去掉最高分和最低分之前，8个数据的中位数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据 的中位数为20，C正确； 对于D，去掉最高分和最低分之前，8个数据的众数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据的 众数为20，D正确.故选 . 题型2 极差、方差与标准差 30 14.（多选）[河南南阳六校2024高一期末] 某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环 境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区 的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推 断，环境治理一定达标的地区是( ) AD A.甲地区：平均数为90，方差为10 B.乙地区：平均数为60，众数为50 C.丙地区：中位数为50，极差为70 D.丁地区：中位数为80，极差为20 题型2 极差、方差与标准差 31 解析 设每天的空气质量指数为，平均数为,则方差为 . 对于A，由，得 ，若这10天中有1天的空气质量指数大于 或等于100，则必有 ，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都小于100， 故A正确； 对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的 环境治理不达标，故B错误； 对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不 达标，故C错误； 对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与中位数为80矛盾，故最大 值不大于100，故D正确.故选 . 题型2 极差、方差与标准差 32 15.已知一组样本数据,, ，,且，平均数 ，则该组数据 的方差为______． 58.2 解析 因为一组样本数据,, ,，且，平均数 ， 所以该组数据的方差为 . 题型2 极差、方差与标准差 33 16.[陕西汉中2024高一期末校际联考] 甲、乙两名射击运动员在某次比赛中各射击6次得到的环 数如表所示. 甲 9 10 6 9 6 8 乙 5 10 10 7 10 6 （1）分别求出甲、乙运动员6次射击得到的环数的平均数； 【解】由题中甲、乙运动员的6次射击成绩可得甲6次射击得到的环数的平均数为 ; 乙6次射击得到的环数的平均数为 . 题型2 极差、方差与标准差 34 （2）分别求出甲、乙运动员这6次射击数据的方差，并根据计算结果说明本次比赛哪位运动员的 发挥更稳定. [答案] 甲射击环数的方差为 ； 乙射击环数的方差为 . 由于 ，因此甲运动员的发挥更加稳定. 题型2 极差、方差与标准差 35 名师点拨本题考查平均数与方差在实际生活中的应用.方差刻画的是数据的离散程度，在平均数相 等的情况下，方差越小，数据越稳定. 题型2 极差、方差与标准差 36 17.下列说法不正确的是( ) D A.方差是标准差的平方 B.标准差的大小不会超过极差 C.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0 D.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在 样本平均数周围越分散 易错点1 对方差、标准差的含义理解不透而致误 37 解析 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数 据在样本平均数的周围越分散.因此不正确的是D. 易错点1 对方差、标准差的含义理解不透而致误 38 易错警示标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程 度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. 易错点1 对方差、标准差的含义理解不透而致误 39 18.某班有48名学生，在一次考试中统计出成绩的平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学 的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是 ( ) B A.70，25 B.70，50 C.70， D.65，25 易错点2 平均数与方差因计算不准致错 40 解析 甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，因此平均分不发生变化. 设除甲、乙外的其余46名学生的分数（单位：分）分别为,, , ，则原方差为 , 更正后方差为 ,故选B. 易错点2 平均数与方差因计算不准致错 41 易错警示方差的简化计算公式： 或写成 ，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方. 易错点2 平均数与方差因计算不准致错 42 $$