4.2.3 对数函数的性质与图象-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4.2 4.2 对数与对数函数 2 4.2 4.2.3 对数函数的性质与图象 刷基础 3 1.给出下列函数：；；； . 其中是对数函数的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 对数函数的概念 4 解析 ①不是对数函数，因为这是多项式；②不是对数函数，因为②中对数的真数不是只含有自 变量 ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 题型1 对数函数的概念 5 归纳总结判断一个函数是对数函数，函数必须具有且 的形式，即必须满足 以下条件： ①系数为1； ②底数为大于0且不等于1的常数； ③对数的真数仅有自变量 . 题型1 对数函数的概念 6 2.若函数是奇函数，当时，，则 ( ) C A.2 B. C. D. 题型1 对数函数的概念 7 解析 因为函数是奇函数，所以，所以 . 因为当时，，所以 .故选C. 题型1 对数函数的概念 8 3.[辽宁辽河2024高一期末] 若对数函数的图象过点，则 ____. 题型1 对数函数的概念 9 解析 设对数函数,且.因为函数图象过点 , 所以,得 , 所以 . 题型1 对数函数的概念 10 名师点拨若已知对数函数的图象过定点，求对数函数的解析式时常用待定系数法.设函数解析式为 ，将定点的坐标代入后利用指对互化或指数幂的运算性质求 . 题型1 对数函数的概念 11 4.已知函数且 的图象如图所示，则以下说 法正确的是( ) C A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 12 解析 由题图可知在定义域内单调递增，所以 . 令，即，所以函数的零点为 ，结合函数图象可知 ，所以，因此 ，故A错误； ，又因为，所以，因此 不一定成立，故B错误； 因为，即，且，所以 ，故C正确； 因为，所以，即 ，故D错误.故选C. 题型2 对数函数的图象 13 5.[北京二中2023高一段考] 为得到函数的图象，可以将函数 的图象( ) A A.向下平移3个单位长度 B.向上平移3个单位长度 C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度 题型2 对数函数的图象 14 解析 由，将函数 的图象向下平移3个单位长 度得到 的图象.故选A. 题型2 对数函数的图象 15 6.[陕西咸阳2024高一质量检测] 函数,, , 的图象如图所示，则,,, 的大小顺序是( ) A A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 16 解析 在题图中作出直线,则,,,，解得 , ,,，由图可知,即 ，故选A. 题型2 对数函数的图象 17 7.函数且 的图象过定点( ) C A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 18 解析 由于函数且的图象恒过点，则令，得 ， ，故函数且的图象恒过定点 .故选C. 题型2 对数函数的图象 19 规律方法一般地，对数函数的图象过定点 ,据此，可解决形如 的图象过定点的问题，即令,得 ,所以函 数图象过定点 . 题型2 对数函数的图象 20 8.[广东广州2024高一期中] 在同一平面直角坐标系中，函数， 且 的图象可能是( ) A A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 21 解析 对于A,B,若图象正确,则,所以单调递减,又当 时, ,故A正确,B错误； 对于C,D,若图象正确,则,所以 单调递增,故C,D错误.故选A. 题型2 对数函数的图象 22 归纳总结 底数和对数函数且 单调性的关系 （1）当时,对数函数为增函数；（2）当时,对数函数 为减函数. 题型2 对数函数的图象 23 9. [山东烟台2024高一月考] 函数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 24 解析 由题意可得解得 ，故选B. 题型3 对数函数的性质 25 链接教材此题由教材第27页例3改编，求函数定义域应满足以下原则： （1）分式中分母不等于0； （2）偶次根式中被开方数大于或等于0； （3）指数为0的幂的底数不等于0； （4）对数的真数大于0. 题型3 对数函数的性质 26 10.[浙江杭州重点中学2024高一期中联考] 函数 的值域为( ) C A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 27 解析 ,设 ,则 ,故函数的值域为 .故选C. 题型3 对数函数的性质 28 11.（多选）下列各组对数值的大小比较中正确的一组是( ) ABC A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 29 解析 根据在 上为减函数，易知A正确； 由 可知B正确； 由 可知C正确； 由可知，，D错误.故选 . 题型3 对数函数的性质 30 归纳总结对数值大小的比较 （1）若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. （2）若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 题型3 对数函数的性质 31 12.[湖北荆州2024月考] 已知函数在上单调递增，则 的取值范围 是( ) A A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 32 解析 对于函数，令，解得或，所以函数 的定义域为，又在上单调递减，在 上单调递 增，在定义域上单调递增，所以在 上单调递减，在 上单调递增.因为函数在上单调递增，所以，即 的 取值范围是 .故选A. 题型3 对数函数的性质 33 名师点拨 复合函数单调区间的求法 （1）“定义域优先”原则，单调区间是定义域的子集； （2）分析出内层函数和外层函数的单调性，再利用“同增异减”的原则得到复合函数的单调性. 注意：对数函数不要忽略真数大于0的限制. 题型3 对数函数的性质 34 13.[辽宁大连2024高一期末] 设,为实数，则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型3 对数函数的性质 35 解析 因为函数为上的增函数，又，所以 ，所以 ，又函数在上单调递减，所以，所以“ ” 是“”的充分条件.因为函数在上单调递减，又 ，所以 ,当为负数时，没有对数值，所以“”不是“ ”的必要条件， 所以“”是“ ”的充分不必要条件，故选A. 题型3 对数函数的性质 36 特别注意求解与对数函数有关的不等式问题，主要是利用对数函数的单调性转化为比较真数的大 小，转化时不要忽略对数的真数大于0的条件. 题型3 对数函数的性质 37 14.[山东临沂2023高一期中] 函数是定义在上的单调函数，且对定义域内的任意 ， 均有，则 ( ) B A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 38 解析 设，则 ， 而是定义在上的单调函数，故 为常数， 所以且，故 ， 设，因为,均为 上的增函数， 所以为 上的增函数. 因为，故的解为 ， 所以，故 ，故选B. 题型3 对数函数的性质 39 15.[湖南长沙雅礼中学2024高一期中] 已知函数,且，若对 , ，都有，则实数 的取值范围为_______________. 题型3 对数函数的性质 40 解析 当时,在 上单调递增, 因为对,,都有,所以,所以 ,所以 ,解得 ； 当时,在 上单调递减, 因为,,都有,所以,所以 ,所以 ,解得 . 综上,实数的取值范围为 . 题型3 对数函数的性质 41 16.[河北邯郸2024高一月考] 已知，且满足不等式 . （1）求实数 的取值范围； 【解】因为，，所以，所以 . （2）解不等式 ； [答案] 因为，所以等价于 解得 , 所以的解集为 . （3）若函数在区间上有最小值，求实数 的值. [答案] 因为，所以函数在 上单调递减，所以 ，所以,即,所以 . 题型3 对数函数的性质 42 17.若，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略对底数的讨论导致单调性的不同而致错 43 解析 当时，,解得，所以此时的取值范围为;当 时，,解得，所以此时的取值范围为.综上，实数 的取值范围是 .故选D. 易错点1 忽略对底数的讨论导致单调性的不同而致错 44 易错警示由于对数函数的单调性与对数的底数有关，因此当对数的底数含参数时，要研究与函数 单调性有关的问题（如最值、不等式等），需要根据底数与1的大小关系分类讨论. 易错点1 忽略对底数的讨论导致单调性的不同而致错 45 18.函数 的单调递增区间是( ) D A. B. C. D. 易错点2 忽略复合函数中函数的定义域而致错 46 解析 令，解得或 . 由于函数在上单调递减，在上单调递增，且在 上 单调递增，所以的单调递增区间是 ，故选D. 易错点2 忽略复合函数中函数的定义域而致错 47 易错警示求解与对数函数有关的复合函数问题时首先要保证对数的真数大于0，另外复合函数的 单调性的判断口诀为“同增异减”，即内外层单调性一致时单调递增，内外层单调性相反时单调 递减.由于函数的单调区间必然是定义域的子集，因此本题的易错点是忽视函数的定义域以及复合 函数单调性的判断方法. 易错点2 忽略复合函数中函数的定义域而致错 48 19.[辽宁省实验中学等五校2024高一期末] 已知函数，若 在区间 内单调递减，则实数 的取值范围是______. 易错点3 含参数的对数函数问题中忽视真数大于0的条件而致错 49 解析 因为函数在区间内单调递减,设 , 所以在区间上单调递减,且在区间 上恒成立. 当时, ,满足题意； 当时,,其图象开口向下,则在区间 上不是单调递减的,不满足 题意； 当时, , 所以解得 . 综上可得 . 易错点3 含参数的对数函数问题中忽视真数大于0的条件而致错 50 易错警示求解与对数函数有关的含参数的复合函数问题时，不但要结合复合函数的单调性列出关 于参数满足的不等式，还要满足对数的真数大于0的条件. 易错点3 含参数的对数函数问题中忽视真数大于0的条件而致错 51 20.[四川绵阳南山中学2023高一期中] 已知函数满足 时， 恒有 成立，那么实数 的取值范围是______. 解析 由条件时，恒有成立，可知函数 单调递增. 由单调递增，可知,且 , 由单调递增，可知,即 . 由在上单调递增，可得 ，解 得.综上, . 易错警示函数单调性的一致性，要求分段函数中端点值的大小关系也是确定的. 易错点4 忽略分段函数定义域的分界点而致错 52 4.2 4.2.3 对数函数的性质与图象 刷提升 53 1.[重庆八中2024高一月考] 已知函数，则 的定义域为 ( ) A A. B. C. D. 54 解析 由题得则,得,的定义域为 , 的定义域为 .故选A. 55 2.[辽宁省实验中学2024高一月考] 已知,,，则,, 的大小关系为 ( ) C A. B. C. D. 56 解析 ； ； . 故 .故选C. 57 规律方法 比较大小的常见方法 （1）根据单调性比较大小； （2）作差法比较大小； （3）作商法比较大小； （4）中间量法比较大小. 58 3.已知函数在内恒有，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 59 解析 由，得.若恒成立，则， . 60 4.[福建福州四校2024高一期末联考] 函数 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 61 解析 恒成立,排除C,D； 的定义域为 ,排除A.故选B. 62 5.已知函数的值域为，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 63 解析 时,，又函数的值域为 ，则 解得，即 .故选C. 64 规律方法当对数型函数的值域为时，其真数部分要取遍 内的所有值，此时若真数部分可看 成二次函数，则该二次函数的图象应开口向上，且与 轴有公共点，函数的定义域为二次函数图象 在轴上方部分对应的的取值范围.当对数型函数的定义域为时，即自变量 能取遍所有的实数值， 此时若真数部分可看成二次函数，则问题转化为该二次函数的函数值大于0的恒成立问题. 65 6.已知函数，，其中且 ，则函数 ， 的奇偶性分别是( ) B A.是奇函数，是奇函数 B.是偶函数， 是奇函数 C.是偶函数，是偶函数 D.是奇函数， 是偶函数 66 解析 ，的定义域均为， ， ，是偶函数， 是奇函数. 67 7.[四川成都2024高一期中] 若 ，则( ) D A. B. C. D. 68 解析 ,即 . 设,则函数在 上单调递增, ,即,故 ； ,即,故 . 综上所述, .故选D. 69 8.[湖北部分重点中学2023高一期末] 中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基 础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以 切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变. 利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当 时的解析式为 则函数在时的图象与直线 所围成的封闭 图形的面积为( ) C A.4 B.8 C.16 D.32 70 解析 由题意知，的图象关于直线 对称， 而当时， 且， ， 在时，及 的图象如图所示， 将所围成的图形在轴下方的阴影区域分成两部分补到 轴上方的阴影区域， 可得到由轴、轴、直线、直线 所围成的矩形区域， 函数在时的图象与直线所围成的封闭图形的面积为 .故选C. 71 9.（多选）[山东德州2023高一期末] 已知函数若 （,,互不相等），则 的值可以是( ) BC A. B. C.0 D.1 72 解析 因为的图象是由的图象保留轴上方的图象，再把 轴下方的图象沿着 轴往上翻折得到的图象，所以分段函数 的图象如图所示. 不妨设， ， 由的图象关于直线对称可得 ， 又，所以 ， 故的值可以是,0，故选 . 73 10.[河南开封五县2024高一期中联考] 若是方程的实数解，则 属于区间 ( ) C A. B. C. D. 74 解析 令,则在定义域 上单调递增, 又, , , , 所以 , 所以在上存在唯一零点,即存在使得 .故选C. 75 11.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减.若实数 满足 ，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 76 解析 是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 函数在 上单调递增， 不等式 ， 可转化为，即 , 则.又函数在 上单调递增， ，即，解得 .故选D. 77 思路导引，又函数为偶函数，则不等式转化为 ， 结合函数单调性和奇偶性脱掉“”得，求解即得 的取值范围. 78 名师点拨 常见的对数不等式的三种类型 ①形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论． ②形如的不等式，应将化成以为底的对数式的形式，再借助 的单调性求解． ③形如 的形式，可利用图象求解． 12.[湖南师大附中2024高一期中] 函数且 的图象恒过定点 .若对任意正数，都有，则 的最小值是( ) D A.2 B. C.1 D. 80 解析 对于函数且 , 令,可得,且,所以,即, . 对任意的正数,都有,即,则 , 所以 , 当且仅当即 时,等号成立. 所以的最小值是 .故选D. 81 13.若，则的值为___；若且，则实数 的取值范 围为______. 解析 因为,所以，则，所以 . 因为，当时， ，所以不等式无解. 当时， 是定义域内的减函数， 所以等价于，所以.综上，实数 的取值范围为 . 82 14.定义在上的函数满足已知当时，，则 ___. 解析 因为，所以.又 ，所以 . 83 15.已知对数函数的图象过点，则不等式 的解集为______. 解析 设函数的解析式为且，由函数的图象过点 可得 ，即，则 . 由可得 , 即 ， 所以原不等式等价于解得 . 84 16.已知函数在区间上单调递减，则实数 的取值范围是_______. 解析 令,则.因为函数在上单调递减，所以 解 得.故实数的取值范围为 . 85 特别注意求解本题不但要考虑对数的真数在区间 的单调性，还要保证对数的真数在区间 上的最小值大于0的条件. 86 17.[山东青岛2024高一月考] 已知函数， . （1）当时，求函数 的值域； 【解】 当时，， , ， ， ， 函数的值域为 . 87 （2）若函数的最小值为，求实数 的值. [答案] 令 ， 即函数,的最小值为 . 函数图象的对称轴为直线 ， 当时，，解得 ； 当时，，解得 ； 当时，，解得 （舍去）. 综上，实数的值为或 . 88 规律方法 求对数型函数的值域 （1）对于形如 的复合函数，其值域的求解步骤如下： 首先分解成,这两个函数,然后分别求出的定义域和 的取值范围,最后利用 的单调性求解. （2）对于形如的复合函数,可利用换元法，设 ,则函数 的值域就是 的值域. 89 18.[江西宜春上高二中2024高一月考] 已知函数 . （1）写出函数 的定义域并判断其奇偶性； 【解】由函数有意义,得解得 , 所以函数的定义域为 ,关于原点对称. 由 , 所以函数 为定义域上的偶函数. 90 （2）若，求实数 的取值范围; [答案] 由函数 , 可得 , 又,所以解得 . 故实数的取值范围为 . 91 （3）若存在使得不等式成立，求实数 的最大值. [答案] 若存在使得不等式成立,即 . ,其中 . 因为函数在上单调递增,在 上单调递减, 所以函数在上单调递增,在 上单调递减, 可得,所以,即 , 所以实数的最大值为 . 92 19.[上海交通大学2023强基计划] 已知,,设,, ,则 ( ) A A. B. C. D. 93 解析 已知.因为,且,所以,即 .由 ,得,故,故 ; 由,故,故,所以 . 综上, . 94 多种解法 , 故 . 由,得,故 ； 由,得,故，所以 . 综上, .故选A. 95 20.[浙江杭州学军中学2021高一竞赛] 已知函数 ，则关于的不等式 的解集是__________. 96 解析 令，，则， 的定义域为 ， ， ，所以， 为奇函数. 又，在定义域上单调递增，所以为奇函数且在 上单调递增，所以 的图象关于点 对称. 因为，所以 的图象 关于点 对称. 所以，即，则由 ，可得 ，即，所以，解得 ，即 . 97 $$