5.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (湘教版)

数学 必修第一册 XJ 1 5.3 5.3 三角函数的图象与性质 2 5.3 课时1 正弦函数、余弦函数的图象 刷基础 3 1. 用“五点法”作 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A A.0，， ，， B.0，，，， C.0， ， ， ， D.0，，，， 题型1 画图 4 解析 与 对应五点的横坐标相同,则用“五点法”作图时,对应五个点的横坐标 分别为0,, ,, .故选A. 题型1 画图 5 链接教材 此题改编自教材第179页例1,作正弦曲线、余弦曲线时要掌握五点法作图.“五点”即 或的图象在内的最高点、最低点和与 轴的交点.“五点法”是作简图的 常用方法. 题型1 画图 6 2.函数，的图象在区间 的交点个数为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 题型1 画图 7 解析 作出函数和在上的图象,可得在区间 上的交点 横坐标分别为,,, ,共4个.故选B. 题型1 画图 8 3.函数， 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 题型2 识图 9 解析 当时, ; 当时, ; 当 时, . 结合正弦函数的图象可知B正确. 题型2 识图 10 4.[湖北荆门2024高一月考] 函数 的图象大致为( ) B A. B. C. D. 题型2 识图 11 解析 的定义域为,且,所以 是偶函 数,故排除选项A,D； 当时, ,故排除选项C.故选B. 题型2 识图 12 5.[广西南宁二中等学校2024联考] 函数 的图象大致为( ) D A. B. C. D. 题型2 识图 13 解析 由函数的定义域为,关于原点对称,且满足 , 可得 为偶函数,排除C项, 当时,可得 ,排除A,B项.故选D. 题型2 识图 14 6.不等式, 的解集是( ) A A. B. C. D. 题型3 用图 15 解析 如图,不等式,的解集为 ,故选A. 题型3 用图 16 规律方法 解与三角函数有关的不等式时,可以借助函数图象,直观地得到解集,同时要注意端点的取舍. 题型3 用图 7.[浙江温州2024高一月考] 设为常数，且满足，且的 的值只有一个， 则实数 的值为( ) D A.0 B.1 C.1或2 D.0或2 题型3 用图 18 解析 设, ,列表： - 0 1 0 1 2 1 描点、连线,函数图象如图所示. 因为满足,且的 的值只有一个, 所以直线与函数的图象在 上只有一个交点, 结合图象可知或 .故选D. 题型3 用图 19 8.若，则使函数有意义的 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 用图 20 解析 要使函数有意义,则,即,画出 与 在 上的图象, 如图所示. , .故选C. 题型3 用图 21 5.3 课时1 正弦函数、余弦函数的图象 刷提升 22 1.[湖北武汉2024高一月考] 函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 23 解析 的定义域为 , ,所以为偶函数,图象关于 轴对称,排除 C,D选项； ,排除B选项. 所以A选项正确.故选A. 24 2.（多选）函数，的图象与直线（ 为常数）的交点可能有( ) ABC A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 25 解析 作出函数,的图象与直线 ,如图所示, 所以当或时,,的图象与直线 （ 为常数）的交点个数为0； 当或时,,的图象与直线 （ 为常数）的交点个数为1； 当时,,的图象与直线（ 为常数）的交点个数为2. 故函数,的图象与直线（ 为常数）的交点可能有0个、1个、2个.故选 . 26 3.（多选）对于函数 下列说法中不正确的是( ) ABC A.该函数的值域是 B.当且仅当时，函数 取得最大值1 C.当且仅当时，函数取得最小值 D.当且仅当时， 27 解析 画出函数的图象,如图中实线所示,由图象可看出,该函数的值域是 ；当且仅当 或 ,时,函数取得最大值1；当且仅当,时,函数 取得最小值；当且仅当,时, .故A,B,C不正确. 28 4.（多选）[河南郑州中学2024高一月考] 若函数的图象和直线 围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是( ) AC A.当时， B. C. D.阴影部分的面积为 29 解析 作出函数,的图象,函数,的图象与直线 围成 的平面图形为如图所示的阴影部分,由图可知,A正确,B错误,C正确, 利用图象的对称性,可知该阴影部分的面积等于矩形的面积,又 , , ,错误.故选 . 30 5.函数在区间上可找到个不同的数,, , ，使得 ，则 的最大值为( ) C A.20 B.21 C.22 D.23 31 解析 设,则条件等价为的根的个数,作出函数和 的图象,如图所示,由图可知当时,直线与函数的图象在 上最多有22个 交点,时,有21个交点,,最多有21个交点，即 的最大值为22,故选C. 32 6.用“五点法”作出函数， 的简图，并回答下列问题： 【解】列表如下： - 0 0 0 1 0 1 3 1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示. 33 （1）观察函数图象，写出满足下列条件的的区间； . [答案] 由图象可知,图象在直线上方时,在直线下方时 , 所以①当时,；②当时, . （2）若直线与，的图象有两个交点，求实数 的取值范围. [答案] 如图所示,当直线与,的图象有两个交点时, 或 ,所以实数的取值范围是 . 34 7.在同一平面直角坐标系中，函数的图象与余弦函数 的图象( ) C A.只关于 轴对称 B.只关于原点对称 C.关于原点、 轴对称 D.关于原点、坐标轴对称 易错点1 用图失误 35 解析 在同一平面直角坐标系中作出函数与函数 的简图,易知选C. 易错点1 用图失误 36 易错警示 只考虑单个函数图象,或考虑不全面导致漏掉对称关系. 易错点1 用图失误 8.[山东济宁曲阜第一中学2023高一期末] 函数 的零点个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 易错点2 画图错误 38 解析 函数的零点个数,即函数的图象与函数 的图象的交点个 数,由于,,, , 在同一坐标系中作出函数图象如图所示. 由图象可知,交点有3个.故选C. 易错点2 画图错误 39 易错警示 用函数图象求零点（或交点）个数时,需要在作出图象简图的同时注意以下要点：一是 函数图象增长趋势,最简单的就是函数的单调性；二是注意特值,尤其是零点和最值.把握以上两个 要点,便可准确作图求出零点（或交点）个数. 易错点2 画图错误 9.方程 的根的个数是___. 7 解析 函数与的图象如图所示.当 时,；当 时, ,.从而当时,两函数图象有3个交点.由对称性知,当 时,两函 数图象有3个交点.当时,两函数图象的交点为原点.所以函数与 的图象共有7个 交点,即方程 有7个根. 易错点2 画图错误 41 易错警示 在画非三角函数的图象时,均需确定时 的值的范围,以便确定两个函数图 象的位置关系. 易错点2 画图错误 5.3 课时2 正弦函数、余弦函数的性质（1） 刷基础 43 1.[安徽阜阳2023高一期中] 函数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 题型1 定义域 44 解析 由题意,得 , , 则, .故选B. 题型1 定义域 45 2.[福建厦门2024高一月考] 已知函数的定义域为，则函数 的定义域为 _________. 题型1 定义域 46 解析 因为函数的定义域为 , 所以 即 解得 . 题型1 定义域 47 3.[河北邢台部分学校2024高一联考] 下列函数中，以 为最小正周期的是( ) D A. B. C. D. 题型2 周期性 48 解析 对于A,的图象是由把轴下方的图象翻折上去、 轴上方的图象保持不 变得到的,易知最小正周期为 ,故A错误； 对于B,的最小正周期为 ,故B错误； 对于C,的最小正周期为 ,故C错误； 对于D,的图象是由把轴下方的图象翻折上去、 轴上方的图象保持不变得到 的,易知最小正周期为 ,故D正确.故选D. 题型2 周期性 49 4.已知定义在上的奇函数是以 为最小正周期的周期函数，且当时， ， 则 的值为( ) C A. B. C. D. 题型2 周期性 50 解析 ,故选C. 题型2 周期性 51 5.[吉林省实验中学2023高一期末] 已知，则 的值为 ___. 0 解析 ,,即 是以6为周期的周期函数. , , , , , , , . 题型2 周期性 52 6.函数, ，则下列结论正确的是( ) C A.是偶函数 B.是奇函数 C.是奇函数 D. 是奇函数 题型3 奇偶性、对称性 53 解析 选项A,因为的定义域为 ,又 ,所以 是奇函数,故选项B,因 为的定义域为 ,又 ,所以 是偶函数,故B错误； 选项C,因为的定义域为 ,又 ,所以 是奇函数,故C 正确； 选项D,因为的定义域为 ,又 ,所以 是偶函数,故D错误. 故选C. 题型3 奇偶性、对称性 54 7.（多选）[甘肃兰州2024月考] 已知函数 的部分 图象如图所示，则下列结论正确的是( ) AC A.函数的最小正周期为 B.直线是 图象的一条对称轴 C.点是 图象的一个对称中心 D.点是 图象的一个对称中心 题型3 奇偶性、对称性 55 解析 设的最小正周期为 , 由题中图象可知,解得 ,故A正确. 因为,所以,解得.由题图可知,故 ． 将点的坐标代入解析式化简得,因为 ,所以,解得 , 故 ． 当时, ,则点是函数图象的对称中心,则直线不是 图象的对称轴, 故B错误. 当时, ,则点是函数 图象的对称中心,故C正确. 当时,,则点不是函数图象的对称中心,故D错误.故选 ． 题型3 奇偶性、对称性 56 8.若函数为偶函数，则 的一个值是_________________. （答案不唯一） 解析 函数为偶函数,则,,故 的一个值可以是 . 题型3 奇偶性、对称性 57 9.函数 是( ) D A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 易错点 忽略定义域 58 解析 由题意,知,即的定义域为,不关于原点对称,故 是非 奇非偶函数. 易错点 忽略定义域 59 易错警示 本题容易忽视使式子有意义的条件,即忽视函数 的定义域产生错误. 易错点 忽略定义域 5.3 课时3 正弦函数、余弦函数的性质（2） 刷基础 61 1.[四川绵阳南山中学2024开学考试] 下列函数中，既在上单调递增，又以 为周期且为偶 函数的是( ) D A. B. C. D. 题型1 单调性 62 解析 显然函数, 都是奇函数,故A,C不符合； 当时,,而函数在上单调递减,所以函数在 上单调 递减,故B不符合； 函数是周期为 的偶函数,当时,,此时,而 在 上单调递增,故D符合.故选D. 题型1 单调性 63 2.（多选）[甘肃酒泉2023高一期末] 下列不等式中成立的是( ) ABD A. B. C. D. 题型1 单调性 64 解析 对于A,因为在上单调递增,所以 ,故A正确； 对于B,, , 又在上单调递减,所以 , 所以 ,故B正确； 对于C,因为在上单调递减,所以 ,故C错误； 对于D,, , 又,即 , ,即 , 所以,故D正确.故选 . 题型1 单调性 65 3.[陕西西安2024高一期末] 已知函数在上单调递增，则 的取 值范围是______. 解析 由当时,单调递增,可得,当时, 显然单调递增, 要使函数在上单调递增,需使,即 ,由①② 可得 . 题型1 单调性 66 4.［广东深圳2024高一期末联考］已知函数 的图象的一条对称轴 为直线 . （1）求 的值； 【解】依题意得,所以 , 因为,所以 . 题型1 单调性 67 （2）当时，求 的单调递增区间. [答案] 由（1）得 , 当时, , 所以当或时, 单调递增, 此时解得或 , 故在上的单调递增区间为, . 题型1 单调性 68 多种解法 由（1）得 , 由,得 . 因为,所以当时,；当时, , 故在上的单调递增区间为, . 题型1 单调性 69 5.[四川雅安中学2024高一月考] 函数 的最小值为( ) B A. B. C.3 D.4 题型2 值域与最值 70 解析 因为,所以,所以函数的最小值为 ,故选B. 题型2 值域与最值 6.[河南郑州中学2024高一月考] 已知函数.当时， 的最大值为，最小值是，求和 的值. 【解】因为,所以,所以 . 因为,所以 , . 由得 题型2 值域与最值 72 规律方法 求型三角函数的值域的方法：令 ,根据题中 的取值范围,求 出的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出 的最值（值域）.本题的易错之处 是当题设中没有约定 时要分情况讨论. 题型2 值域与最值 73 7.若函数的最小正周期是，则 ____. 解析 ,, . 易错点1 忽略变量的取值范围 74 8.若是上的偶函数，当时，，则 的解析式是______________. 解析 当时,, . , 当时, . . 易错点1 忽略变量的取值范围 75 易错警示 两题中均易忽略变量的取值范围,第7题易默认“”,第8题易错解为仅求“ ” 时的解析式. 易错点1 忽略变量的取值范围 76 9.函数 的单调递减区间是( ) A A. B. C. D. 易错点2 单调性概念理解不准确 77 解析 ,要求函数 的单调递减区间,即求函数 的单调递增区间.令 , ,得 , .故选A. 易错点2 单调性概念理解不准确 78 易错警示 用整体替换法求函数或 的单调区间 时,如果式子中的系数为负数,应先利用诱导公式将 的系数变为正数,再求其单调区间. 本题中,函数的内层函数中,的系数为负数,故需要先将 的系数转换为 正数,即,又要求函数 的单调递减区间,故需求函数 的单调递增区间. 易错点2 单调性概念理解不准确 79 5.3 课时3 正弦函数、余弦函数的性质（2） 刷提升 80 1.若函数和在区间上都单调递增，则区间 可以是( ) D A. B. C. D. 81 解析 当时, 单调递减,A错误； 当时,函数和 都单调递减,B错误； 当时,函数 单调递减,C错误； 当时,函数和 都单调递增,D正确.故选D. 82 2.[辽宁沈阳五校2024高一期中] 已知函数，设甲： ，乙： 是偶函数，则( ) A A.甲是乙的充分而不必要条件 B.甲是乙的必要而不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 83 解析 当时,, 为偶函数,所以甲是乙的充分条件； 若为偶函数,则 ,,无法推出 ,所以甲不是乙的必要条件.所以甲是乙的 充分而不必要条件,故选A. 84 3.[北京朝阳区2024高一期中] 函数 的图象的一条对称轴是( ) C A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 85 解析 当时, ,不是对称轴,故A不符合； 当时, ,不是对称轴,故B不符合； 当时, ,是对称轴,故C符合； 当时, ,不是对称轴,故D不符合.故选C. 86 4.[陕西西安高新区一中等2024联考] 已知函数在 上单调，且 ,，则 的取值共有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 87 解析 因为函数在 上单调, 所以 , 又, , 所以 , , 得, , 当,1,2,即 , , 时,满足题意, 此时,2, .故选C. 88 5.已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当 变化时，下列情况不可能发生的是( ) D A.， B.， C.， D.， 89 解析 结合题意,当的取值超过半个周期时,,必然都大于零,可以取, ： 当 时,A可以成立； 当 时,B可以成立； 当,即时,成立,此时,此时必有 ,C可以成立.故选D. 90 6.已知 ，， ，则( ) A A. B. C. D. 91 解析 ,,且 在上单调递增,且,, , .故选A. 92 7.（多选）已知函数 ，则下列结论正确的有( ) BCD A.函数 是奇函数 B.函数是周期函数，且周期为 C.函数的最小值为 D.函数的图象关于直线, 对称 93 解析 对于A,的定义域为,因为 ,所 以 不是奇函数,故选项A错误. 对于B,,故是周期函数, 为 的一个周期,故选项B正确. 对于C,,所以 ,故选项 C正确. 对于D,因为 , ,所以,,所以函数的图象关于直线, 对称,故 选项D正确.故选 . 94 8.（多选）[浙江杭州学军中学2024高一月考] 已知函数 的图象在区 间 上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是( ) AC A. 的取值范围是 B. 的最小正周期可能是2 C.在区间上可能恰有4个零点 D.在区间 上可能单调递增 95 解析 由题知 , 令 ,,则, . 因为函数在区间 上有且仅有4条对称轴, 即 有4个整数 符合, 由 ,得,故 , 则,1,2,3,即 , 所以 ,故A正确； 若函数的最小正周期为2,则 ,故B错误； 96 当时, , 又 , 当时, 有3个不同的零点, 当时, 有4个不同的零点, 则在区间 上可能恰有4个零点,故C正确； 当时,, , 因为 , 所以 , 而,所以在区间上不单调,故D错误.故选 . 9.已知方程在时有解，则实数 的取值范围为______. 解析 因为方程在时有解,所以, 的图 象与直线 有交点. 因为,且,所以 . 所以实数的取值范围是 . 98 10.[贵州六校2024适应性考试] 已知函数， 都有 ，且是的一个零点.若在上有且只有一个零点，则 的最大值为___. 解析 因为函数,都有 ,且 是 的一个零点, 所以,解得 . 因为函数在 上有且只有一个零点, 所以方程在 上有且只有一个根, 99 因为,所以存在唯一的,使得函数取到最大值,且 , 则,解得 . 令则,且 , 所以, 的奇偶性相同, 由可得,解得,即 , 当时,,为奇数,则,所以 , 由可得 , 此时,当 或 时,函数 取最大值,不符合题意； 当时,,为偶数,,即 , 由,可得 , 此时,当 时,函数 取最大值,符合题意. 综上所述, 的最大值为 . 11.[江西南昌2024高一开学考试] 已知函数 的图象关于 直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为 . 102 （1）求 的最小正周期和单调递增区间； 【解】函数,且两相邻对称中心之间的距离为 , 则 , 解得 . 函数的图象关于直线 对称, 则 , 解得 . 由于 , 则 , 故函数 . 所以的最小正周期 . 令 , 解得 , 所以函数的单调递增区间为 , . （2）若函数为偶函数，求 的最小值. [答案] 函数 为偶函数, 则 , 解得 , 当时, . 105 规律方法 求三角函数单调区间的两种方法 （1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角（或 ,利用简单的三角函数 的单调性来求所要求的复杂三角函数的单调区间； （2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下 降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间. 106 12.[上海复旦附中2024开学考试] 函数， . （1）若函数的图象在内没有对称轴，求 的取值范围； 【解】的图象在 内没有对称轴, 或 解得或 , 即 的取值范围为 . 107 （2）若函数满足 恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在 至少两个零点，求 的最小值. [答案] , 恒成立, 为 的一个周期, 即, , 且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点, ,且 , 解得 , ①②联立,得到 的最小值为 . 108 13.[黑龙江大庆铁人中学2024高一开学考] 已知函数 . （1）求函数 的值域. 【解】因为 , ,所以当时,,当时,,所以函数 的 值域为 . （2）求不等式 的解集. [答案] 因为,所以,则 , 所以,得的解集为 , . 109 （3）当为何值时，关于的方程在 内的实根最多？最多有几个？（直接给出 答案即可，无需说明理由） [答案] 当时,方程在, 内的实根最多,最多有5个. 110 14.已知函数（其中），对任意实数，在区间 上要使函数值 出现不少于4次且不多于8次，求 的值. 【解】由,得 . 函数在区间上有两次出现函数值,区间的长度为3, 为了使长度 为3的区间内出现函数值 不少于4次且不多于8次,必须使3不小于2个周期且小于4个周期,即 ,且 , 解得 . 又, ,3. 111 15.[北京大学2023强基计划] 函数在 上的最大值是___. 解析 画出函数,,在上的大致图象如图.当 时, ,所以则 , 所以函数在上的最大值是 . 112 $$