2.1.2 基本不等式&2.1.3 基本不等式的应用-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (湘教版)

数学 必修第一册 XJ 1 2.1 2.1 相等关系与不等关系 2 2.1 2.1.2 基本不等式+2.1.3 基本不等式的应用 刷基础 3 1.（多选）下列说法中正确的是( ) BC A.成立的条件是, B.成立的条件是, C. 成立的条件是, D.成立的条件是 题型1 基本不等式的理解 4 解析 根据不等式成立的条件可知只有B,C正确,故选 . 题型1 基本不等式的理解 2.[甘肃定西2024高一开学检测] 下列不等式恒成立的是( ) D A. B. C. D. 题型1 基本不等式的理解 6 解析 对于A选项,当 时,不等式显然不成立,故A错误； 对于B选项,成立的条件为, ,故B错误； 对于C选项,当 时,不等式显然不成立,故C错误； 对于D选项,由于,故 ,D正确.故选D. 题型1 基本不等式的理解 7 3.[北京人大附中2024高一月考] 如果正数，，，满足 ，那么( ) A A.，且等号成立时，，， 的取值唯一 B.，且等号成立时，，， 的取值唯一 C.，且等号成立时，，， 的取值不唯一 D.，且等号成立时，，， 的取值不唯一 题型1 基本不等式的理解 8 解析 ,,当且仅当时取等号.又 ,当且 仅当时取等号,,当且仅当 时取等号.故选A. 题型1 基本不等式的理解 9 4.[广东佛山2024高一月考] 设，且 ，在下列四个数中最大的是( ) B A. B. C. D. 题型2 利用基本不等式比较大小 10 解析 ,且,, . , , . ,, 最 大.故选B. 题型2 利用基本不等式比较大小 11 规律方法利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”：就是各项必须为正数. （2）“二定”：就是要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值；要求积的最大值,则 必须把构成积的因式的和转化成定值. （3）“三相等”：利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件. 题型2 利用基本不等式比较大小 12 5.已知,,，，，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 题型2 利用基本不等式比较大小 13 解析 ,当且仅当 时取等号,故选D. 题型2 利用基本不等式比较大小 14 归纳总结一般地,我们有如下结论：； （取等条件为 ． 题型2 利用基本不等式比较大小 15 6.[江苏淮安2024高一期中] 已知实数，，满足， ，且 ，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 题型2 利用基本不等式比较大小 16 解析 因为,由基本不等式得,当且仅当 时等 号成立,又 , 所以.又, ,两式相减得, ,故 ,所以 ,故,所以 .故选B. 题型2 利用基本不等式比较大小 17 7.[湖北新高考协作体2023高一联考] 已知，则 的最大值为( ) B A. B. C. D.1 题型3 利用基本不等式求最值 18 解析 因为,所以,即 ,当且仅 当,即时,等号成立,故的最大值为 .故选B. 题型3 利用基本不等式求最值 19 8.[北京四中2024高一期中] 若，则 的最小值为( ) C A.4 B.6 C.8 D.无最小值 题型3 利用基本不等式求最值 20 解析 若,则 , 当且仅当,即 时,等号成立, 所以 的最小值为8.故选C. 题型3 利用基本不等式求最值 21 9.已知,，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 题型3 利用基本不等式求最值 22 解析 因为,,所以 ,当且仅当 且,即,时取等号,即的最小值为 .故选B. 题型3 利用基本不等式求最值 23 特别注意本题两次应用基本不等式,注意验证两次取等条件是否同时成立. 题型3 利用基本不等式求最值 10.若，则 有( ) A A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1 题型3 利用基本不等式求最值 25 解析 因为,所以 ,于是得 ,当且仅当 ,即 时取“”,所以当时,有最大值 .故选A. 题型3 利用基本不等式求最值 26 11.若实数,满足，则 的最小值为( ) A A. B. C. D. 题型3 利用基本不等式求最值 27 解析 实数,满足,,,且,解得 ,当且仅当 即,时取等号,的最小值为 .故选A. 题型3 利用基本不等式求最值 28 12.已知，，且，则 的最大值为( ) D A.36 B.4 C.16 D.9 题型3 利用基本不等式求最值 29 解析 由题意,得,, ,所以 ,当且仅当即 时取等号.故选D. 题型3 利用基本不等式求最值 30 13. [四川成都2024高一期中联考] 若，则 的最小值为( ) D A.12 B. C. D. 题型3 利用基本不等式求最值 31 解析 因为,所以,则 , 故 ,当且仅当,即时等号成立,故的最小值为 ,故 选D. 题型3 利用基本不等式求最值 32 链接教材这道题目是由教材上的P40练习的第3题改编得到的,基本的解题思路是将 变形 为,由已知条件确定,且 ,展开后利用基本 不等式,即可求得答案. 题型3 利用基本不等式求最值 33 14.[湖北鄂东南示范校2024高一期中联考] 关于的方程 有两个相等的正根， 则 ( ) B A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 题型3 利用基本不等式求最值 34 思路导引多元问题一元化,依题意可得,,则 ,再利用基本不等式即 可求得最大值. 题型3 利用基本不等式求最值 35 解析 关于的方程 有两个相等的正根, , , ,当且仅当 时取等 号,所以有最大值 .故选B. 题型3 利用基本不等式求最值 36 15.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，根据市场分析每辆客车的营运总利润 （单位：十万元）与营运年数的关系为 .若使营运的年平均利润最 大，则每辆客车应营运___年. 5 解析 由题意得年平均利润为 ,当且仅当 ,即时等号成立．故当时, 有最大值2． 即要使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运5年. 题型4 利用基本不等式求解实际应用题 37 16.[四川成都石室中学2024高一期中] 石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中 的商品所卖款项将用来支持慈善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调 查.若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件元）在 时，本次活动售出的件数 .若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为____元. 15 解析 由题意可知,利润为, , 不妨令 , 则利润为 , 当且仅当,即时取等号,此时 , 故售卖价格每件应定为15元. 题型4 利用基本不等式求解实际应用题 38 17.当时，不等式恒成立，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 39 解析 当时,,则,当且仅当 ,即 时取等号,故的最小值为3,所以 .故选D. 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 40 归纳总结含参数的不等式恒成立问题,通过分离参数,把求参数的取值范围问题化归为求最值问题. 恒成立,恒成立 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 41 18.[湖南名校联合体2024期中联考] 已知实数，且满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值为( ) D A.9 B.12 C.16 D.25 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 42 解析 ,当且仅当 ,即 , 时,等号成立. 又不等式恒成立,只需 , 因此,故实数 的最大值为25. 故选D. 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 43 19.若对任意，恒成立，则实数 的取值范围是_________. 解析 因为,所以,所以不等式可化为,设,,则 , 则,因为,所以,当且仅当 时取等号,所以 ,即,所以 . 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 44 20.[甘肃庆阳2024高一期末] 已知，， . （1）求 的最小值； 【解】因为,,则,解得,当且仅当 时取等号,所 以当时, 的最小值是4. （2）求证： . 【证明】因为,,所以,当且仅当时取等号,即有 ,于 是得,当且仅当 时 等号成立,所以 成立. 题型6 应用基本不等式证明不等式 45 21.函数 的最值情况是( ) C A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最大值 易错点1 忽略应用基本不等式的前提而致错 46 解析 ,, , , 当且仅当时,即时取到等号,故函数取到最小值 . 故选C. 易错点1 忽略应用基本不等式的前提而致错 47 易错警示基本不等式成立的条件是各项均为“正数”,而本题中由于 ,因此不能直接应用基本 不等式,应先将原式中转化为 后再求最值. 易错点1 忽略应用基本不等式的前提而致错 48 22.已知，则 的最小值为( ) A A. B.8 C.20 D.10 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 49 解析 由,当且仅当 时取等号. 又时,的值随着自变量 的增大而减小, 当时,取得最小值,为 .故选A. 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 50 易错警示本题易错选B,原因在于没有检验等号成立的条件,函数 的图象如图所示. 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 51 23.已知正数，满足，则 的最小值为___. 9 解析 因为,为正数,且 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,所以 的最小值为9. 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 52 易错警示本题易出现以下错解：由,解得, ,所以 ,所以 的最小值为8.错误的根源是没有检验等号成立的条件,事实上, 对正数, 是不可能成立的.综上,利用基本不等式求代数式的最值时,要考查等号成立 的条件是否具备,否则应该换方法求最值. 易错点2 忽略等号成立的条件而致错 53 24.[福建泉州2024高一月考] 已知，且，则 的最小值为 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 易错点3 多次应用基本不等式而致错 54 解析 ,当且仅当 时等号成立.故选C. 易错点3 多次应用基本不等式而致错 55 易错警示此题很容易出错,认为,,,错选B,错误的原因是, 不能同时取到1. 易错点3 多次应用基本不等式而致错 56 25.已知，，，则 的最小值为___. 解析 . ,, , . ,且, . 原式当且仅当时,等号成立,的最小值为 . 易错点3 多次应用基本不等式而致错 57 易错警示本题常犯的错误是两次利用基本不等式,误认为等号能同时成立.利用基本不等式求最值 时,无论怎样变形,均需满足“一正、二定、三相等”的条件.解题时,应尽量避免多次应用基本不等 式,如连续应用了基本不等式,应特别注意检验等号是否能同时成立. 易错点3 多次应用基本不等式而致错 58 $$