全等三角形--平移型、对称性、一线三等角（K型）模型2023-2024学年苏科版数学八年级上 册

全等三角形-平移型、对称性、一线三等角(K型)模型 1、 知识解读 1、 平移型全等 2、 对称型全等 3、 一线三等角型 其中一线三垂直在8年级考察较多。 证明过程: 二、经典例题 (平移型) 1.(2023上 河北沧州 八年级校考期中)如图,将沿所在直线向右平移得到,则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 2.(2023上 河南新乡 八年级新乡市第一中学校考期中)如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置,,,平移距离为6,则阴影部分面积为 . 3.(2023上 山西吕梁 八年级统考期中)如图,点在一条直线上,,,请你从下列三个条件中选择一个合适的条件,使成立,并说明理由. 供选择的条件:①;②;③. 4.(2023上 八年级课时练习)如图1,,,点C是上一点,且,. (1)试判断与的位置关系,并说明理由. (2)如图2,若把沿直线BD向左平移,使的顶点C与点B重合,此时AC与BE互相垂直吗?请说明理由. 5.(2023上 八年级课时练习)(1)如图(1),点A,E,F,C在同一条直线上,,过点E,F分别作,,若,连接交于点G,试问与相等吗?请说明理由. (2)将图(1)中的沿方向平移得到图(2),其余条件不变,则上述结论是否仍然成立?请说明理由. (一线三等角型) 6.(2022秋•南陵县期末)如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,若AD=8cm,BE=3cm,则DE= cm. 7.(2021秋•岑溪市期末)如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC,∠ABC=90 ,点B在直线l上,过A作AD⊥l于D,过C作CE⊥l于E.下列给出四个结论:①BD=CE;②∠BAD与∠BCE互余;③AD+CE=DE.其中正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8.(2020•南关区校级四模)如图,在 ABC中,∠ACB为钝角,边AC绕点A沿逆时针方向旋转90 得到AD,边BC绕点B沿顺时针方向旋转90 得到BE,作DM⊥AB于点M,EN⊥AB于点N,若AB=10,EN=4,则DM= . 9.(2023秋•师宗县校级期中)如图,CD⊥DB,AB⊥BD,为了测量教学楼的高度,在旗杆CD与教学楼之间选定一点P,使得测旗杆顶C的视线PC与测楼顶A的视线PA的夹角∠APC=90 ,测得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于9米,又测得旗杆与楼之间距离DB=27米,求这幢教学楼的高度多少米? 10.(2022秋•如东县期中)如图, ABC中,∠C=90 ,D为AC上一点,E是AB上一点,且∠BDE=90 ,DB=DE=AE,若BC=5,则AD的长是 . 11.(2023秋•工业园区期中)如图,AC=AB=BD,∠ABD=90 ,BC=8,则 BCD的面积为( ) A.8 B.12 C.14 D.16 12.(2024春•锦江区校级期中)直角三角形板中,有一个内角为45 的直角三角形是等腰直角三角形,它的两条直角边长相等.如图, ABC中,∠ABC=45 ,∠ACB为钝角,以AC为边在右侧作等腰直角三角形ACD,∠ADC=90 ,过点D作DE⊥BC,垂足为E,连接BD,若 BCD的面积为9,则BC长为 . 13.(2022春•金牛区校级期中)在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后,一同学总结出很多全等三角形的模型,他设计了以下问题给同桌解决:如图,做一个“U”字形框架PABQ,其中AB=42cm,AP,BQ足够长,PA⊥AB于点A,点M从B出发向A运动,同时点N从B出发向Q运动,点M,N运动的速度之比为3:4,当两点运动到某一瞬间同时停止,此时在射线AP上取点C,使 ACM与 BMN全等,则线段AC的长为 cm. 14.(2022•鹿城区二模)如图,在 ABC中,AB=AC,点D在BC边上,点E在AC边上,连接AD,DE.已知∠1=∠2,AD=DE. (1)求证: ABD≌ DCE; (2)若BD=3,CD=5,求AE的长. 15.(2021秋•东至县期末)如图,在 ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,若DE=10,BD=3,求CE的长. 16.(2023春•龙华区期中)如图, ABC为等边三角形,点D为BC边上一点,先将三角板60 角的顶点与D点重合,平放三角板,再绕点D转动三角板,三角板60 角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F,当DE=DF时,如图(2)所示.求证: BDE≌ CFD. 17.(2021秋•南丹县期末)如图1,∠ABC=90 ,FA⊥AB于点A,D是线段AB上的点,AD=BC,AF=BD. (1)判断DF与DC的数量关系为 ,位置关系为 . (2)如图2,若点D在线段AB的延长线上,过点A在AB的另一侧作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC,DF,CF,试说明(1)中结论是否成立,并说明理由. 18.(2021秋•嵊州市期末)【问题提出】 (1)已知:如图1,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,点C在线段DE上,AC=BC且AC⊥BC,求证: ADC≌ CEB. 【问题解决】 (2)如图2,点D,C,E在直线l上.点A,B在l的同侧,AC⊥BC,若AD=AC=BC=BE=5cm,CD=6cm,求CE的长. 19.(2020秋•江津区期末)问题1:如图①,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90 ,P是BC上一点,PA=PD,AB+BP=BC. 求证:∠APD=90 ; 问题2:如图②,在三角形ABC中,∠B=∠C=45 ,P是AC上一点,PE=PD,且∠EPD=90 . 求的值. 20.(2006秋•苏州校级期中)在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,易证:DE=AD+BE (1)如果:当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,那么试问线段DE,AD,BE又分别具有怎样的数量关系?请写出你的猜想. . (2)如果:当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,那么试问线段DE,AD,BE又分别具有怎样的数量关系?请写出你的猜想. . (3)请你对上面(1)(2)中的一种情况给予证明. 21.(2022•信阳模拟)在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB=AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC= . (1)如图1,当 =90 时,猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是 ; (2)如图2,当0< <180时,问题(1)中结论是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由; (3)拓展与应用:如图3,当 =120 时,点F为∠BAC平分线上的一点,且AB=AF,分别连接FB,FD,FE,FC,试判断 DEF的形状,并说明理由. 22.(2023秋•乐亭县期中)已知,在 ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,且DE=9cm,∠BDA=∠AEC=∠BAC (1)如图①,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为 ,CE与AD的数量关系为 ; (2)如图②,判断并说明线段BD,CE与 DE的数量关系; (3)如图③,若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7cm,点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为t(s).是否存在x,使得 ABD与 EAC全等?若存在,求出相应的t的值;若不存在,请说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 全等三角形--一线三等角（K型）模型 1、 知识解读 其中一线三垂直在8年级考察较多。 证明过程： 2、 经典例题 1．（2022秋•南陵县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝　5　cm． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝CE﹣CD，即可解题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△CDA和△BEC中， ， ∴△CDA≌△BEC（AAS）， ∴CD＝BE，CE＝AD， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE， ∵AD＝8cm，BE＝3cm， ∴DE＝5cm， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDA≌△BEC是解题的关键． 2．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再根据“AAS”可得△ABD≌△BCE，再逐项分析可得结论． 【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴BD＝CE，故①正确； ∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE， ∴∠BAD+∠BCE＝90°， 即∠BAD与∠BCE互余，故②正确； ∵△ABD≌△BCE， ∴AD＝EB，DB＝CE， ∵BE+D＝DE， ∴AD+CE＝DE，故③正确． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△CBE是解题的关键． 3．（2020•南关区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝10，EN＝4，则DM＝　6　． 【考点】旋转的性质．版权所有 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角“证得∠D＝∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝4，再由AB＝10，可得AF，即DM的值． 【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示： ∵边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE， ∴AD＝AC，BE＝BC， ∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F， ∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°， ∴∠D+∠DAM＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAF+∠DAM＝90°， ∴∠D＝∠CAF， ∴在△DAM和△ACF中， ， ∴△DAM≌△ACF（AAS）， ∴DM＝AF． 同理可证，△BFC≌△ENB（AAS）， ∴BF＝EN＝4， ∵AB＝10， ∴AF＝AB﹣BF＝10﹣4＝6， ∴DM＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2023秋•师宗县校级期中）如图，CD⊥DB，AB⊥BD，为了测量教学楼的高度，在旗杆CD与教学楼之间选定一点P，使得测旗杆顶C的视线PC与测楼顶A的视线PA的夹角∠APC＝90°，测得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于9米，又测得旗杆与楼之间距离DB＝27米，求这幢教学楼的高度多少米？ 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【分析】根据AAS证明△DPC≌△BAP，从而利用全等三角形的性质可得AB＝DP＝18米． 【解答】解：∵CD⊥DB，AB⊥DB， ∴∠CDP＝∠ABP＝90°， ∵∠APC＝90°， ∴∠CPD+∠APB＝90°，∠PAB+∠APB＝90°， ∴∠CPD＝∠PAB， ∵DB＝27米，PB＝9米， ∴DP＝BD﹣BP＝18米， 在△DPC和△BAP中， ， ∴△DPC≌△BAP（AAS）， ∴AB＝DP＝18米． 答：这幢教学楼的高度18米． 【点评】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2022秋•如东县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是 　10　． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】过点E作EF⊥AD，垂足为F，根据垂直定义可得∠EFD＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠FED+∠EDF＝90°，再利用平角定义可得∠BDC+∠EDF＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BDC＝∠FED，从而利用AAS证明△BDC≌△DEF，进而可得BC＝DF＝5，最后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥AD，垂足为F， ∴∠EFD＝90°， ∴∠FED+∠EDF＝90°， ∵∠BDE＝90°， ∴∠BDC+∠EDF＝180°﹣∠BDE＝90°， ∴∠BDC＝∠FED， ∵∠C＝∠EFD＝90°，BD＝ED， ∴△BDC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝DF＝5， ∵EA＝ED，EF⊥AD， ∴AD＝2DF＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2023秋•工业园区期中）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 【考点】等腰直角三角形．版权所有 【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解． 【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝4， ∵∠EAB+∠ABE＝∠DBF+∠ABE＝90°， ∴∠EAB＝∠DBF， ∵∠AEB＝∠BFD＝90°，AB＝DB， ∴△AEB≌△BFD（AAS）， ∴DF＝BE＝4， ∴S△DCB＝CB•DF， ∴S△DCB＝×8×4＝16， 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形． 7．（2024春•锦江区校级期中）直角三角形板中，有一个内角为45°的直角三角形是等腰直角三角形，它的两条直角边长相等．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB为钝角，以AC为边在右侧作等腰直角三角形ACD，∠ADC＝90°，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接BD，若△BCD的面积为9，则BC长为 　6　． 【考点】旋转的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．版权所有 【分析】过点A作AF⊥ED交ED延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，证明△CDE≌△DAF，得到相等的线段，再根据△BCD的面积，列出等式，求出BC的长． 【解答】解：过点A作AF⊥ED交ED延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G， ∵∠E＝∠F＝∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠DAF＝90°，∠ADF+∠CDE＝90°， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵AD＝CD， ∴△CDE≌△DAF（AAS）， ∴CE＝DF＝a，AF＝DE＝b， ∵△BCD的面积为9， ∴BC×DE＝9， ∴BC＝， ∵四边形AFEG是矩形， ∴AG＝EF＝DF+DE＝a+b，EG＝AF＝b， ∴CG＝CE﹣GE＝a﹣b， ∴BG＝BC+CG＝， ∵∠ABC＝45°， ∴AG＝BG， ∴a+b＝， ∴b＝3， ∴BC＝， 故答案为：6． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，构造一线三等角全等三角形是解题的关键． 8．（2022春•金牛区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 　18或28　cm． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】设BM＝3t cm，则BN＝4t cm，使△ACM与△BMN全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况： 情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，列方程解得t，可得AC； 情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，列方程解得t，可得AC． 【解答】解：设BM＝3tcm，则BN＝4t cm，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况： 情况一：当BM＝AC，BN＝AM时， ∵BN＝AM，AB＝42cm， ∴4t＝42﹣3t， 解得：t＝6， ∴AC＝BM＝3t＝3×6＝18cm； 情况二：当BM＝AM，BN＝AC时， ∵BM＝AM，AB＝42cm， ∴3t＝42﹣3t， 解得：t＝7， ∴AC＝BN＝4t＝4×7＝28cm， 综上所述，AC＝18cm或AC＝28cm． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并利用分类讨论思想是解答此题的关键． 9．（2022•鹿城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE； （2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△DCE， ∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3， ∵AC＝AB， ∴AC＝5， ∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 10．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果． 【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α， ∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α， ∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠ECA＝∠BAD， 在△BAD与△ACE中， ， ∴△BAD≌△ACE（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD＝3， ∵DE＝AD+AE＝10， ∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7． ∴CE＝7． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BAD≌△ACE是解题的关键． 11．（2023春•龙华区期中）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，先将三角板60°角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F，当DE＝DF时，如图（2）所示．求证：△BDE≌△CFD． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；等边三角形的性质．版权所有 【分析】由等边三角形性质可得∠B＝∠C＝60°，再由旋转的性质可得∠EDF＝60°，根据三角形内角和定理和平角定义可推出∠BED＝∠CDF，应用AAS即可证得结论． 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°， 由旋转变换得∠EDF＝60°， ∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°， ∴∠BED＝∠CDF， 在△BDE和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（AAS）． 【点评】本题考查了等边三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的基本模型：一线三等角是解题的关键． 12．（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD． （1）判断DF与DC的数量关系为 　相等　，位置关系为 　垂直　． （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）利用SAS证明△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即可证明结论； （2）由（1）同理得△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°． 【解答】解：（1）∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°， 在△ADF与△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB＝90°， ∴∠ADF+∠CDB＝90°， 即∠CDF＝90°， ∴CD⊥DF， 故答案为：相等，垂直； （2）成立，理由如下： ∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝90°， ∴∠DAF＝∠CBD， 在△ADF与△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB＝90°， ∴∠ADF+∠CDB＝90°， 即∠CDF＝90°， ∴CD⊥DF． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉基本的一线三等角模型是解题的关键． 13．（2021秋•嵊州市期末）【问题提出】 （1）已知：如图1，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，点C在线段DE上，AC＝BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB． 【问题解决】 （2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5cm，CD＝6cm，求CE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCE，然后利用AAS即可证明结论； （2）作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，根据等腰三角形的性质得CG＝3cm，利用勾股定理得AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），得CH＝AG＝4cm，从而得出答案． 【解答】（1）证明：∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE， ∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H， ∵AD＝AC，AG⊥CD， ∴CG＝3cm， 在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝4cm， 由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS）， ∴CH＝AG＝4cm， ∵BC＝BE，BH⊥CE， ∴CE＝2CH＝8cm． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键． 14．（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，AB+BP＝BC． 求证：∠APD＝90°； 问题2：如图②，在三角形ABC中，∠B＝∠C＝45°，P是AC上一点，PE＝PD，且∠EPD＝90°． 求的值． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】问题1：证明Rt△ABP≌Rt△PCD（HL），由全等三角形的性质得出∠APB＝∠PDC，则可得出结论； 问题2：过D点作DF⊥AC于点F，证明△APE≌△FDP（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝PF，AP＝DF，证出AP＝FC，则可得出答案． 【解答】问题1：证明：∵BP+PC＝BC，BP+AB＝BC， ∴PC＝AB， 在Rt△ABP与Rt△PCD中， ， ∴Rt△ABP≌Rt△PCD（HL）， ∴∠APB＝∠PDC， ∴∠APD＝180°﹣∠APB﹣∠DPC＝180°﹣（∠PDC+∠DPC）＝180°﹣90°＝90°； 问题2：过D点作DF⊥AC于点F， 在ABC中，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∴∠A＝∠PFD， ∵∠APE+∠DPF＝90°∠AEP+∠APE＝90°， ∴∠DPF＝∠AEP， 在△APE与△FDP中， ， ∴△APE≌△FDP（AAS）， ∴AE＝PF，AP＝DF， 在△DPF中，∠FDC＝90°﹣∠C＝90°﹣45°＝45°， ∴DF＝FC， ∴AP＝FC， ∴PC＝PF+FC＝AE+AP， ∴． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△APE≌△FDP是解题的关键． 15．（2006秋•苏州校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，易证：DE＝AD+BE （1）如果：当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，那么试问线段DE，AD，BE又分别具有怎样的数量关系？请写出你的猜想． 　DE＝AD﹣BE　． （2）如果：当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，那么试问线段DE，AD，BE又分别具有怎样的数量关系？请写出你的猜想． 　DE＝BE﹣AD　． （3）请你对上面（1）（2）中的一种情况给予证明． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）、（2）要在图2、图3中寻找线段DE，AD，BE之间的数量关系，与图1一样，利用三角形全等就解决问题了． （3）就其（1）问而言，只需要证明△ADC≌△CEB就可以了，利用AAS或ASA都可以证明． 【解答】解：（1）DE＝AD﹣BE； （2）DE＝BE﹣AD； （3）证明（1） ∵AD⊥MN，BE⊥MN ∴∠ADC＝∠BEC＝90° ∴∠2+∠3＝90° ∵∠1+∠3＝90° ∴∠1＝∠2 ∵AC＝BC ∴△ADC≌△CEB ∴AD＝CE，CD＝BE ∵DE＝CE﹣CD ∴DE＝AD﹣BE． 【点评】本题考查了图形的旋转，等腰直角三角形的性质，全等三角形的运用等多个知识点，在解决旋转问题的关键是变中求不变． 16．（2022•信阳模拟）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 　DE＝BD+CE　； （2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE； （2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE； （3）先由α＝120°和AF平分∠BAC得到∠BAF＝∠CAF＝60°，然后结合AB＝AF＝AC得到△ABF和△ACF是等边三角形，然后得到FA＝FC、∠FCA＝∠FAB＝60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD＝∠ACE、AD＝CE，从而得到∠FAD＝∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF＝EF、∠DFA＝∠EFC，最后得到∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝60°，即可得证△DEF是等边三角形． 【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下， ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE． （2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下， ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （3）△DEF是等边三角形，理由如下， ∵α＝120°，AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF＝60°， ∵AB＝AF＝AC， ∴△ABF和△ACF是等边三角形， ∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°， 同（2）可得，△BDA≌△AEC， ∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE， ∴∠FAD＝∠FCE， ∴△FAD≌△FCE（SAS）， ∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°， ∴△DEF是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等． 17．（2023秋•乐亭县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　BD＝AE　，CE与AD的数量关系为 　CE＝AD　； （2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系； （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD； （2）由（1）同理可得△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得答案； （3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝AD， 故答案为：BD＝AE，CE＝AD； （2）DE＝BD+CE， 由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝AD， ∴DE＝BD+CE； （3）存在，当△DAB≌△ECA时， ∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm， ∴t＝1； 当△DAB≌△EAC时， ∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm， ∴t＝， 综上：t＝1或t＝． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 学科网（北京）股份有限公司 $$