1.2.1等差数列及其通项公式（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

1.2.1 等差数列及其通项公式 课程标准 学习目标 （1）通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义; （2）能在具体的问题情境中, 发现数列的等差关系, 并解决相应的问题。 （1）掌握等差数列的概念，会证明某数列是等差数列; （2）掌握等差数列的通项公式，会求某等差数列通项公式.（难点) 知识点01 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) 解析 (1)公差是每一项减前一项，常数指的是与无关； (2)公差，当时，数列为常数列；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列 (3))是公差为的等差数列； 是公差为的等差数列； 不是等差数列. 【即学即练1】以下数列是等差数列的 . (1)；(2)；(3)数列满足. 答案 (2)(3). 知识点02 等差数列的通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 解析 (1)证明 若等差数列的首项为，公差为， 由等差数列的定义可得，， 所以， 把以上项等式累加可得， 当时，上式为，即上式当时也成立， 故. 等差数列的通项公式由等差数列的定义证明，以上证明方法为累加法. (2)等差数列的通项公式中共含有四个变数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． 【即学即练2】已知等差数列中，首项，公差，则通项公式等于(　　) A． B． C． D． 答案 【题型一：等差数列的判定与证明】 例1．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【详解】（1）因为， 所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 变式1-1．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 变式1-2．若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 变式1-3．已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列递推公式进行合理变形得出，利用等差数列的定义可判断并求得数列的通项公式； （2）依题求得，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）由，可得， 即，即， 故数列是等差数列，其首项为，公差为1， 则，解得； （2）由可得 ， 则 . 【方法技巧与总结】 1 证明某数列是等差数列，可利用定义法：是常数)，要注意的限制； 2 由递推公式证明等差数列，若直接对递推公式进行变形有时候有些难度，而直接去求或 3 判断某数列是等差数列，若是选择题，可采取取前三项检验是否可能为等差数列来排除选项. 【题型二：利用等差数列的定义求通项公式】 例2．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D． 变式2-1．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件得到为等差数列，公差为1，并求出首项，从而得到通项公式，求出，得到答案. 【详解】因为，所以为等差数列，公差为1，首项为， 故，所以， 因为，所以，. 故选：C 变式2-2．已知数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，可求得的值，分析可知（为正偶数），可求得的值，即可得解. 【详解】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列， 所以，， 当为偶数时，，则，两式相减得， 所以，， 故， 故选：D. 变式2-3．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．12 D．21 【答案】A 【分析】由数列的递推关系式推出是等差数列，然后求解即可． 【详解】正项数列满足，，所以， 可得，所以是等差数列，首项为，公差为， 所以，所以， 故选：A． 变式2-4．在数列中，，若，则（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【分析】由已知可得，则数列是等差数列，从而可求出，进而可求得，然后由可求得结果. 【详解】由且数列不存在为0的项，得， 所以数列是等差数列，且首项为，公差为， 所以，所以． 由，得， 故选：A． 【方法技巧与总结】 要对常见的递推公式较为熟练，方能辨识出等差数列；往往是对递推公式通过作差、作商等方式进行变形，得到的形式，其中要有整体思想！ 【题型三：等差数列通项公式的基本量计算】 例3．已知为等差数列， ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出等差数列的公差，由题意列方程组求出首项和公差，再代入等差数列的通项公式得答案． 【详解】设等差数列的公差为，由已知条件可得， ，即，解得， . 故选：A. 变式3-1．设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出前三项为，，，并结合题意得到方程组，从而可求解. 【详解】由题意设前三项为，，，所以得， 解得，，又因为是递增的等差数列，所以， 所以首项.故B项正确. 故选：B. 变式3-2．若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范围. 【详解】由，得，得， 因为是正项无穷的等差数列， 所以，所以，得， 即的公差的取值范围是. 故选：D 变式3-3．在等差数列中，p，，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出首项和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出结果即可． 【详解】设等差数列的公差为d，则，， 两式相减得 ，则， 故选：C． 【方法技巧与总结】 1 等差数列的通项公式为，说明四个量，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． 2 等差数列的基本量计算，可采取列方程组的方法，若学了等差数列的一些基本性质，则有时候会简便些. 【题型四：实际问题中的等差数列】 例4．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 . 【答案】 升 升 【分析】由题意可知，， 解得，，再由计算可得解. 【详解】解：将自上而下各节竹子的容积分别记为，，…，， 依题意可得，， 即①，②，，得，解得， 把代入①，得， 【点睛】本题考查数学文化与等差数列，考查运算求解能力与应用意识. 变式4-1．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D 变式4-2．我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为　　 A．6斤 B．9斤 C．10斤 D．12斤 【答案】B 【分析】根据题意设出等差数列的首项和第五项，通过公式计算出公差，根据等差数列的性质即可求出中间三项的和. 【详解】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列， 设首项，则， 则， 由等差数列性质得， ， 中间三尺的重量为9斤． 故选B． 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化史，考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题.等差数列的通项公式求解有很多种方法，一种是将已知条件都转化为和的形式，然后列方程组来求解；另一种是利用，先求出公差，再来求首项. 变式4-3．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 【方法技巧与总结】 实际问题中，要先理解题意，提取出“等差数列”的信息，把其化为等差数列的基本量问题进行求解. 【题型五：等差数列通项公式的运用】 例5．已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（    ）. A．6 B．16 C． D．2 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，代入化简可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】设等差数列的公差为，则由，得 ， 则， 因为，所以（）， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2， 故选：D 变式5-1．如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的基本量，通过作差比较大小即可. 【详解】因为如果为各项都大于零组不相等的等差数列， 所以， 对于A，B，， 因为，所以，所以，即，故错误，B正确； 对于C，D，， 因为，所以，大于0或者小于0不能确定， 所以和 大小关系无法确定，故错误， 故选：B. 变式5-2．在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】 根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【详解】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 变式5-3．设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】因为， 所以，即，所以， 所以，显然， 所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 即，所以． 故选：C． 变式5-4．已知数列是公差不为的等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据已知条件及等差数列的等差中项，再利用等差数列的通项公式即可求解； （2）根据已知条件及（1）的结论，得出数列的通项公式，假设存在正整数，使得成立，由此列出关于的方程即可求解. 【详解】（1）∵，即，∴，∴． 设等差数列的公差为，（）则 ∵，∴． ∴．解得（舍）或． ∴， 所以数列的通项公式为：． （2）由（1）知，， 所以， 假设存在正整数，使得成立， 即． 化简整理，得，即，解得或（舍）． 所以存在正整数，使得成立． 【方法技巧与总结】 利用题中的已知条件把等差数列的基本量求出，把问题转化为其他的问题，根据具体的要求进行求解. 一、单选题 1．已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出数列是以首项为，公差为的等差数列，进而求出，即可求出答案. 【详解】因为数列为等差数列，且， 设数列的公差为，首项为， 所以，则， 所以，所以， 所以. 故选：B. 2.在等差数列中，，，则数列的公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本量运算，列出方程组，解之即得. 【详解】因为，，所以,解得d＝2. 故选：B. 3.已知等差数列各项均为正整数，，，则其公差d为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出公差的范围，再根据等差数列各项均为正整数，可确定公差的值. 【详解】因为等差数列中，， 所以，所以， 所以，得， 因为等差数列各项均为正整数，所以公差为正整数， 因为，所以， 所以， 因为公差为正整数，所以或， 当时，由，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 所以， 故选：C 4. 已知数列满足，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】利用相减法得出数列的偶数项成等差数列，从而可把用表示，然后利用求得结论． 【详解】由，可得7，且，两式相减可得，即数列的偶数项是以6为公差的等差数列， 则，所以． 故选：B． 5. 若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒数法可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 6. 已知等差数列的公差为，若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由公差可得通项公式的解析式，再由集合种仅有两个元素，可得元素的值，再求出结果即可. 【详解】根据题意，， 最小正周期为， 要使集合中仅有两个元素， 则，即， 不妨取，显然满足题设要求， 则， 所以， 故选：B 7. 在等差数列中，能被3 整除，能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一方面假设，结合数列是等差数列算出即可排除ABD，另一方面考虑一般情况，设，通过等差数列性质以及数论知识可判断C正确. 【详解】一方面若，则，从而， 此时，即ABD不满足题意； 另一方面我们考虑一般情况，若，则， 从而， 所以， 又，所以，也就是说一定能被21整除. 故选：C. 8.已知数列的通项公式为，那么当数列的前项和取得最大值时，的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】根据数列的通项公式判断该数列为递减数列，从而可判断数列的项的正负情况，即可求得答案. 【详解】由题意知数列的通项公式为， 故为等差数列，且公差为，为递减数列， 当时，；当时，； 设，则当时，，且； 当时，； 故的前30项之和为30个正数之和， 又，故的前32项之和最大， 故选：C 二、多选题 9．若正项数列是等差数列，且，则（    ） A．当时， B．公差d的取值范围是 C．当为整数时，的最大值为29 D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】利用等差数列的定义与性质计算一一判定选项即可. 【详解】设的公差为d， 对于A，由题意可知，故A正确； 对于B，由题意可知若，符合题意，故B错误； 对于C，因为各项为正数，所以，即， 则，当为整数时，的最大值为29，故C正确； 对于D，由B项结论可知D错误. 故选：AC 10.数列的前项和为，已知，则（   ） A．是递减数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】CD 【分析】由数列的通项公式与前n项和的关系即可求出，对选项分别讨论及计算即可得到正确答案. 【详解】当时，， 当时，， 不满足上式， 所以， 对于A，由于，，所以不是递减数列，所以A错误， 对于B，由于，，，所以， 所以不是等差数列，所以B错误， 对于C，由，得，所以当时，，所以C正确， 对于D，，因为， 所以当或4时，取得最大值，所以D正确， 故选：CD. 11.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 【答案】ABD 【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列与的下标关系判断D. 【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确； 对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误； 对于D，插入个数，则， 则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列， 于是，而是数列的项，令，当时，，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 【答案】 【分析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，根据题意得到方程组，解得答案. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，， 则根据题意有， 解得，所以戊所得为. 故答案为：. 13.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，则（1） ；（2）若，则 ． 【答案】 58 1028 【分析】研究图乙可得第行有个数，第行最后一个数为 ，前行共有个数，所以第行末位数为第个数，再根据每行都为等差数列，进行估算求值即可得解. 【详解】图乙中第行有个数，第行最后一个数为 ， 前行共有个数，所以第行末位数为第个数， 故第行末位数即第个数，即， 由每一行都为公差为的等差数列， 所以， 由， 所以在第45行， 第45行第一个数为， 设为第45行的第个数， 有，， 所以， 故答案为：. 14.设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的成等差数列，设数列的前项和为，且，若对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意，当时，，∴， ∴，∵，∴，即数列是等差数列，又，，∴．又，∴， ∴ ，∴，即的最小值为2． 故答案为2． 点睛：本题考查数列的综合应用，首先题意翻译为，这是常见的已知数列前项和与项的关系式，宜采取常用方法，由得出数列的递推式，从而确定数列的通项公式，在不等式的证明中，由于牵涉到函数，因此证明的第一步利用放缩法，去掉变量，即利用变形为，放缩后可数列的和易求（本题利用裂项相消法），最终证明结论． 四、解答题 15．已知等差数列中，，． (1)求这个数列的第项； (2)和是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是这个数列中的项，是第项，不是这个数列中的项，理由见解析 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据条件联方程，得到，，从而有，即可求出结果； （2）利用，得到和，解出相应的值，再利用，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则，解得，，所以， 故. （2）由（1）知，由，得到， 由，得到， 所以是这个数列中的项，是第项，不是这个数列中的项. 16.已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证， （2）根据等差数列的通项即可求解. 【详解】（1）为常数， 所以为公差为的等差数列， （2）由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 17.如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上． (1)求第个等边三角形的边长； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记数列前项和为，则顶点坐标为，，由点在函数上得出与的等量关系，得出是等差数列，根据等差数列通项公式求解即可； （2）根据裂项相消求和即可． 【详解】（1）记数列前项和为，则顶点坐标为，， 因为点在函数上， 所以，， 则，， 两式相减得，， 因为，所以，， 第一个等边三角形顶点代入得， 代入得，所以， 故是以为首项为公差的等差数列， 所以． （2）由（1）得，， 所以． 18.已知数列中，其前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数m，n，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n；若不存在，请给出证明． 【答案】(1) (2)不存在，证明见详解 【分析】（1）由作差法化简得，整理得，结合叠加法求得，验证可求的通项公式； （2）假设存在正整数m，n，则满足，化简若能找出符合条件的，则存在，否则则不存在. 【详解】（1）因为，即，当时，， 由得， 即，当时，， 即， 所以， ， ， ， ， 分别相加，得，又，所以， 即， 因为，，当时，，解得， 所以，，符合，故得通项公式为，； （2）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列，则满足， 即，化简得，因为， 所以为偶数，为奇数，故，则假设不成立， 即可推出不存在m，n，使得，，成等差数列. 19．定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 【答案】(1)；； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列的性质得出，进一步结合的定义即可得解； （2）结合新定义，分必要性、充分性两方面证明即可； （3）由数列的性质，得出4整除，即或，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【详解】（1）依题意，若，此时； 若，此时； 若，此时. （2）必要性：因为，故数列为等差数列， 所以，公差为-1， 所以； 充分性：由于， 累加可得，，即， 因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以， 所以， 综上所述，“”是“”的充要条件. （3）令，依题意，， 因为， 所以 ， 因为，所以为偶数， 所以为偶数； 所以要使，必须使为偶数，即4整除， 亦即或， 当时，比如或，时，有； 当时，比如或，时，有； 当或时，不能被4整除，. 【点睛】关键点点睛：想要完美的做出此题，关键在于对数列的新性质以及的定义有深刻的理解，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1 等差数列及其通项公式 课程标准 学习目标 （1）通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义; （2）能在具体的问题情境中, 发现数列的等差关系, 并解决相应的问题。 （1）掌握等差数列的概念，会证明某数列是等差数列; （2）掌握等差数列的通项公式，会求某等差数列通项公式.（难点) 知识点01 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) 解析 (1)公差是每一项减前一项，常数指的是与无关； (2)公差，当时，数列为常数列；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列 (3))是公差为的等差数列； 是公差为的等差数列； 不是等差数列. 【即学即练1】以下数列是等差数列的 . (1)；(2)；(3)数列满足. 知识点02 等差数列的通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 解析 (1)证明 若等差数列的首项为，公差为， 由等差数列的定义可得，， 所以， 把以上项等式累加可得， 当时，上式为，即上式当时也成立， 故. 等差数列的通项公式由等差数列的定义证明，以上证明方法为累加法. (2)等差数列的通项公式中共含有四个变数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． 【即学即练2】已知等差数列中，首项，公差，则通项公式等于(　　) A． B． C． D． 【题型一：等差数列的判定与证明】 例1．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 变式1-1．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 变式1-3．已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，，求的前n项和． 【方法技巧与总结】 1 证明某数列是等差数列，可利用定义法：是常数)，要注意的限制； 2 由递推公式证明等差数列，若直接对递推公式进行变形有时候有些难度，而直接去求或 3 判断某数列是等差数列，若是选择题，可采取取前三项检验是否可能为等差数列来排除选项. 【题型二：利用等差数列的定义求通项公式】 例2．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．12 D．21 变式2-4．在数列中，，若，则（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【方法技巧与总结】 要对常见的递推公式较为熟练，方能辨识出等差数列；往往是对递推公式通过作差、作商等方式进行变形，得到的形式，其中要有整体思想！ 【题型三：等差数列通项公式的基本量计算】 例3．已知为等差数列， ，则等于（    ） A． B． C． D． 变式3-1．设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．在等差数列中，p，，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 等差数列的通项公式为，说明四个量，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． 2 等差数列的基本量计算，可采取列方程组的方法，若学了等差数列的一些基本性质，则有时候会简便些. 【题型四：实际问题中的等差数列】 例4．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 . 变式4-1．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 变式4-2．我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为　　 A．6斤 B．9斤 C．10斤 D．12斤 变式4-3．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【方法技巧与总结】 实际问题中，要先理解题意，提取出“等差数列”的信息，把其化为等差数列的基本量问题进行求解. 【题型五：等差数列通项公式的运用】 例5．已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（    ）. A．6 B．16 C． D．2 变式5-1．如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 变式5-3．设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 变式5-4．已知数列是公差不为的等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由． 【方法技巧与总结】 利用题中的已知条件把等差数列的基本量求出，把问题转化为其他的问题，根据具体的要求进行求解. 一、单选题 1．已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 2.在等差数列中，，，则数列的公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知等差数列各项均为正整数，，，则其公差d为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4. 已知数列满足，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 5. 若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 6. 已知等差数列的公差为，若集合，则（    ） A． B． C． D． 7. 在等差数列中，能被3 整除，能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是（    ） A． B． C． D． 8.已知数列的通项公式为，那么当数列的前项和取得最大值时，的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 二、多选题 9．若正项数列是等差数列，且，则（    ） A．当时， B．公差d的取值范围是 C．当为整数时，的最大值为29 D．的取值范围是 10.数列的前项和为，已知，则（   ） A．是递减数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 11.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 三、填空题 12.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 13.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，则（1） ；（2）若，则 ． 14.设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的成等差数列，设数列的前项和为，且，若对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有．则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知等差数列中，，． (1)求这个数列的第项； (2)和是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 16.已知数列满足. (1)求证：是等差数列.(2)求数列的通项公式. 17.如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上． (1)求第个等边三角形的边长； (2)求数列的前项和． 18.已知数列中，其前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数m，n，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n；若不存在，请给出证明． 19．定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”. (1)若，且，写出所有可能的的值； (2)若，证明：“”是“”的充要条件； (3)若，证明：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$