1.1数列的概念（5知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

1.1 数列的概念 课程标准 学习目标 (1)通过日常生活和数学中的实例, 了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、通项公式), 了解数列是一种特殊函数。 (1)掌握数列的概念; (2)掌握数列的通项公式的概念，会判断简单数列的通项公式； (3)理解数列的递推公式的概念； (4)理解数列前n项和的概念，掌握通项公式与前n项和的关系，并会利用其求数列通项公式；(难点) (5)理解数列与函数的关系与区别，会判断数列的单调性和求数列的最大项或最小项。(难点) 知识点01 数列的概念 定义：数列是按照一定次序排列的一列数； 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项； 数列的表示：数列的一般形式可以写成，简记. 解析 与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： ①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同) ②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列，而由组成的集合是． ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如与代表不同的数列，而集合与却是相同的． 【即学即练1】 判断正误(正确的写正确，错误的写错误) (1)数列和数列是同一个数列．( ) (2)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) (3)与是不同的概念．( ) (4)有些数列没有通项公式．( ) 知识点02 数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 解析 与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项； 数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，比如数列，…，其通项公式可以是等 【即学即练2】已知数列，则这个数列的一个通项公式是(　　) A． B． C． D． 知识点03 数列的递推公式 若已知数列的第一项(或前项)，且任一项和它的前一项(或前项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 解析 (1) 举例：(初始条件)，(递推关系)； . (2) 通项公式与递推公式的异同 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号，直接用代入法求出该项 都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项 递推公式 可根据第项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项 【即学即练3】已知数列中，，则等于 . 知识点04 数列的前n项和 若为数列的前项和，即 则. 解析 (1) 若已知列的前项和，可利用公式求数列通项公式， (2)证明 若为数列的前项和，根据定义可得，， ， 故当时，； 当时，由得， 即. 【即学即练4】 已知数列的前n项和为，则 . 知识点05 数列与函数的关系 1 数列的分类 分类标准 名称 含义 例子 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的大小 递增数列 递减数列 常数列 每项都相等的数列 摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列 2 数列与函数的关系 数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，其图象是一系列有限或无限孤立的点. 如 数列与函数的比较 定义域 图象 增减性 递增数列 在递减，在递增 最值 最小项，无最大项 最小值，无最大值 【即学即练5】 数列的通项公式，求数列的最小项. 【题型一：数列的概念】 例1．下列说法中，正确的是(    ) A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 变式1-1．下列说法正确的是(    ) A．数列可以表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为1＋ D．数列可记为 变式1-2．下列叙述正确的是(    ) A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【方法技巧与总结】 1 理解数列的概念，注意集合与数列的区别；数列具有有序性、确定性、可重复性； 2 指的是整个数列，而是它的通项公式，表示数列的第项. 【题型二：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】 例2．数列，则该数列的第n项为(    ) A． B． C． D． 变式2-1．数列1,,,，的第n项为(    ) A． B． C． D． 变式2-2．数列的第项是(    ) A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 可把项分成几部分(比如符号、分子、分母、指数等等)，先确定每部分的规律写成其第项，再确定整项的写法. 【题型三：数列通项公式的运用】 例3．在数列中，已知，，则是数列中的(    ) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 变式3-1．在数列中，若，则(    ) A．17 B．23 C．25 D．41 变式3-2．已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 变式3-3．已知数列满足：对，，设为数列的前n项之积，则下列说法错误的是(    ) A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 数列通项公式可看成是以为自变量的函数，如，只是自变量是正整数. 【题型四：数列的递推公式】 例4．在数列中，若，则(    ) A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 变式4-1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是(    ) A．， B．，， C．， D．，， 变式4-2．已知数列满足：. ，则(   ) A．34 B．42 C．46 D．64 变式4-3．已知数列满足，)，则(    ) A．2 B． C． D．2023 【方法技巧与总结】 递推公式是数列的一种表示方法，在求值的过程中注意下标的特点. 【题型五：由数列的递推公式求通项公式】 例5．(1)已知数列满足，，求的通项． (2)数列中，，(n为正整数)，求． 变式5-1．已知数列对任意满足，则(    ) A． B． C． D． 变式5-2．若数列满足且)，，则(    ) A． B． C． D． 变式5-3．已知数列满足，且，则(    ) A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 形如可采取累加法求通项公式，形如可采取累乘法求通项公式. 【题型六：利用数列的前n项和求通项公式】 例6．已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 变式6-1．已知数列的前项和为，若，则(    ) A． B． C． D． 变式6-2．已知数列满足，则(    ) A． B． C． D． 变式6-3．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【方法技巧与总结】 1 理解，它是分段的形式，类似分段函数，要注意分类讨论； 2 利用求通项公式，要注意看是否符合。 【题型七：数列的单调性问题】 例7．已知数列的通项公式为． (1)问是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由； (2)判断数列的增减性并证明． 变式7-1．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 变式7-2．数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是 ． 变式7-3．已知数列满足． (1)求和；(2)证明：数列为单调递增数列． 【方法技巧与总结】 判断数列的单调性，可以作差法：比较与的大小，或作商法：比较与的大小。 【题型八：数列的最值问题】 例8．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 变式8-1．数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是(   ) A．， 都有最小值 B．， 都有最大值 C．， 都无最小值 D．， 都无最大值 变式8-2．已知，则数列的偶数项中最大项为(    ) A． B． C． D． 变式8-3．（多选）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是(    ) A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 变式8-4．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【方法技巧与总结】 要求数列的最大项或最小项，方法1是犹如求函数最值，先分析数列的单调性，再求最大项或最小项； 方法2是利用数列与函数之间的关系，了解数列对应函数的性质从而得到数列的最大项或最小项. 一、单选题 1．下列四个命题中，错误的是(    ) A．数列的第项为 B．已知数列的通项公式为，则是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为 D．数列的通项公式为，则数列是递增数列 2.数列的第11项是(    ) A． B． C． D． 3.在数列中，若，则的值为(    ) A．17 B．23 C．25 D．41 4.已知数列满足，，则数列的前9项和为(    ) A．6 B． C．3 D． 5.已知数列的前项和为，则(    ) A．190 B．210 C．380 D．420 6.对于给定的正整数数列，满足，其中是的末位数字，下列关于数列的说法正确的是(    ) A．如果是5的倍数，那么数列与数列必有相同的项 B．如果不是5的倍数，那么数列与数列必没有相同的项 C．如果不是5的倍数，那么数列与数列只有有限个相同的项 D．如果不是5的倍数，那么数列与数列有无穷多个相同的项 7.已知数列{an}的通项公式为，则此数列的最大项为(    ) A． B． C． D． 8.已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9. 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（     ） A． B． C． D． 10.若数列满足，对任意正整数n，恒有，则的通项可以是(    ) A． B． C． D． 11.已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是(    ) A．数列有最小项，且有最大项 B．使的项共有项 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的为4 三、填空题 12．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 13.若数列满足则的值为 . 14.已知数列满足：为正整数)，则 ． 四、解答题 15．已知无穷数列 (1)求出这个数列的一个通项公式；(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？ 16.已知数列{an}中，，. (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式；(3)画出数列的图象． 17.已知正项数列的前项和为，且. (1)证明：是单调递减数列. (2)求数列的前项和. 18.已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 19.已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项； (3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 数列的概念 课程标准 学习目标 (1)通过日常生活和数学中的实例, 了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、通项公式), 了解数列是一种特殊函数。 (1)掌握数列的概念; (2)掌握数列的通项公式的概念，会判断简单数列的通项公式； (3)理解数列的递推公式的概念； (4)理解数列前n项和的概念，掌握通项公式与前n项和的关系，并会利用其求数列通项公式；(难点) (5)理解数列与函数的关系与区别，会判断数列的单调性和求数列的最大项或最小项。(难点) 知识点01 数列的概念 定义：数列是按照一定次序排列的一列数； 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项； 数列的表示：数列的一般形式可以写成，简记. 解析 与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： ①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同) ②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列，而由组成的集合是． ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如与代表不同的数列，而集合与却是相同的． 【即学即练1】 判断正误(正确的写正确，错误的写错误) (1)数列和数列是同一个数列．( ) (2)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) (3)与是不同的概念．( ) (4)有些数列没有通项公式．( ) 【答案】 错误 正确 正确 正确 【分析】利用数列的概念进行判断正确错误. 【详解】对于(1)，按照一定次序排列起来的一列数称为数列，故(1)错误； 对于(2)，根据数列的概念，故(2)正确; 对于(3)，表示的第项，故(3)正确； 对于(4)，例如的不同近似值，根据精确度，可形成一个数列，则它没有通项公式，故(4)正确. 故答案为：①错误；②正确；③正确；④正确. 知识点02 数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 解析 与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项； 数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，比如数列，…，其通项公式可以是等 【即学即练2】已知数列，则这个数列的一个通项公式是(　　) A． B． C． D． 【答案】 知识点03 数列的递推公式 若已知数列的第一项(或前项)，且任一项和它的前一项(或前项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 解析 (1) 举例：(初始条件)，(递推关系)； . (2) 通项公式与递推公式的异同 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号，直接用代入法求出该项 都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项 递推公式 可根据第项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项 【即学即练3】已知数列中，，则等于 . 【答案】5 【详解】 ，. 知识点04 数列的前n项和 若为数列的前项和，即 则. 解析 (1) 若已知列的前项和，可利用公式求数列通项公式， (2)证明 若为数列的前项和，根据定义可得，， ， 故当时，； 当时，由得， 即. 【即学即练4】 已知数列的前n项和为，则 . 【答案】8 【详解】。 知识点05 数列与函数的关系 1 数列的分类 分类标准 名称 含义 例子 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的大小 递增数列 递减数列 常数列 每项都相等的数列 摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列 2 数列与函数的关系 数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，其图象是一系列有限或无限孤立的点. 如 数列与函数的比较 定义域 图象 增减性 递增数列 在递减，在递增 最值 最小项，无最大项 最小值，无最大值 【即学即练5】 数列的通项公式，求数列的最小项. 【答案】8 【详解】方法1 ， 当时，；当时，； 即在时递减，在时递增，故最小项为. 方法2 对应函数， 函数图象开口方向向上，对称轴为，易得时取到最小值. 所以最小项为. 【题型一：数列的概念】 例1．下列说法中，正确的是(    ) A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解. 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 变式1-1．下列说法正确的是(    ) A．数列可以表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为1＋ D．数列可记为 【答案】C 【分析】根据数列的概念求得正确答案. 【详解】A选项，数列和数列， 前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A选项错误. B选项，数列与数列的项的顺序不相同， 所以不是相同数列，B选项错误. C选项，，所以数列的第项为1＋，C选项正确. D选项，数列可记为，所以D选项错误. 故选：C 变式1-2．下列叙述正确的是(    ) A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【分析】作差即可判断A项；代入检验，即可判断B项；根据常数列以及数列的概念，即可判断C、D. 【详解】对于A项，设， 则 对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误. 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 理解数列的概念，注意集合与数列的区别；数列具有有序性、确定性、可重复性； 2 指的是整个数列，而是它的通项公式，表示数列的第项. 【题型二：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】 例2．数列，则该数列的第n项为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过数列的规律总结出数列的第n项即可 【详解】设该数列为， 则 以此类推可得， 故选：D 变式2-1．数列1,,,，的第n项为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析底数和指数的变化规律，得到数列通项. 【详解】底数构成等差数列，第n项为；指数构成等差数列，第n项为. 所以数列1,,,，的第n项为. 故选：D 变式2-2．数列的第项是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的前几项归纳可得其通项公式，从而可得第项. 【详解】由数列可得： ，归纳可得其通项为， 所以第项是. 故选：B. 【方法技巧与总结】 可把项分成几部分(比如符号、分子、分母、指数等等)，先确定每部分的规律写成其第项，再确定整项的写法. 【题型三：数列通项公式的运用】 例3．在数列中，已知，，则是数列中的(    ) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【分析】直接令，然后解出方程即可. 【详解】令，可得：， 解得或(舍). 故选：B 变式3-1．在数列中，若，则(    ) A．17 B．23 C．25 D．41 【答案】D 【分析】利用数列的通项公式求出即可. 【详解】 ， 故. 故选：D 变式3-2．已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】通过列举数列的项的方法，即可求解. 【详解】的前6项依次为，因为，故的最小值为6． 故选：C 变式3-3．已知数列满足：对，，设为数列的前n项之积，则下列说法错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A. 根据，判断.    B. 根据判断.C.根据 判断.D. 根据判断. 【详解】因为，，所以；故A正确. ，故B正确. ，故C正确. ，因为，，所以，故D错误. 故选：D. 【点睛】本题主要考查数列项的比较大小和累乘法，还考查了对数的换底公式对数函数的单调性，属于中档题. 【方法技巧与总结】 数列通项公式可看成是以为自变量的函数，如，只是自变量是正整数. 【题型四：数列的递推公式】 例4．在数列中，若，则(    ) A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】利用递推公式构造数列计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以是常数列，所以， 又，所以． 故选：B 变式4-1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是(    ) A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【分析】根据题意，得到，，，，…，由此得到答案. 【详解】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含， 由此可得数列满足. 故选：B． 变式4-2．已知数列满足：. ，则(   ) A．34 B．42 C．46 D．64 【答案】B 【分析】由,利用递推思想，逐项求出，再相加即可. 【详解】， 则，，，； 则． 故选：B. 变式4-3．已知数列满足，)，则(    ) A．2 B． C． D．2023 【答案】B 【分析】由题意确定数列为周期数列，然后求解即可. 【详解】由, 可推得 , 所以数列 是以3为周期的一个周期数列, 所以 . 故选：B. 【方法技巧与总结】 递推公式是数列的一种表示方法，在求值的过程中注意下标的特点. 【题型五：由数列的递推公式求通项公式】 例5．(1)已知数列满足，，求的通项． (2)数列中，，(n为正整数)，求． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用叠加法，结合裂项相消的知识可得通项公式； (2)利用累乘法求解即可. 【详解】(1)因为，所以， 所以 ； 综上：. 而符合上式，故. (2)因为，，所以， 综上：. 变式5-1．已知数列对任意满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，从而，再利用累乘法求解. 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 变式5-2．若数列满足且)，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得. 【详解】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 变式5-3．已知数列满足，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果. 【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，. 故选：B 【方法技巧与总结】 形如可采取累加法求通项公式，形如可采取累乘法求通项公式. 【题型六：利用数列的前n项和求通项公式】 例6．已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 【答案】(1) (2)151 【分析】(1)由与的关系，求数列的通项公式； (2)由直接求数列前6项和． 【详解】(1)数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合， 所以. (2)数列前6项和为. 变式6-1．已知数列的前项和为，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根据，求得数列的通项公式，依次判断选项即可. 【详解】，当时，，两式相减得： 当时，，所以数列的通顶公式 对于A，，，故A错误； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 变式6-2．已知数列满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列递推式考虑赋值作差，即可求出，需要检测首项是否符合. 【详解】由 ① 知， 当时，； 当时， ②， 由① ② ：，即得， 当时，符合题意，故. 故选：A. 变式6-3．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由可得，两式相减由累乘法可求出的通项公式； (2)求出，由裂项相消法可求出数列的前项和. 【详解】(1)因为，令得， 因为， 所以， 两式相减得， 即． 所以， 所以， 即， 所以当时，， 又，所以． (2)由(1)可得， 所以. 【方法技巧与总结】 1 理解，它是分段的形式，类似分段函数，要注意分类讨论； 2 利用求通项公式，要注意看是否符合。 【题型七：数列的单调性问题】 例7．已知数列的通项公式为． (1)问是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由； (2)判断数列的增减性并证明． 【答案】(1)是，第17项； (2)数列是递增数列，证明见解析 【分析】(1)由解方程，求得的值，如果是正整数则是数列的项，否则不是； (2)计算的表达式并化简，若差值为正，则是递增数列，差值为负，则是递减数列；若差值时正时负，则数列在整体上没有单调性. 【详解】(1)是这个数列的第17项．理由如下： 由，可解得， 故是数列的项，是第17项． (2)数列是递增数列，证明如下： 由题知， ，即 数列是递增数列． 变式7-1．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解. 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列， 即，， 整理得， 令，则，， 所以数列单调递减，故是数列的最大项， 则的取值范围为，故C正确. 故选：C． 变式7-2．数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则，即， 整理可得，由一次函数的单调性且，则， 解得. 故答案为：. 变式7-3．已知数列满足． (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】(1)根据条件，取，即可求出，再利用与间的关系即可求出结果； (2)根据(1)中结果，通过证明，即可证明结果. 【详解】(1)因为①， 当时，， 当时，②， 由①②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，，. (2)由(1)知，，易知，则， 又对一切恒成立，所以， 得到对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 【方法技巧与总结】 判断数列的单调性，可以作差法：比较与的大小，或作商法：比较与的大小。 【题型八：数列的最值问题】 例8．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1) (2)第项 【分析】(1)根据求通项即可； (2)根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【详解】(1)当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. (2)由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 变式8-1．数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是(   ) A．， 都有最小值 B．， 都有最大值 C．， 都无最小值 D．， 都无最大值 【答案】A 【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案． 【详解】因为，所以当时，且单调递减； 当时，，且单调递减，故当时，为最小值； 又因为当时，；当时，，故可得最小， 综上可知，都有最小值． 故选：A 变式8-2．已知，则数列的偶数项中最大项为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作商探讨数列的单调性，进而求出最大项即可. 【详解】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为. 故选：D 变式8-3．（多选）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是(    ) A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 【答案】ABD 【分析】判断数列的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B选项，再根据项与1的大小关系判断的单调性及最值判断C，D选项即可. 【详解】，∴当时随着的增大越来越小且小于， 当时随着的增大越来越小且大于，则前项中最大项为，最小项为， 故A，B选项正确； 当时， 当时，,所以数列不是单调递减，C选项错误； 前 n 项积取得最小值时为9，故D选项正确. 故选：ABD. 变式8-4．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据求出通项公式； (2)求出，当时，计算出，，当时，，从而得到数列的最大项. 【详解】(1)中，令得， 当时，， 其中， 故 (2)当时，， 当时，， 则， 当时，， 当时，，，故， 故时，的最大项为， 又，故数列的最大项为. 【方法技巧与总结】 要求数列的最大项或最小项，方法1是犹如求函数最值，先分析数列的单调性，再求最大项或最小项； 方法2是利用数列与函数之间的关系，了解数列对应函数的性质从而得到数列的最大项或最小项. 一、单选题 1．下列四个命题中，错误的是(    ) A．数列的第项为 B．已知数列的通项公式为，则是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为 D．数列的通项公式为，则数列是递增数列 【答案】C 【分析】根据数列的定义由通项公式写出第项，判断A，令解出项数判断B，数列各项减1配出等比数列，求出通项公式判断C，作差，确定其正负后，判断D． 【详解】A，数列的第出项为，A正确； B，令，得或(舍去)，B正确； C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为，C错误； D，，则，因此数列是递增数列，D正确， 故选：C． 2.数列的第11项是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式， 确定数列的第项. 【详解】设该数列的第项为， 由已知， 变形可得， 所以数列的一个通项公式可以是， 则． 故选：A. 3.在数列中，若，则的值为(    ) A．17 B．23 C．25 D．41 【答案】A 【分析】根据给定的通项公式，直接计算即可. 【详解】依题意，. 故选：A 4.已知数列满足，，则数列的前9项和为(    ) A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用数列递推公式对进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得. 【详解】因，由可推得，， 则，，， 故数列是周期为3的数列， 从而数列的前9项和为. 故选:. 5.已知数列的前项和为，则(    ) A．190 B．210 C．380 D．420 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，结合变形，再构造常数列求出通项即可得解. 【详解】数列中，，，当时，， 两式相减得，即， 因此，显然数列是常数列， 而，解得，于是，因此， 所以. 故选：B 6.对于给定的正整数数列，满足，其中是的末位数字，下列关于数列的说法正确的是(    ) A．如果是5的倍数，那么数列与数列必有相同的项 B．如果不是5的倍数，那么数列与数列必没有相同的项 C．如果不是5的倍数，那么数列与数列只有有限个相同的项 D．如果不是5的倍数，那么数列与数列有无穷多个相同的项 【答案】D 【分析】分情况讨论的个位数字为0或5，结合数列中项的个位数字，即可判断A项；根据推理可知，如果不是5的倍数，那么数列的末位数字只能是2，4，6，8，这与数列中项的个位数字相同，即可判断B、C、D项. 【详解】如果是5的倍数，则的个位数字为0或5. 当的个位数字为0时，则，根据可知个位数字都是0； 当的个位数字为5时，则，根据可知，时，个位数字都是0； 而数列中项的个位数字只能为2，4，6，8， 所以数列与数列没有相同的项，A项错误； 当不是5的倍数时，这个数字加上它的末尾数字，一直加下去，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8， 数列中项的个位数字也只能是2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，故B、C不正确，D项正确. 故选：D. 7.已知数列{an}的通项公式为，则此数列的最大项为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：利用作差法求解；法二：设数列的第n项最大，由求解. 【详解】解：方法一： －＝·， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 所以数列有最大项，为第8项和第9项，且. 方法二：设数列的第n项最大，则， 即， 解得，又，则或， 故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且. 故选：D 8.已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求数列的解析式，再结合数列的解析式，以及条件，判断数列和的单调性，即可判断选项. 【详解】由条件可知，， 当时，， 当时，， 验证，当时，， 所以， 当时，，单调递减，此时，故A错误； ，单调递增，所以，故B错误； 当时，，成立， 当时，，故C错误； 当时，， 当时，单调递减，当时，数列取得最大值，， 当时，， 所以，故D正确. 故选：D 二、多选题 9. 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，逐项验证判断即得. 【详解】对于A，，符合题意，A是； 对于B，，符合题意，B是； 对于C，，符合题意，C是； 对于D，，不符合题意，D不是. 故选：ABC 10.若数列满足，对任意正整数n，恒有，则的通项可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由，可判断A；对于B，，可判断B；对于C，当时，可得，当时，可得，可判断C；对于D，数列是以3为周期的周期数列，可判断D. 【详解】对于A，，当时最小，满足题意，A正确； 对于B，， 当，，所以，B错误； 对于C，，当时，， 当时，，且随n的增大而减小，符合题意，C正确； 对于D，， 数列的前7项依次为，，1，，，1，， 该数列是以3为周期的周期数列，故D正确． 故选:ACD. 11.已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是(    ) A．数列有最小项，且有最大项 B．使的项共有项 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的为4 【答案】ABD 【分析】首先利用作差法判断单调性，列出数列的前几项，再结合各选项一一判断即可. 【详解】因为，所以， 令，即，解得， 又，所以当时， 则当或时， 令，解得， 所以，， 所以数列有最小项，且有最大项，故A正确； 由，则又，所以或或或或， 所以使的项共有项，故B正确； 要使，又，所以、、中有个负数或个负数， 所以或或，故满足的的值共有个，故C错误； 因为时，时， 所以当为时取得最小值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 【答案】 【分析】从图(1)、图(2)、图(3)、…的个数之和找到对应的数字规律. 【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子； 第2个图中有11个化学键和10个原子； 第3个图中有16个化学键和14个原子， 观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子， 则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为. 故答案为： 13.若数列满足则的值为 . 【答案】 【分析】由已知条件找出数列的周期计算即可 【详解】 所以当时，， 当时，， 依此类推，， 因此数列为周期数列，周期， . 故答案为：. 14.已知数列满足：为正整数)，则 ． 【答案】 【分析】已知式减去的递推式可得解. 【详解】当时，， 当时，， ， 两式相减得，可得， 综上，. 故答案为：. 四、解答题 15．已知无穷数列 (1)求出这个数列的一个通项公式； (2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？ 【答案】(1)an＝(n＝1，2，…) (2)有，4项 【详解】(1) ∵ 数列的分子依次为4，9，16，25，…，可看成与n有关的关系式(n＋1)2， 而每一项的分母恰好比分子大于1，∴ 通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1， 故该数列的一个通项公式为an＝(n＝1，2，…). (2) 当≤an≤时，可得≤≤， 解得2≤n≤5，故数列在[，]内有项，并且有4项． 16.已知数列{an}中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式； (3)画出数列的图象． 【答案】(1)1，，，， (2) (3)图见解析 【分析】(1)直接代入计算即可； (2)根据前5项猜想； (3)画出点集即可. 【详解】(1)，， ，，. (2)猜想：. 下面证明其通项为，，显然，则， 则， 累乘得，所以对也适合，则. (3)图象如图所示： 17.已知正项数列的前项和为，且. (1)证明：是单调递减数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据的关系可得，即可求证为等差，即可求解，进而可得，利用作商法即可求解， (2)根据为奇数和偶数，即可裂项求解. 【详解】(1)证明：当时，，得. 因为，所以. 当时，由， 得，即. 因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以. 当时，也适合该式，所以. 因为，且，所以是单调递减数列. (2)因为. 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 故 18.已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案. (2)由(1)的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【详解】(1)由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. (2)由(1)知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 19.已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项； (3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用与的关系求通项公式即可； (2)求出数列的通项公式，利用数列的单调性求出最大项； (3)分离出，利用数列的单调性求出的取值范围即可. 【详解】(1)当时，， 当时，,不满足上式， 故数列的通项公式为； (2)由已知得， 当时， ， ，则，， 所以当时，单调递增， ， 所以数列的最大项是该数列的第项； (3)由已知得，， 则，解得， 当时， ， 要使，即， 设， 则， 所以数列为单调递增数列，即， 综上，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$