第11讲 基本不等式的证明（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第11讲 基本不等式的证明 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 基本不等式的推导与证明 2 题型02 用基本不等式证明不等式 4 题型03 用基本不等式求最值 7 易错归纳 1 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 基本不等式的推导与证明 基本不等式：如果a，b是正数，那么________，当且仅当________时，等号成立．我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 对于正数a，b，我们把____________称为a，b的算术平均数，称为a，b的________________． 注意点： (1)均值不等式常见的变形：①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；②当a＞0，b＞0，则ab≤2. (2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等 题型01基本不等式的推导与证明 【解题策略】 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正：a，b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解 【典例分析】 【例1】(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 (2)不等式a＋1≥2(a>0)中，等号成立的条件是(　　) A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 （3）下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－ ≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 【变式演练】 【变式1】（22-23高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏·课前预习）一般地，对于正数，总有，当且仅当 时等号成立，这个不等式常称为基本不等式. 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立． 题型02 用基本不等式证明不等式 【解题策略】 利用基本不等式证明不等式的策略 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”　 【典例分析】 【例2】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数. 求证：. 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【变式3】（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 题型03 用基本不等式求最值 【解题策略】 拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件 【典例分析】 【例3】（2023高二下·福建·学业考试）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东广州·期中）设均为正数，且，则的最小值是 ． 【变式2】（23-24高一上·天津·期中）已知，，且，则的最小值为 ． 【变式3】（22-23高一上·云南大理·期末）设，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 易错点1 忽略变量的取值范围致错 【例1】求的最大值. 易错点2 忽略定值的条件致错 【例2】[黑龙江大庆实验中学2023 高一月考]已知 ，则的最小值为（） 易错点3 多次应用基本不等式致错 【例3】已知，，且，求的最小值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 2．（21-22高二上·广西桂林·阶段练习）若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一·全国·课后作业）若且，则下列不等式中恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 4．（20-21高二下·云南昭通·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 5．（2024高一上·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东珠海·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）基本不等式应用条件    公式    取等条件 8．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则 ． 9．（21-22高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，，给出下列四个不等式： ①；②；③；④.其中正确的不等式有 .（填上所有正确的序号） 四、解答题 10．（23-24高一上·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 11．（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）（1）描述并证明基本不等式； （2）已知a、b、c为正数，且满足abc=1，证明：； 【能力提升】 一、单选题 1．（20-21高一上·江苏常州·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·全国·单元测试）已知，均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一上·全国·单元测试）若a，b，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 9．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）基本不等式的公式为 ，此公式的适用范围是 ；当且仅当 时等号成立. 四、解答题 10．（23-24高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 11．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知是实数，且满足，证明下列命题: (1)“”是“”的充要条件； (2)“”是“”的充分条件. 【创新拓展】 一、单选题 1．（21-22高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、填空题 2．（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）给出下列不等式：①，②，③，其中恒成立的是 . 三、解答题 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）（1）已知，，都是正实数，求证： （2）设，且，求证： 4．（23-24高一上·安徽宿州·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知为不全相等的正实数，求证：. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高一上·河南洛阳·期末）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 基本不等式的证明 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 基本不等式的推导与证明 2 题型02 用基本不等式证明不等式 4 题型03 用基本不等式求最值 7 易错归纳 1 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 基本不等式的推导与证明 基本不等式：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 注意点： (1)均值不等式常见的变形：①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；②当a＞0，b＞0，则ab≤2. (2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等 题型01基本不等式的推导与证明 【解题策略】 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正：a，b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解 【典例分析】 【例1】(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 (2)不等式a＋1≥2(a>0)中，等号成立的条件是(　　) A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)对于A，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故D正确． (2)因为a>0，根据基本不等式≤，当且仅当a＝b时，等号成立，故a＋1≥2中，当且仅当a＝1时，等号成立． （3）下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－ ≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 答案　② 解析　①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当x＝，即x＝1时，等号成立， 因为x>1，所以x＋>2； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 【变式演练】 【变式1】（22-23高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD. 【详解】解： ，即，故A恒成立， 取，此时，故B不恒成立， 因为，所以，所以，故C恒成立， 因为，所以，所以，故D恒成立， 故选：B 【变式2】（23-24高一上·江苏·课前预习）一般地，对于正数，总有，当且仅当 时等号成立，这个不等式常称为基本不等式. 【答案】 【解析】略 【变式3】（22-23高一·全国·课堂例题）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立． 【答案】证明见解析 【分析】运用基本不等式进行证明即可. 【详解】因为，，， 所以由基本不等式，得，，，当且仅当，，时成立， 把上述三个式子的两边分别相加， 得，即． 当且仅当时等号成立． 题型02 用基本不等式证明不等式 【解题策略】 利用基本不等式证明不等式的策略 从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”　 【典例分析】 【例2】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得 ≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数. 求证：. 【分析】利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】证明：， ∴，，，∴，，， ∴，当且仅当“”时等号成立 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式证明即可. （2）对不等式左边变形，然后根据基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为a，b是正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故. （2） ， 当且仅当时，即，时，取等号 【变式3】（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号 题型03 用基本不等式求最值 【解题策略】 拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件 【典例分析】 【例3】（2023高二下·福建·学业考试）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】，当且仅当“”时取等. 故的最小值为. 故选：D. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东广州·期中）设均为正数，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为均为正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值是. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·天津·期中）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得代入，结合不等式求解即可. 【详解】由可得：， 所以， 当且仅当即. 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·云南大理·期末）设，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式即可求出的最大值； （2）由，再由基本不等式求解即可. 【详解】（1）法一：， 当且仅当且时等号成立． ∴ab的最大值为 法二：，， 当且仅当，即，时等号成立． ∴ab的最大值为． （2）， 当且仅当时等号成立， ∴的最小值为 易错点1 忽略变量的取值范围致错 【例1】求的最大值. 【错解】令，则 当且仅当，即时，等号成立，则所求最大值为 【错因分析】此解答过程错误，当时，，忽视了对符号的讨论. 【正解】由知 当时，， 当且仅当，即时，等号成立；当或时，；当时，. 综上所述，的最大值为 易错点2 忽略定值的条件致错 【例2】[黑龙江大庆实验中学2023 高一月考]已知 ，则的最小值为（） 【错解】， 当时，即时，取最小值 【错因分析】此解答过程错误，它没有找出定值条件，只是机械地套用公式. 【解析】因为，即，所以，当且仅当时，即时，有最小值.故的最小值为. 【答案】 易错点3 多次应用基本不等式致错 【例3】已知，，且，求的最小值. 【错解】 的最小值为 【错因分析】上述解法错误的原因是两次使用基本不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为，即；第二次等号成立的条件为，故取不到最小值. 【正解】 当且仅当，，即时，等号成立. 解得 故当时，取得最小值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：C． 2．（21-22高二上·广西桂林·阶段练习）若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用基本不等式逐项求解判断. 【详解】A. 因为，，当且仅当 时，等号成立，故错误； B. 因为，所以，当且仅当 时，等号成立，故错误； C.由A知，所以，故正确； D. ，当且仅当，即时，等号成立，故错误； 故选：C 3．（20-21高一·全国·课后作业）若且，则下列不等式中恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式判断，错误的不等式可举反例． 【详解】当时，，A错； 时，满足，但，B错； 时，满足，，C错． ，则，，当且仅当时等号成立．D正确． 故选：D． 4．（20-21高二下·云南昭通·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义，结合基本不等式，可得答案. 【详解】当时，显然成立，反之不成立； 当时，则，故，充分性成立； 令，由推不出，故”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 二、多选题 5．（2024高一上·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除. 【详解】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 6．（23-24高一上·广东珠海·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用作差法判断A；利用特值法判断B，利用不等式的性质判断C；利用不等式的性质及基本不等式判断D. 【详解】∵，∴，∴，故A正确； 取，则，此时，故B错误； ∵，∴，故C错误； ∵，，∴， ∴，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 7．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）基本不等式应用条件    公式    取等条件 【答案】 一正二定三相等 【分析】略 【详解】略 8．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则 ． 【答案】6 【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值. 【详解】由题意，由，得， 即，故． 又，所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时，解得或，则， 所以. 故答案为：. 9．（21-22高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，，给出下列四个不等式： ①；②；③；④.其中正确的不等式有 .（填上所有正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】利用基本不等式比较各项不等式左右两边的大小关系，注意等号成立的条件. 【详解】∵a>0，b>0， ∴①a+b+≥2≥2=2，当且仅当a=b=时取等号，正确； ②(a+b)()≥4·=4，当且仅当a=b时取等号，正确； ③∵≥，而a2+b2≥=(a+b)·≥(a+b)， ∴≥a+b，当且仅当a=b时取等号，正确； ④a+=(a+4)+-4≥2-4=-2，当且仅当a+4=，即(a+4)2=1时等号成立，而a>0，则(a+4)2≠1， ∴不能取等号，显然存在a=，有a+<a+，不正确. 故答案为：①②③ 四、解答题 10．（23-24高一上·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明； （2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明. 【详解】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以； （2）证明：由题意知，，且， 所以， 即. 同理可得， 所以， 即证. 11．（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）（1）描述并证明基本不等式； （2）已知a、b、c为正数，且满足abc=1，证明：； 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立，用作差法证明； （2）利用（1）中的基本不等式两项两项组合得三个不等式相加后可得结论． 【详解】证明：（1）当且仅当a=b时，等号成立. 对于，有，当且仅当，即时等号成立． 所以，当且仅当时，等号成立. （2）由条件得 ，当且仅当时等号成立 ，当且仅当时等号成立 ，当且仅当时等号成立 以上三个不等式相加可得：， 当且仅当时等号成立 得证 【能力提升】 一、单选题 1．（20-21高一上·江苏常州·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用，展开整理，可对A选项进行判断，对B、C选项举反例可进行判断，利用基本不等式，可对D选项进行判断，即可得答案. 【详解】A选项：对于任意，，即，当且仅当等号成立，故A错误； B选项：当，，，，故B错误； C选项：当时，，故C错误； D选项：对于任意，， 所以，即，当且仅当等号成立，故D正确. 故选：D 2．（20-21高一·全国·单元测试）已知，均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式判断C．ABD可通过举反例说明、 【详解】正数满足，若满足已知，但，，若满足已知，但， ，则 ，所以，，所以， ，即，当且仅当时等号成立． 故选：C． 3．（21-22高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 4．（20-21高一上·全国·单元测试）若a，b，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用综合法证得A选项错误.利用基本不等式判断BD选项的正确性，利用特殊值判断C选项错误. 【详解】由，，，于是，故A错； 而 ， 故D项正确，B项错误； 令，则，但，故C项错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 二、多选题 5．（23-24高一上·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 6．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质及基本不等式一一判定即可. 【详解】对于A项，， 因为，所以，即A正确； 对于B项，，由上可知，即B正确； 对于C项，，即C错误； 对于D项，，当且仅当时取得等号， 又，所以，即D正确. 故选：ABD 7．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式可判断A正确，B正确，C正确；取特值可判断D错误. 【详解】因为，，， 对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，取，，得，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 8．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 【答案】② 【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可. 【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当，即时，等号成立， 因为，所以，故①错误； ②因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故②正确； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件， 当时，，故③错误． 故答案为： ②. 9．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）基本不等式的公式为 ，此公式的适用范围是 ；当且仅当 时等号成立. 【答案】 ； 均为正数； . 【详解】略 四、解答题 10．（23-24高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【答案】(1)，证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用做差法可得答案； （2）利用基本不等式可得答案． 【详解】（1）结论：，当且仅当时，等号成立. 证明： ， 因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立； （2）因为a，b，c都是正数，且， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 11．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知是实数，且满足，证明下列命题: (1)“”是“”的充要条件； (2)“”是“”的充分条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合充要条件的定义即可证明. （2）由等式、不等式的性质、基本不等式，结合充分条件的定义即可证明. 【详解】（1）∵， 充分性:∵，， ∴充分性可得; 必要性:∵，又， ∴， 可得. ∴是的充要条件. （2）由，且，则， ∵，，当且仅当时等号成立， 所以，，， 可得，解得， ∴是的充分条件 【创新拓展】 一、单选题 1．（21-22高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 若，则由得，充分性成立， 若，例如，，但，因此不必要， 故选：A． 二、填空题 2．（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）给出下列不等式：①，②，③，其中恒成立的是 . 【答案】①② 【解析】利用配方法可得①②恒成立，当时不成立. 【详解】因为，所以，即①恒成立 因为，所以，即②恒成立 当时不成立 故答案为：①② 【点睛】本题考查的是不等式的知识，属于基础题. 三、解答题 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）（1）已知，，都是正实数，求证： （2）设，且，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）结合基本不等式证明即可； （2）先证明，再结合作差法比较大小证明，进而可证明结论. 【详解】（1）因为，，都是正实数， 所以，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即. （2）因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 由，得，， 所以， 所以， 即. 4．（23-24高一上·安徽宿州·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知为不全相等的正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 即. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高一上·河南洛阳·期末）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）7 【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解； （2）由题意得，，，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为，，且， 当且仅当，时取等号，所以， 故的最大值为； （2）因为正数，满足， 所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$