第10讲 概率的进一步认识 （2个知识点+8种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第10讲 概率的进一步认识 （2个知识点+8种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【例1】（2024•武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•江夏区校级月考）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球，记下标号后放回，再随机摸出一球，则两次标号之和为4的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024•辽宁二模）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是　　． 【变式3】（2024•长沙一模）自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，校长和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位，则校长和学生乙坐在正对面的概率为 　　． 【变式4】（2024•雁塔区校级四模）一个不透明的袋子中装有三个小球，其中一个红球，两个白球，这些小球除颜色外完全相同． （1）从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球的颜色是白色的概率是 　　． （2）先从袋子中随机摸出一个小球，记下小球颜色后放回，摇匀后再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球颜色．小红同学认为“两次摸出的小球颜色只有两种结果，要么相同，要么不同，所以两次摸出的小球颜色相同的概率是”．你认为小红的看法正确吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 知识点2．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【例2】（2024•榕城区二模）通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•赵县期末）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有　　个红球． A．2 B．3 C．6 D．8 【变式2】（2024•锦江区校级模拟）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼 　　条． 【变式3】（2024•清镇市一模）一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则的值约为 　　． 【变式4】（2024春•云龙区校级月考）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 （1）表格中的值为 　475　，的值为 　　． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率 　　． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了400件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 经典题型汇编 题型一、几何概率 1．（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，已知正方形的边长为，分别以点，为圆心，为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒．当车辆随意经过该路口时，遇到绿灯的概率是 ． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，求该小球停留在黑色区域的概率． 题型二、列举法求概率 4．（2024·内蒙古赤峰·二模）从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）随机掷三枚均匀的硬币一次，至少一次正面都朝上的概率是 ． 6．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．    (1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______． (2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 题型三、列表法或树状图法求概率 7．（22-23九年级上·河南新乡·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）从2名男生和2名女生中选取两人参加演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 9．（2024·云南昭通·二模）今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： (1)甲选择看A电影的概率是_______________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 题型四、游戏的公平性 10．（2023九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 11．（23-24九年级上·吉林四平·期末）一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中 获胜的机会大． 12．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 题型五、概率的其他应用 13．（20-21九年级上·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（20-21九年级上·四川·阶段练习）从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 15．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 题型六、求某事件的频率 16．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 18．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）有张背面相同的卡片的正面上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上洗匀． (1)从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片次，其中有次抽到数字，则这次中抽到数字的频率为______．如果再抽第次，那么抽中的数字的概率为______． (2)健健和康康兄弟俩为决定当天晚饭后洗碗任务的归属，设计了如下游戏规则：两人从四张卡片中同时各抽取一张卡片，若两张卡片上数字和为正数，则健健洗碗；若两张卡片上数字和为负数，则康康洗碗．该游戏规则公平吗？请用树状图或列表方法说明理由． 题型七、由频率估计概率 19．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（    ） A．0.016 B．0.1 C．0.116 D．0.16 20．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是 ． 21．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个． (2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 题型八、用频率估计概率的综合应用 22．（23-24九年级上·河南周口·期末）在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（    ） A．24个 B．22个 C．20个 D．16个 23．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 24．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000 优等品频数 188 471 946 1426 1898 优等品频率 (1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？ (2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中． ①求从袋中摸出一个球是黄球的概率； ②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ 试题练习 一、单选题 1．（20-21九年级上·山东烟台·期末）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的袋子中只装有红球和黄球，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子中．不断重复这一过程，摸出1000次球，发现有800次摸到红球．从口袋中随机摸一次，摸到红球的概率大约为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，一个可以自由转动的自由盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，朝上的一面可能会出现：①都是正面；②一正一反；③都是反面．则两枚硬币出现一正一反结果的概率为（    ） A． B． C． D．1 5．（九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 7．（九年级上·全国·单元测试）在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中，有如下不同的观点，其中正确的是（    ） A．摸出的球不能放回 B．摸出的球一定要放回 C．可放回，可不放回 D．不能用摸球试验来模拟此事件 8．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 9．（九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 10．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 二、填空题 11．（19-20九年级上·内蒙古乌海·期末）□ABCD的两条对角线AC、BD相交于O，现从下列条件：①AC⊥BD②AB=BC③AC=BD ④∠ABD=∠CBD中随机取一个作为条件，可推出□ABCD是菱形的概率是 12．（23-24九年级上·四川巴中·期末）一对夫妇有两个孩子，若其中一个孩子是男孩，则另一个是女孩的概率是 ． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．假设全班一共做了400次摸球试验，摸到白球的频数为40，且已知袋中有5个白球，估计袋中红球有 个． 14．（23-24九年级上·云南保山·期末）在一个不透明的袋子中，有白色棋子和黑色棋子共20颗，这些棋子除颜色外均相同，将袋中的棋子搅匀，从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有60次摸到黑色棋子，请你估计这个袋子中黑色棋子有 颗． 15．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）将分别标有“醉”“美”“贵”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“贵州”的概率是 ． 16．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为 ． 17．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为 ． 18．（22-23九年级上·山西忻州·期末）党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据： 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽 28 72 125 200 457 814 1187 2185 依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01） 三、解答题 19．（20-21九年级上·河南新乡·期中）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 20．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）下面是小宇和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据． 抛掷次数 正面朝上的频数 正面朝上的频率 (1)将表格补充完整； (2)根据上表统计的数据，估计“正面朝上”的概率． 21．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 22．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 23．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为和． (1)让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？ (2)让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 24．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）新学期，学校综合实践课上，老师带领大家在“做中学”，课程内容如下：邀请甲乙两名同学看成点分别在数轴和的位置上，如图所示，另外再选两名实力相同的同学进行诗歌竞猜，规则如下： 一人获胜，甲向右移动个单位长度，乙向左移动个单位长度； 若平局，甲向右移动单位长度，乙向左移动单位长度； (1)第一轮竞猜后，乙的位置停留在处的概率是 ； (2)第二轮竟猜后，分别取甲、乙停留的数作为点的横坐标和纵坐标，请用画树形图或列表法求出点甲，乙落在第二象限的概率． 25．（23-24九年级上·山西晋城·期末）我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 26．（23-24九年级上·四川成都·期末）为全面落实作息令，某市教育局对在校集中学习时间（不含课外活动）作了明确的要求，为了解某小学学生在校集中学习时长（不含课外活动）情况，某部门针对某校学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“4小时以内”，B表示“4-5小时以内”，C表示“56小时分钟以内完成”，D表示“6-7小时以内”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： (1)这次调查的总人数是___________人；扇形统计图中，B类扇形的百分比是___________；C类扇形所占的圆心角是___________． (2)请你补全条形统计图； (3)在D类学生中，有3名男生和1名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 概率的进一步认识 （2个知识点+8种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【例1】（2024•武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意列表，由表格可得出所有等可能的结果数以及至少有一辆车向左转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （直行，左转） （直行，右转） 左转 （左转，直行） （左转，左转） （左转，右转） 右转 （右转，直行） （右转，左转） （右转，右转） 由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种， 至少有一辆车向右转的概率为． 故选：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式1】（2024春•江夏区校级月考）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球，记下标号后放回，再随机摸出一球，则两次标号之和为4的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次标号之和为4的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 共有16种等可能的结果，其中两次标号之和为4的结果有：（1，3），（2，2），（3，1），共3种， ∴两次标号之和为4的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式2】（2024•辽宁二模）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是　　． 【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出让灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中能让灯泡发光的结果数为2， 所以能让灯泡发光的概率． 故答案为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 【变式3】（2024•长沙一模）自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，校长和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位，则校长和学生乙坐在正对面的概率为 　　． 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，再利用概率公式即可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有：，，共2种， 校长和学生乙坐在正对面的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【变式4】（2024•雁塔区校级四模）一个不透明的袋子中装有三个小球，其中一个红球，两个白球，这些小球除颜色外完全相同． （1）从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球的颜色是白色的概率是 　　． （2）先从袋子中随机摸出一个小球，记下小球颜色后放回，摇匀后再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球颜色．小红同学认为“两次摸出的小球颜色只有两种结果，要么相同，要么不同，所以两次摸出的小球颜色相同的概率是”．你认为小红的看法正确吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球颜色相同的结果有5种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）一个不透明的袋子中装有三个小球，其中一个红球，两个白球， 从袋子中随机摸出一个小球，摸出的这个小球的颜色是白色的概率是， 故答案为：； （2）小红的看法不正确，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球颜色相同的结果有5种， 两次摸出的小球颜色相同的概率是， 小红的看法不正确． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 知识点2．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【例2】（2024•榕城区二模）通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据频率估计概率解答即可． 【解答】解：钉尖朝上的频率稳定在0.75附近， 可估计钉尖朝上的概率为． 故选：． 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【变式1】（2023秋•赵县期末）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有　　个红球． A．2 B．3 C．6 D．8 【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 【解答】解：根据题意得： （个， 答：估计这个口袋中有6个红球． 故选：． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【变式2】（2024•锦江区校级模拟）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼 　1000　条． 【分析】鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【解答】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得， 解得， 经检验为原方程的解， 所以估计鱼塘中有鱼1000条． 故答案为：1000． 【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【变式3】（2024•清镇市一模）一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则的值约为 　5　． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：由题意可得，， 解得，， 经检验是原方程的根． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 【变式4】（2024春•云龙区校级月考）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 （1）表格中的值为 　475　，的值为 　　． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率 　　． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了400件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）用1减去合格品频率的稳定值即可； （3）总数量乘以不合格品的概率，再乘以每件的损失费即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：475，0.95； （2）可估计估计任抽一件该产品是合格品的概率为0.95， 所以， 答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05； （3）（元， 答：估计要在他奖金中扣除多少材料损失费40元． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 经典题型汇编 题型一、几何概率 1．（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，已知正方形的边长为，分别以点，为圆心，为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用几何概型求解概率问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键，将阴影部分分成两个小弓形，从而求解处出阴影部分的面积，进一步求出概率即可． 【详解】解：阴影部分的面积是， 正方形面积 ∴此点取自阴影部分的概率是， 故选：C 2．（2024·浙江温州·三模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒．当车辆随意经过该路口时，遇到绿灯的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率模型概率的求解，对于此题，类似于几何概率模型，将红灯、绿灯、黄灯对应的时间看成线段长、面积或体积皆可，根据几何概率的求法，找准两点：①全部情况的总长度（面积或体积）；②符合所求的长度（面积或体积）；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒， 遇到绿灯的概率为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，求该小球停留在黑色区域的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． 【详解】解：由图可知，黑色方砖6块，总共有方砖16块， ∴． 题型二、列举法求概率 4．（2024·内蒙古赤峰·二模）从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有情况，找出组成的两位数是3的倍数的情况，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：组成的两位数有，共12种情况，其中成的两位数是3的倍数的情况有，共4种， ∴； 故选C． 5．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）随机掷三枚均匀的硬币一次，至少一次正面都朝上的概率是 ． 【答案】0.875/ 【分析】本题主要考查了概率的求法，先利用列举法列出可能的结果，然后利用概率的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意，共有（正，正，正），（反，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（反，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反）8种情况， 至少一次正面都朝上的情况有（正，正，正），（反，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反）7种情况， 故至少一次正面都朝上的概率是． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．    (1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______． (2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率； （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为； （2）画树状图如下：    由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为． 题型三、列表法或树状图法求概率 7．（22-23九年级上·河南新乡·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和概率的公式是解题的关键．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【详解】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，树状图如下， 由上可得，一共有种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是． 故选：A． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）从2名男生和2名女生中选取两人参加演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 画树状图可得共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种， 所以恰好选中一男一女的概率为， 故答案为：． 9．（2024·云南昭通·二模）今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： (1)甲选择看A电影的概率是_______________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：甲选择看A电影的概率是； 故答案为：． （2）列表如下： 甲   乙 A B C D A B C D 由表知共有16等可能出现的结果，其中甲乙两同学选择同一部电影的有4种； ． 题型四、游戏的公平性 10．（2023九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】先利用概率公式计算出小颖胜的概率为，小明胜的概率为，然后再利用两者的概率相等可判断游戏公平． 【详解】解：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果数为1，反面朝上的结果数为1， ∴小颖胜的概率为，小明胜的概率为， ∵， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 【点睛】本题考查了游戏公平性和概率公式，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则不公平． 11．（23-24九年级上·吉林四平·期末）一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中 获胜的机会大． 【答案】乙 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画出树状图如图： ， 共有6种等可能出现的结果，其中摸出的两球是同一颜色的结果有2种，不同颜色的结果有4种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ， 甲、乙两人中乙获胜的机会大， 故答案为：乙． 12．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】这个游戏对双方不公平．理由见解析 【分析】本题考查了游戏的公平性、用树状图求概率等知识点，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平． 【详解】解：这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 题型五、概率的其他应用 13．（20-21九年级上·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键． 14．（20-21九年级上·四川·阶段练习）从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【答案】． 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率． 【详解】解分式方程得： 方程的解为负数， 且， 解得：且， 一次函数图象不经过第一象限， ， 且， 在，，，，，这个数中符合且的有，这个数， 使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注意求分式方程的解时分母不能为零． 15．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 题型六、求某事件的频率 16．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 17．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，随着抽取球数目的增加，频率值都在常数的附近摆动，由此能求出任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率．其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 随着抽取球数目的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数的附近摆动， ∴任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为． 答案为：． 18．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）有张背面相同的卡片的正面上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上洗匀． (1)从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片次，其中有次抽到数字，则这次中抽到数字的频率为______．如果再抽第次，那么抽中的数字的概率为______． (2)健健和康康兄弟俩为决定当天晚饭后洗碗任务的归属，设计了如下游戏规则：两人从四张卡片中同时各抽取一张卡片，若两张卡片上数字和为正数，则健健洗碗；若两张卡片上数字和为负数，则康康洗碗．该游戏规则公平吗？请用树状图或列表方法说明理由． 【答案】(1)，； (2)该游戏规则公平，理由见解析． 【分析】（）利用频率和概率公式计算即可求解； （）用列表法求出总的情况数，数字和为正数和负数的情况数，即可判断求解； 本题考查了频率和概率公式，用列表法或树状图法判断游戏公平性，掌握列表法或树状图法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵共抽卡片次，其中有次抽到数字， ∴这次中抽到数字的频率为； 抽到数字的概率为， 如果再抽第次，抽中的数字的概率为； 故答案为：，； （2）解：该游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 由表可得，共有中情况，其中两张卡片上数字和为正数的情况有种，两张卡片上数字和为负数的情况有种， ∴该游戏规则公平． 题型七、由频率估计概率 19．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（    ） A．0.016 B．0.1 C．0.116 D．0.16 【答案】D 【分析】 本题考查了用频率根据概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用乘坐三号线地铁的频率估计概率即可． 【详解】 解：乘坐三号线地铁的频率为， ∴乘坐三号线地铁的概率大约是0.16； 故选：D． 20．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4， 布袋中红球的个数大约是（个； 故答案为：16． 21．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个． (2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】(1)，2； (2)树状图见解析，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为． 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，画树状图计算概率： （1），根据多次试验的结果可得常数，再根据多次试验的频率估计概率，求出红球的个数； （2），先画出树状图得到所有等可能性的结果数，并找到恰好摸到1个白球，1个红球的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近，因此接近的常数就是， ∴摸到白球的概率为， 设红球由x个， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：，2； （2）解：画树状图得：   共有9种等可能得结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况， 摸到一个白球一个红球的概率为：. 题型八、用频率估计概率的综合应用 22．（23-24九年级上·河南周口·期末）在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（    ） A．24个 B．22个 C．20个 D．16个 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此列式计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D 23．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，根据频率稳定在左右估计概率为是解题的关键． 先抽到“云冈石窟”卡片的为，再用500乘以概率即可解答． 【详解】解：∵发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在0.15左右， ∴抽到“云冈石窟”卡片的概率为， ∴估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 故答案为：75． 24．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000 优等品频数 188 471 946 1426 1898 优等品频率 (1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？ (2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中． ①求从袋中摸出一个球是黄球的概率； ②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)①；②9个 【分析】本题主要考查利用频率估计概率： （1）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946； （2）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946； （2）解：①∵袋中一共有球个，其中有5个黄球， ∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；          ②设从袋中取出了个黑球，由题意得 ，解得， 故至少取出了9个黑球． 试题练习 一、单选题 1．（20-21九年级上·山东烟台·期末）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，正确画出树状图成为解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况， ∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）一个不透明的袋子中只装有红球和黄球，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子中．不断重复这一过程，摸出1000次球，发现有800次摸到红球．从口袋中随机摸一次，摸到红球的概率大约为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据概率公式求出摸到红球的概率即可得出答案． 【详解】解：∵共摸了1000次球，发现有800次摸到红球， ∴摸到红球的概率为， 故选：D． 3．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，一个可以自由转动的自由盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用红色区域的个数，除以所有区域的个数，即可求解，本题考查了概率的求法，解题的关键是：理解概率与区域数量之间的关系． 【详解】解：6个相同的扇形中，有2个红色区域， 转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于：， 故选：． 4．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，朝上的一面可能会出现：①都是正面；②一正一反；③都是反面．则两枚硬币出现一正一反结果的概率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了求简单的概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，让一正一反的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】解：共有都是正面；都是反面；一正一反；一反一正；四种情况， 其中两枚硬币出现一正一反结果的有一正一反；一反一正；两种情况， 故出现一正一反的概率为， 故选：C． 5．（九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右， 设白球有个， ，解得． 故选：B． 7．（九年级上·全国·单元测试）在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中，有如下不同的观点，其中正确的是（    ） A．摸出的球不能放回 B．摸出的球一定要放回 C．可放回，可不放回 D．不能用摸球试验来模拟此事件 【答案】B 【分析】一年有365天，6个人中有两个人生肖相同即从365天中任意取出6个数，其中有相同的概率，可以结合摸球实验来进行设计． 【详解】解：方案：有从1到365共365个球，这些球除数字不同外，其它都相同，从中任摸一球，放回，然后混合均匀以后再任意摸出一个，如此循环6次，则6次摸到的球有两个的数字相同的概率．故选：B 【点睛】本题考查了模拟实验求概率，通过模拟实验可以便于实验，容易实验． 8．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 9．（九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【答案】A 【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③， 故选A． 10．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率与游戏、运用画树状图求概率等知识点，用树状图列举出所有情况以及2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，然后比较即可解答． 【详解】解：设其余3张扑克分别为a,b,c. 共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种， ∴两方机会一样． 故选：C． 二、填空题 11．（19-20九年级上·内蒙古乌海·期末）□ABCD的两条对角线AC、BD相交于O，现从下列条件：①AC⊥BD②AB=BC③AC=BD ④∠ABD=∠CBD中随机取一个作为条件，可推出□ABCD是菱形的概率是 【答案】 【分析】根据菱形的判定方法直接就可得出推出菱形的概率． 【详解】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”直接判断①符合题意； 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可直接判断②符合题意； 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以③不符合菱形的判定方法； ，， BC=CD，是菱形，故④符合题意； 推出菱形的概率为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及概率，熟记菱形的判定方法是解题的关键，然后根据概率的求法直接得出答案． 12．（23-24九年级上·四川巴中·期末）一对夫妇有两个孩子，若其中一个孩子是男孩，则另一个是女孩的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法，列举法，列举出全部可能事件，再去求概率即可． 【详解】解：一对夫妇有两个孩子，若其中一个孩子是男孩，基本事件有：男女，女男，男男， ∴在已知其中有一个是男孩的条件下，另一个是女孩的概率为； 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．假设全班一共做了400次摸球试验，摸到白球的频数为40，且已知袋中有5个白球，估计袋中红球有 个． 【答案】45 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，摸到白球的频率为，即摸到白球的概率为，据此设出红球的个数，利用概率计算公式求解即可． 【详解】解：设袋中红球有x个，则袋中球共有个， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴估计袋中红球有45个， 故答案为：45． 14．（23-24九年级上·云南保山·期末）在一个不透明的袋子中，有白色棋子和黑色棋子共20颗，这些棋子除颜色外均相同，将袋中的棋子搅匀，从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有60次摸到黑色棋子，请你估计这个袋子中黑色棋子有 颗． 【答案】12 【分析】本题考查了利用频率估计概率（大量反复试验下频率稳定值即概率），同时也考查了概率公式的应用，熟练掌握概率的相关知识是解题关键．用到的知识点为：根据=所求情况数与总情况数之比．首先求出摸到的黑色棋子的频率，用频率去估计概率即可求出袋中黑色棋子的个数． 【详解】解：∵摸了100次后，发现有60次摸到黑色棋子， ∴摸到黑色棋子的频率是． ∵袋子中有白色棋子、黑色棋子共20个， ∴袋子中黑色棋子约有（个）． 故答案为：12． 15．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）将分别标有“醉”“美”“贵”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“贵州”的概率是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得． 【详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“贵州”的有2种结果， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“贵州”的概率为， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是根据概率相同来判断游戏公平性以及一元一次方程的应用，计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率等于所求情况数与总情况数之比； 【详解】解：若游戏对甲、乙双方都公平， ∴绿球与黑球的个数应相等，也为个， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：4． 17．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查几何概率,将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：∵ ∴米落在阴影区域的概率为 故答案为：． 18．（22-23九年级上·山西忻州·期末）党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据： 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽 28 72 125 200 457 814 1187 2185 依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01） 【答案】 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由题意知， 估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 三、解答题 19．（20-21九年级上·河南新乡·期中）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 【答案】(1) (2)25，125，75 (3)谨慎参加类似游戏 【分析】（1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少； （3）谨慎参加类似游戏． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 【点睛】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． 20．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）下面是小宇和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据． 抛掷次数 正面朝上的频数 正面朝上的频率 (1)将表格补充完整； (2)根据上表统计的数据，估计“正面朝上”的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查求频率；利用频率估计概率的知识； （1）根据频率为，将表格补充完整； （2）随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 抛掷次数 正面朝上的频数 正面朝上的频率 （2）随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到附近， 估计“正面朝上”的概率为． 21．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 【答案】(1)0.8 (2)128枪 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从图中获取准确的信息． （1）由图可确定频率，根据频率与概率的关系确定概率即可； （2）根据估计他正中靶心的枪数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，该运动员正中靶心的频率在0.8附近摆动，他正中靶心的概率估计值为0.8， 故答案为：0.8； （2）解：由题意知，， ∴估计他正中靶心的枪数为128枪． 22．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为和． (1)让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？ (2)让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何概率模型，涉及简单概率公式、列举法求概率等知识，熟记简单概率公式、几何概率模型解法及列举法求概率方法是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，利用图中面积关系，由简单概率公式代值求解即可得到答案； （2）由题意，画树状图，得到全部可能得结果，利用简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为和， ∴白色扇形是黑色扇形的2倍， ∴让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是； （2）解：画树状图如下：          共有9种等可能的结果，两次指针都落在白色区域的结果有4种， ∴一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为． 24．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）新学期，学校综合实践课上，老师带领大家在“做中学”，课程内容如下：邀请甲乙两名同学看成点分别在数轴和的位置上，如图所示，另外再选两名实力相同的同学进行诗歌竞猜，规则如下： 一人获胜，甲向右移动个单位长度，乙向左移动个单位长度； 若平局，甲向右移动单位长度，乙向左移动单位长度； (1)第一轮竞猜后，乙的位置停留在处的概率是 ； (2)第二轮竟猜后，分别取甲、乙停留的数作为点的横坐标和纵坐标，请用画树形图或列表法求出点甲，乙落在第二象限的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）若一人获胜，则甲停留在，乙停留在；若平均局，则甲停留在，乙停留在；再根据概率公式求解即可； （2）根据题干要求补全树状图，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）若一人获胜，则甲停留在，乙停留在；若平均局，则甲停留在，乙停留在； 所以第一轮竞猜后，乙的位置停留在处的概率是； 故答案为：； （2）补全树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中点甲，乙落在第二象限的有种结果， 所以点甲，乙落在第二象限的概率为． 25．（23-24九年级上·山西晋城·期末）我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 【答案】(1) (2)0.25 (3) 【分析】本题考查了列表法或树状图法： （1）根据概率公式求解； （2）根据频率的定义求解； （3）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出和为3的倍数的的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为； 故答案为： （2）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是； 故答案为：0.25 （3）解：列表如下． 第二次 第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种， 两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为． 26．（23-24九年级上·四川成都·期末）为全面落实作息令，某市教育局对在校集中学习时间（不含课外活动）作了明确的要求，为了解某小学学生在校集中学习时长（不含课外活动）情况，某部门针对某校学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“4小时以内”，B表示“4-5小时以内”，C表示“56小时分钟以内完成”，D表示“6-7小时以内”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： (1)这次调查的总人数是___________人；扇形统计图中，B类扇形的百分比是___________；C类扇形所占的圆心角是___________． (2)请你补全条形统计图； (3)在D类学生中，有3名男生和1名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)40，， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由A类百分比即可计算出总数，即可求出百分比以及圆心角； （2）根据总人数不全图形； （3）画出树状图即可得到答案． 【详解】（1）解：调查的总人数是：人， B类扇形的百分比是：， C类扇形所占的圆心角是：； （2）C类的人数：人 （3） 解： 共有12种等可能得情况，1名男生和1名女生的共有6种， 所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$