第10讲 实数（二） （2个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第10讲 实数（二） （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【例1】（2024春•白云区期中）如图，点表示的实数是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•南平期末）如图，数轴上的点表示的无理数可能是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•银川校级二模）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，点也在数轴上，且点是线段的中点，则点所表示的数是　　． 【变式3】（2024春•松江区校级月考）数轴上，点、所对应的实数分别是2和，则、两点的距离　　． 【变式4】（2023秋•汝州市期末）（图是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）在图（1）中，拼成的大正方形的面积为 　　，边的长为 　　； 知识运用： （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 知识点2．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【例2】（2024春•黄浦区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•庐阳区校级三模）计算：　　． 【变式2】（2024春•南川区期中）实数，在数轴上的对应点如图所示，化简：　　． 【变式3】（2023秋•雨花区期末）计算：． 【变式4】（2024春•东港区月考）计算： （1）； （2）． 经典题型汇编 题型一.实数与数轴 1．（20-21八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上点表示的实数是 . 3．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上作出对应的点． 题型二.实数的混合运算 4．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算： ； 5．（23-24八年级上·河北衡水·期末）若取，计算的结果是（    ） A． B．181.7 C． D． 6．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）请阅读：①如果，其中是整数，且，那么，； ②已知、是有理数，并且满足等式，求、的值． ， （有理数部分和无理数部分对应相等）． ，解得， 请解答： (1)如果，其中是整数，且，那么______，______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知，是有理数，并且满足等式，求的值． 题型三.程序设计与实数运算 7．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 8．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 题型四.新定义下的实数运算 10．（19-20八年级上·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 11．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若规定，表示最接近x的整数（，n整数）例如：，，，则的值（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 12．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）将4个数排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．求x的值． 题型五.实数运算的实际应用 13．（19-20八年级上·河南省直辖县级单位·期末）若，则 ． 14．（21-22八年级上·贵州毕节·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级上·山西忻州·期末）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号） 题型六.与实数运算相关的规律题 16．（23-24八年级上·河北衡水·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（    ） A． B． C．27 D．9 17．（23-24八年级上·山西运城·期末）观察下列数据：0，，，，，，，…．根据数据排列的规律，第个数据是 ． 18．（23-24八年级上·广东清远·期末）如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·山东青岛·二模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24·河北石家庄·阶段练习）有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，，且两点到点的距离相等，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江西南昌·期末）设，是实数，定义关于“∗”的一种运算如下：．则下列结论：①若，则或；②；③若，，则；④不存在实数，，满足．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 6．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．1 7．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正解的是(    ) A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·安徽·假期作业）计算： ． 12．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察下面一列数：，，，，…按照此规律第n个数是 ． 13．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 14．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，例如图，那么 ． 15．（23-24八年级上·河南郑州·期中）根据图中的程序，当输入为64时，输出的值是 16．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在数轴上，点表示3，过作数轴，取，连接，以点为圆心、以为半径画弧，在点的右侧交轴于点．则点表示的实数是 ；    17．（19-20八年级上·福建泉州·阶段练习）一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是 第2019个“智慧数”是 ． 18．（23-24八年级上·河南南阳·期中）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，下列结论：①就是200个2相乘；②；③，，估计比大；④的个位数字是8．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 19．（21-22八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 20．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来． (1)如图1，点A表示的数是 ； (2)如图2，直线l垂直数轴于原点在数轴上，请用尺规作出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 21．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； (2)计算：； (3)计算： ． 22．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 25．（23-24八年级上·江西吉安·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算： ． ②若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为． (1)填空： ， ， ； (2)求的共轭复数； (3)已知，求的值． 26．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 实数（二） （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【例1】（2024春•白云区期中）如图，点表示的实数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理可求得的长为，再根据点在原点的左侧，从而得出点所表示的数． 【解答】解：如图，， ， ， 点在数轴上表示的实数是． 故选：． 【点评】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数． 【变式1】（2024春•南平期末）如图，数轴上的点表示的无理数可能是　　 A． B． C． D． 【分析】设点表示的数为，则，再根据每个选项中的范围进行判断． 【解答】解：如图，设点表示的数为，则， ，，，， 符合取值范围的数为． 故选：． 【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键是明确数轴上的点表示的数的大小，估计无理数的取值范围． 【变式2】（2024•银川校级二模）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，点也在数轴上，且点是线段的中点，则点所表示的数是　　． 【分析】首先根据数轴上1，的对应点分别是点和点，可以求出线段的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【解答】解：数轴上1，的对应点分别是点和点， ， 是线段的中点， ， 点的坐标为：． 故答案为． 【点评】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离． 【变式3】（2024春•松江区校级月考）数轴上，点、所对应的实数分别是2和，则、两点的距离　5　． 【分析】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【解答】解：在数轴上，点、所对应的实数分别是2和， 、两点的距离． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上两点间距离公式是解题关键． 【变式4】（2023秋•汝州市期末）（图是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）在图（1）中，拼成的大正方形的面积为 　10　，边的长为 　　； 知识运用： （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 【分析】（1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形可得正方形的面积，由正方形面积公式可得的长度； （2）根据数轴上的点表示的数的特点可得表示的数． 【解答】解：（1）由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形， 大正方形的面积为； ， ； 故答案为：10，； （2）， 以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，点表示的数为或． 【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是掌握把无理数用数轴上的点表示． 知识点2．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【例2】（2024春•黄浦区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案． 【解答】解：．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； ．无法合并，故此选项不合题意； ．，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1】（2024•庐阳区校级三模）计算：　2　． 【分析】原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用二次根式的化简公式化简，即可得到结果． 【解答】解：原式 ． 故答案为：2． 【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：立方根定义，以及二次根式的化简公式，熟练掌握定义及公式是解本题的关键． 【变式2】（2024春•南川区期中）实数，在数轴上的对应点如图所示，化简：　　． 【分析】根据数轴可得：，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 【解答】解：根据题意得：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键． 【变式3】（2023秋•雨花区期末）计算：． 【分析】根据绝对值的性质，负整数指数幂和零指数幂的运算法则，算术平方根的定义先化简，然后计算加减即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟记运算法则并灵活运用． 【变式4】（2024春•东港区月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算立方根、算术平方根、绝对值和乘方，再计算加减； （2）先计算二次根式、立方根、绝对值，再计算加减． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 经典题型汇编 题型一.实数与数轴 1．（20-21八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数与数轴，先估算的值，结合数轴即可得出答案． 【详解】解：因为， 所以． 所以． 所以，这四点中所表示的数最接近的是点N． 故选：B． 2．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上点表示的实数是 . 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点的位置可得答案，解题时注意点在数轴的正半轴上． 【详解】解：∵半径, ∴点表示的数为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上作出对应的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，如图，轴，截取，根据勾股定理可得，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴的交点C即为所求． 【详解】解：如图在原点左侧作，轴，截取，连接，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴的交点C，则点C即为所求． ∵，， ∴， ∴， ∵点C在原点O的左边， ∴点C表示的数为． 题型二.实数的混合运算 4．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）计算： ； 【答案】 【分析】 本题考查实数的混合运算，先去绝对值，再进行加法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 5．（23-24八年级上·河北衡水·期末）若取，计算的结果是（    ） A． B．181.7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，先把的系数相加减，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 6．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）请阅读：①如果，其中是整数，且，那么，； ②已知、是有理数，并且满足等式，求、的值． ， （有理数部分和无理数部分对应相等）． ，解得， 请解答： (1)如果，其中是整数，且，那么______，______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知，是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9或． 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算、方程组的解，估计无理数是本题的关键，也是一个阅读材料问题，认真阅读，理解题意，从而解决问题． （1）根据夹逼法可得，依此可求a和b； （2）根据夹逼法可得，依此可求m和n，代入可得结论； （3）因为为有理数，所以也是有理数，根据材料可得方程组，解出可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵，其中是整数，且， ∴， 故答案为：2，； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵的小数部分为的整数部分为 ∴ 即； （3）解：∵，且，是有理数 ∴， ∴，，即 ∴， 当时，， 当时， ． ∴的值是9或． 题型三.程序设计与实数运算 7．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，解决本题的根据是熟记立方根的定义．根据立方根的定义，即可解答． 【详解】解：64的立方根是4， 4的立方根是：． 故选：B 8．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据运算程序运算即可得到结果，理解运算程序是解题的关键． 【详解】解：， ∵不是无理数， ∴最后输出的值为， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 题型四.新定义下的实数运算 10．（19-20八年级上·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【答案】3 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：3． 11．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若规定，表示最接近x的整数（，n整数）例如：，，，则的值（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算、新定义下的实数运算，根据题中定义和无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴由题意， ， 故选：C． 12．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）将4个数排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 题型五.实数运算的实际应用 13．（19-20八年级上·河南省直辖县级单位·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】由题意根据实数运算法则化简原式，变形后即可得出答案. 【详解】解：，可知，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握并利用幂运算法则变形是解题的关键. 14．（21-22八年级上·贵州毕节·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不成立； B.，故该选项不成立； C.，故该选项成立； D.，故该选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 15．（22-23八年级上·山西忻州·期末）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，进而可知BC的长，再在Rt△BCD中，根据勾股定理求出BD的长即可. 【详解】∵CD是中AB边上的高， ∴△ACD和△BCD都是直角三角形. 在Rt△ACD中 ∴， ∵, ∴， 在Rt△BCD中， . 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能正确的计算是解题的关键. 题型六.与实数运算相关的规律题 16．（23-24八年级上·河北衡水·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：则按此规律可推得这一列数中的第729个数应是（    ） A． B． C．27 D．9 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第729个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故选D． 17．（23-24八年级上·山西运城·期末）观察下列数据：0，，，，，，，…．根据数据排列的规律，第个数据是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字规律，通过观察可知，归纳规律即可，解题的关键是通过观察，善于归纳总结． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， 第五个数为， 第六个数为， ， ∴第个数据是． 故答案为：． 18．（23-24八年级上·广东清远·期末）如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类变化规律、勾股定理、实数的混合运算，得出规律是解此题的关键． （1）根据勾股定理，结合图形计算即可得出答案； （2）根据前面列出的式子即可得出规律； （3）将式子转化为，结合进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， …， ， 故答案为：； （3）解： ． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，把代入数值转换机中计算即可求出所求，解题的关键是掌握有理数的运算顺序及数值转换机的运算程序． 【详解】当时， ， ∵是有理数， ∴倒回运算， ∴， 故选：． 2．（2022·山东青岛·二模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数，在数轴上对应点的位置，分别得到实数，的取值范围，据此即可一一判定． 【详解】解：由实数，在数轴上对应点的位置可知：，， ，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的加减运算，绝对值的意义，准确判定出实数，的取值范围是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键．根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可． 【详解】解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是，分母是， 第个数是 故选B． 4．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，，且两点到点的距离相等，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何含义：数轴上两点之间的距离，以及两点间距离的计算：两个点在数轴上对应数的差的绝对值叫做两点间的距离，解题的关键在于正确计算． 【详解】数轴上点所表示的数分别是， ， 点到点的距离相等， ， 点表示的数为，且点表示的数为正数，在的右侧， 点的数为：， 故选：C． 5．（23-24八年级上·江西南昌·期末）设，是实数，定义关于“∗”的一种运算如下：．则下列结论：①若，则或；②；③若，，则；④不存在实数，，满足．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算、完全平方公式、整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则，准确进行计算是解答本题的关键． 先根据完全平方公式进行计算，可得，然后计算每一个选项，只有④不符合题意，由此选出答案． 【详解】解：根据题意得： ， ①， ， 或， 故①正确，符合题意； ②， ， ， 故②正确，符合题意； ③，， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④， ， ， ， ， ， 当时，满足， 故④不正确，不符合题意， 综上，正确的是①②③， 故选：． 6．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴．勾股定理求出的长，进而求出点E表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴， ∴点表示的数为； 故选A． 7．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出，据此可得答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点Р表示的数是． 故选B． 8．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正解的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴， 直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案，正确结合数轴分析是解题关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，选项A错误，不符合题意； ，选项B正确，符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 9．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查求代数式的值，实数的运算．根据选项中，的值，选择对应的代数式，并将x，y的值代入代数式进行求值即可得出结果．理解题意，根据输入的，的值选择对应的代数式是解决问题的关键． 【详解】解：A．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； B．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； C．当输入，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； D．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项符合题意． 故选：D． 10．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 二、填空题 11．（24-25八年级上·安徽·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．直接根据算术平方根的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察下面一列数：，，，，…按照此规律第n个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，得出运算规律是解决问题的关键． 符号是的对应数加1的次方，绝对值是的对应次方，第个数为：，由此规律得出答案即可． 【详解】解：第一个数：， 第二个数：， 第三个数：， ∴第个数是：； 故答案为：． 13．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，据此化简绝对值，求算术平方根和立方根即可得到答案． 【详解】解：观察数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，例如图，那么 ． 【答案】17 【分析】本题考查了实数的运算，正确运用已知公式是解题的关键． 直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：17． 15．（23-24八年级上·河南郑州·期中）根据图中的程序，当输入为64时，输出的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，先把64输入，计算出y的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把y的值输入进行计算，如此反复直至y的结果为无理数即可得到答案． 【详解】解：输入64时，，是有理数， 输入时，，是有理数， 输入2时，，是无理数， ∴输出结果为， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在数轴上，点表示3，过作数轴，取，连接，以点为圆心、以为半径画弧，在点的右侧交轴于点．则点表示的实数是 ；    【答案】 【分析】 本题考查实数和数轴，勾股定理与无理数．利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，点表示3， ∴， ∵数轴， ∴； ∴点表示的实数是； 故答案为：． 17．（19-20八年级上·福建泉州·阶段练习）一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是 第2019个“智慧数”是 ． 【答案】 3 2691 【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差． 【详解】设这两个数分别m、n，设m＞n， 即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）， 又∵mn是非0的自然数， ∴m+n和m﹣n就是两个自然数， 要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差． （k+1）2﹣k2＝2k+1，（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k，每个大于1的奇数与每个大于4且是4的倍数的数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，最小智慧数为3，从5开始，智慧数是5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20…即2个奇数，1个4的倍数，3个一组依次排列下去． 显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k+1＝（k+1）2﹣k2，都是“智慧数”． 因为：4k＝（k+1）2﹣（k﹣1）2，所以大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x2﹣y2＝（x+y）×（x﹣y）（其中x、y∈N），当x，y奇偶性相同时，（x+y）×（x﹣y）被4整除．当x，y奇偶性相异时，（x+y）*（x﹣y）为奇数，所以形如4k+2的数不是“智慧数”在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”． 由于2019-1＝3×672+2， 所以4×672＝2688是第2017个“智慧数”,故答案为2691． 【点睛】本题主要考查实数之中数与数的规律，详细读题，理清“智慧数”的含义是关键 18．（23-24八年级上·河南南阳·期中）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，下列结论：①就是200个2相乘；②；③，，估计比大；④的个位数字是8．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据乘方的定义可判断①；根据幂的乘方的逆运算可得，据此可判断②；根据题意可得，则，由此可判断③；求出，个数数字是2，，个数数字是4，，个数数字是8，，个数数字是6，，个数数字是2，得到规律这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现，据此可判断④． 【详解】解：就是200个2相乘，故①正确； ，故②正确； ，， ∴， ∴，即，故③正确； ，个数数字是2， ，个数数字是4， ，个数数字是8， ，个数数字是6， ，个数数字是2， ，个数数字是4， ……， 以此类推，可知这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字是6，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，数字类的规律探索，实数的运算，熟练掌握幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则是解题的关键． 三、解答题 19．（21-22八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 20．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来． (1)如图1，点A表示的数是 ； (2)如图2，直线l垂直数轴于原点在数轴上，请用尺规作出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了实数与数轴上的点一一对应，用勾股定理构造长度为的线段是解题关键． （1）利用勾股定理求出斜边长度即可得答案； （2）先作出长为的线段，再以表示1的点为圆心，在原点左侧截取点P，使P到表示1的点距离为即可． 【详解】（1）如图： ∵， ∴点A表示的数是， 故答案为：； （2）如图所示： 点P即为所求． 21．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； (2)计算：； (3)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），据此即可求解； （2）利用材料所给乘法运算和乘方运算法则即可求解； （3）据此可找到规律求解． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：原式 （3）解：由题意可得： ∵ ∴原式 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了学生举一反三以及抽象概括能力． 22．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： 【答案】 【分析】根据立方根，零指数幂，乘方法则计算即可，此题易将与混淆，零指数幂易错解成0，本题考查了立方根，零指数幂，乘方，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：原式． 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值； （3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3) 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是： （1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． （2）利用（1）中的发现即可解决问题． （3）根据（2）中的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：观察题中所给式子可知， 第四个式子为：． 故答案为：． （2）由（1）中的发现可知， 第个式子为：． 故答案为：为正整数）． （3）原式 ． 25．（23-24八年级上·江西吉安·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算： ． ②若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为． (1)填空： ， ， ； (2)求的共轭复数； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，1， (2) (3)或3 【分析】本题考查了实数的运算，完全平方公式，新定义，准确理解题意是解题的关键． （1）根据，则，，分别计算即可； （2）先根据完全平方公式计算，再根据共轭复数的定义求解即可； （3）将原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求出a、b的值，再代入求解即可． 【详解】（1），，； 故答案为：，1，； （2）， ∴的共轭复数为； （3）∵， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； 综上，的值为3或． 26．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$