精品解析：北京市石景山区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

石景山区2023—2024学年第二学期初一期末试卷 数学 考生须知： 1．本试卷共5页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列运算正确的是 A. x2+ x3 = x5 B. x4·x2 = x6 C. x6÷x2 = x3 D. ( x2)3 = x8 2. 如图，和不是同位角的是（ ） A B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为1的正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点P，Q，于点P，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 把分解因式，结果正确的是（ ）. A. B. C. D. 7. 下列调查样本选取方式合适的是（ ） A. 调查某校七年级学生平均身高情况，随机抽取该校初中30名男生的身高数据 B. 调查某小区家庭月平均用水情况，随机抽取该小区某栋楼所有住户月用水数据 C. 调查一批零件的质量情况，随机抽取这批零件中的100件调查其质量 D. 调查某市市民晨练情况，随机抽取某月任意10天在体育馆晨练人数 8. 已知点D是平分线上一点，过D点作交于点E，作交于点F，则与的数量关系是（ ） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 不确定 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9 分解因式：______． 10. 用不等式表示“m的2倍与5的差不小于10”为________． 11. 一个角的补角等于这个角的余角的倍，则这个角是______度； 12. 为了响应党的二十大报告“深化全民阅读”号召，某校组织了“书香流传 共享阅读——捐赠图书”活动，以下是对七年级（1）班40名同学捐赠图书数量的统计表，由统计表可知，七（1）班平均每名同学捐赠图书________本． 捐赠图书/本 1 2 3 4 5 人数 2 14 10 10 4 13. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值是________． 14. 下列各式中，与数轴上表示的解集对应的是________（填写序号即可）． ①或 ② ③ 15. 如图所示，请你添加一个适当的条件：________，使． 16. 八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有_________人． 三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分，22-27每小题6分，28题7分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19 解方程组：． 20. 解不等式组：． 21. 方程组解x，y都是非负数，且k为整数，求k的值． 22. 已知，求代数式的值． 23. 已知：，，，设．求M的取值范围． 24. 完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：（已知）， （________）． （________）． （已知）， （________）． （________）． 25. 2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的主题是“极目楚天 共襄星汉”．为发扬中国航天精神，激发青少年崇尚科学、敢于创新的热情，凝聚实现中国梦航天梦的强大力量，某中学开展了航空航天知识问答系列活动．七、八年级的学生参与了此项活动．为了解活动效果，该校从每个年级各随机抽取20名学生的成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．学生成绩x分为四组，如下表： 组 A B C D 成绩x b．七年级学生成绩的扇形统计图如下： c．七年级学生成绩在C组的是： 80 82 82 83 85 86 88 89 d．八年级学生成绩如下： 66 87 67 96 79 77 89 97 79 100 80 79 89 95 68 98 79 78 80 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）七年级被抽取的学生中，成绩在D组的有________人；扇形统计图中，B组部分圆心角是________°． （2）抽取的七年级学生成绩数据的中位数是________；抽取的八年级学生成绩数据的众数是_________． （3）若成绩90分以上记为优秀，该校八年级有220名学生，根据调查结果估计：该校八年级成绩优秀的约有多少人． 26. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． （1）A，B两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 27. 已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． （1）如图，，过O点作射线，与互余．求证：； （2）若，，请用含，式子表示． 28. 若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． （1）在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是________（填序号）． （2）已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________． （3）若关于x的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石景山区2023—2024学年第二学期初一期末试卷 数学 考生须知： 1．本试卷共5页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列运算正确的是 A. x2+ x3 = x5 B. x4·x2 = x6 C. x6÷x2 = x3 D. ( x2)3 = x8 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的运算法则依次分析各选项即可作出判断. 【详解】A、与不是同类项，无法合并； B、，本选项正确； C、； D、，故错误； 故选：B． 【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握合并同类项、幂的运算法则，即可完成． 2. 如图，和不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三线八角中的同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形． 根据同位角的定义逐一判断即可：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：A、和是同位角，不合题意； B、和不是同位角，符合题意； C、和是同位角，不合题意； D、和是同位角，不合题意． 故选B． 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． 不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断． 【详解】解：A、，则，故A符合题意； B、，则，故B不符合题意； C、，若，故C不符合题意； D、，则，因此，故D不符合题意． 故选：A． 4. 如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为1的正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解题关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出图中拼接前阴影部分的面积等于，阴影部分进行拼接后，长为，宽为，面积为，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：左图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 右图中阴影部分为矩形，其长为，宽为，则其面积为， ∵左右两个图形中阴影部分的面积相等， ∴可得． 故选：D． 5. 如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点P，Q，于点P，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质：“两直线平行，内错角相等”可得，再根据垂直的定义可得，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6. 把分解因式，结果正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先提取负号，再根据完全平方公式即可因式分解. 【详解】. 故选C 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 7. 下列调查样本选取方式合适的是（ ） A. 调查某校七年级学生平均身高情况，随机抽取该校初中30名男生的身高数据 B. 调查某小区家庭月平均用水情况，随机抽取该小区某栋楼所有住户月用水数据 C. 调查一批零件的质量情况，随机抽取这批零件中的100件调查其质量 D. 调查某市市民晨练情况，随机抽取某月任意10天在体育馆晨练人数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【详解】解：A．调查某校七年级学生平均身高情况，随机抽取该校初中30名男生的身高数据，不具有代表性，不符合题意； B．调查某小区家庭月平均用水情况，随机抽取该小区某栋楼所有住户月用水数据，不具有代表性，不符合题意； C．调查一批零件的质量情况，随机抽取这批零件中的100件调查其质量，具有代表性、广泛性，符合题意； D．调查我市市民晨练情况，随机抽取某月任意10天体育馆晨练人数不具代表性，不符合题意； 故选：C． 8. 已知点D是平分线上一点，过D点作交于点E，作交于点F，则与的数量关系是（ ） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据垂直的意义得到，根据角平分线的定义，等量代换即可得到； 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵点D是平分线上一点， ∴， ∴， ∴与的数量关系是互余， 故选：B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 用不等式表示“m的2倍与5的差不小于10”为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． m的2倍，可表示为：，不小于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 11. 一个角的补角等于这个角的余角的倍，则这个角是______度； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，设这个角为根据余角和补角的概念、结合题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角为 由题意得，， 解得， 则这个角是， 故答案为：． 12. 为了响应党的二十大报告“深化全民阅读”号召，某校组织了“书香流传 共享阅读——捐赠图书”活动，以下是对七年级（1）班40名同学捐赠图书数量的统计表，由统计表可知，七（1）班平均每名同学捐赠图书________本． 捐赠图书/本 1 2 3 4 5 人数 2 14 10 10 4 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的求解方法求解即可． 【详解】解：（本）， 即七（1）班平均每名同学捐赠图书3本． 故答案为：3 13. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，关键是能根据题意得出关于的方程． 把代入方程得出关于的方程，求出即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴代入得：， 解得：． 故答案为：1． 14. 下列各式中，与数轴上表示的解集对应的是________（填写序号即可）． ①或 ② ③ 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示解集．熟练掌握在数轴上表示解集是解题的关键． 根据在数轴上表示解集判断作答即可． 【详解】解：由数轴可得，表示解集为， 故答案为：③． 15. 如图所示，请你添加一个适当的条件：________，使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解决问题的关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可填； 根据内错角相等，两直线平行，可填； 根据同旁内角互补，两直线平行，可填． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有_________人． 【答案】30 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．可设该小组共有x人，往返的有y人，根据等量关系：①去程时的人数+返程时的人数﹣往返的人数=该小组一共的人数；②乘坐缆车的总费用是3320元；列出方程组求解即可． 【详解】解：设该小组共有x人，往返的有y人，依题意有 ， 解得， 故该小组共有30人． 故答案为：30． 三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分，22-27每小题6分，28题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂与负整数指数幂的运算，要熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再合并求解即可． 先去绝对值，算零指数幂，负整数指数幂，再算加减； 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，合并同类项．根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 19 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：化简得， ，得． 解得：． 将代入①，得． 解得． 所以原方程组的解为． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 21. 方程组的解x，y都是非负数，且k为整数，求k的值． 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出方程组的解为，然后根据解x，y都是非负数，得到，进而求解即可． 本题考查了由二元一次方程组的解求参数，解一元一次不等式组，准确计算是解题的关键． 【详解】解：方程组的解是， 由题意可得 解得． ∴整数k的值为2． 22. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，整式乘法运算，求代数式的值及平方差公式，正确计算化简，整体代入计算即可． 【详解】解： ． 由，可得． ∴原式． 23. 已知：，，，设．求M的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，准确计算是解题的关键．把a、b、c的值代入，然后利用平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， ． 24. 完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：（已知）， （________）． （________）． （已知）， （________）． （________）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；BED，两直线平行，内错角相等；C，两直线平行，同位角相等；等量代换 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，进行作答即可． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． 25. 2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的主题是“极目楚天 共襄星汉”．为发扬中国航天精神，激发青少年崇尚科学、敢于创新的热情，凝聚实现中国梦航天梦的强大力量，某中学开展了航空航天知识问答系列活动．七、八年级的学生参与了此项活动．为了解活动效果，该校从每个年级各随机抽取20名学生的成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．学生成绩x分为四组，如下表： 组 A B C D 成绩x b．七年级学生成绩的扇形统计图如下： c．七年级学生成绩在C组的是： 80 82 82 83 85 86 88 89 d．八年级学生成绩如下： 66 87 67 96 79 77 89 97 79 100 80 79 89 95 68 98 79 78 80 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）七年级被抽取的学生中，成绩在D组的有________人；扇形统计图中，B组部分圆心角是________°． （2）抽取的七年级学生成绩数据的中位数是________；抽取的八年级学生成绩数据的众数是_________． （3）若成绩90分以上记为优秀，该校八年级有220名学生，根据调查结果估计：该校八年级成绩优秀约有多少人． 【答案】（1）3，108 （2）81，79 （3）55人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和统计表的综合，理解题意，能从统计图获取信息是解答的关键． （1）用抽取总人数乘以成绩在D组所占的百分比可求得成绩在D组人数；用乘以成绩在B组所占的百分比即可求得B组部分所对的圆心角； （2）先求得成绩在A、B组人数，然后排序找到第10、11个数据，然后求两个数据的平均数即为中位数；找到八年级学生成绩出现次数最多的数即为众数； （3）利用八年级总人数乘以抽取人数中成绩90分以上所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：成绩在D组人数为（人）， B组部分所对的圆心角为， 故答案为：3，108； 【小问2详解】 解：七年级学生成绩在A组人数为（人），成绩在B组人数为（人）， ∴第10、11个数据为80和82，则抽取的七年级学生成绩数据的中位数是（分）， ∵抽取的八年级学生成绩数据中，79出现了4次，出现次数最多， ∴抽取的八年级学生成绩数据的众数是79分， 故答案为：81，79； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校八年级成绩优秀的约有55人． 26. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． （1）A，B两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【答案】（1）A种图书每本30元，B种图书每本20元 （2）购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可； （2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元． 根据题意，得 解得 答：A种图书每本30元，B种图书每本20元． 【小问2详解】 设该校购买A种图书m本，则购买B种图书本． 根据题意，得， 解得，且m为正整数． A种图书单价高， 购买A种图书越少越省钱． m取最小值28时，总费用最少， 最少费用为元． 答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元． 27. 已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． （1）如图，，过O点作射线，与互余．求证：； （2）若，，请用含，的式子表示． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、同角的余角相等、平行公理，熟练掌握平行线的性质探究角的关系是解答的关键． （1）先根据垂直定义和已知得到，进而利用平行线的判定得到，根据平行公理可得结论； （2）分两种情况，画出图形，分别作过O作，利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当如图1，过O作，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴； 如图2，过O作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 综上，或． 28. 若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． （1）在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是________（填序号）． （2）已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________． （3）若关于x的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解，求m的取值范围． 【答案】（1）① （2）（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式组得：， 解方程①得：， 故方程①是不等式组的“中点关联方程”； 解方程②得：， 故方程②不是不等式组的“中点关联方程”； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：解不等式组得：， ∴这个不等式组的一个关联方程可以是(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)； 【小问3详解】 解：解不等式组得：，且，解得：． “解集中点”为． 解方程得：， 解方程得：， ∵关于的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解， ， 解得：，又， 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$