专题13 圆的综合【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（云南专用）

专题13 圆的综合 （原卷版） 垂径定理 1．（2022·云南·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（    ） A． B． C． D． 圆心角与圆周角 2．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2021·云南·中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 点、直线、圆的位置关系 5．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切： (3)看一看，想一想，证一证： 以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 6．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．    (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求常数的值． 7．（2022·云南·中考真题）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE． (1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得，当P既不与C重合也不与B重合时，是否成立？请证明你的结论． 8．（2021·云南·中考真题）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 9．（2020·云南昆明·中考真题）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点． （1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长． 10．（2020·云南·中考真题）如图，为⊙O的直径，为⊙O上一点，，垂足为，平分． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的长． 正多边形与圆 11．（2020·云南昆明·中考真题）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为 cm． 弧长和扇形面积 12．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 13．（2020·云南·中考真题）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）    A． B．1 C． D． 14．（2023·云南·中考真题）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 分米． 15．（2022·云南·中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 垂径定理 1．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2024·云南昆明·一模）如图，是直径，弦于，连接，．若，，则的长为(    ) A．4 B． C．3 D．2 3．（2024·云南曲靖·一模）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接OA，则的长度为（    ） A．2 B．1 C．6 D．5 4．（2024·云南红河·一模）如图，是的直径，是的弦，且．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·云南昆明·一模）如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则等于（　　）    A． B． C． D． 6．（2024·云南玉溪·一模）如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则 ． 圆心角与圆周角 7．（2024·云南玉溪·二模）如图，点，，在上，点是劣弧的中点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·云南·模拟预测）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，为圆上一点，的平分线交于，，那么（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 10．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，点C，D在上，若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 11．（2024·云南曲靖·二模）如图，已知的直径经过弦的中点E，连接，且，估计的值应在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 12．（2024·云南昆明·二模）如图，量角器外缘上有A，B，C三点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 13．（2024·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，E为延长线上一点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·云南昆明·二模）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·云南昭通·一模）如图，中，，，以为直径的交于点，为的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 点、直线、圆的位置关系 17．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 19．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，，是上一点，以点为圆心，长为半径，作圆交于点，是的切线，是切点，连接交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的值． (3)连接，分别延长，交于点．当为等腰直角三角形时，是否存在，使它们的相似比为？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 20．（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点．      (1)求证：与的切线； (2)若，，求和的长． 21．（2024·云南昭通·二模）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)已知：，，求的值． 22．（2024·云南昆明·三模）如图，点A，B，C在上，为的直径，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． (1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； (2)若，，，求的面积． (3)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 23．（2024·云南昭通·二模）如图，以的边为直径作．点D在劣弧上，是的切线，分别连接、、，其中交于点E，延长交于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积； (3)若，求的值． 24．（2024·云南玉溪·三模）如图，点A，B，D，E在以为直径的上，，的延长线交于点C，且，过点D作交AC于点F． (1)求的值； (2)求证：是的切线； (3)在上是否存在点E，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25．（2024·云南德宏·一模）如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证： ； (3)已知，求的值． 26．（2024·云南楚雄·二模）如图，在中，，以为直径的交于点E，D是边的中点，连接．已知的半径为4，． (1)求的值； (2)求证：是的切线； (3)连接交于点F，连接，，求a的值． 27．（2024·云南昆明·二模）如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE．    (1)求的半径长； (2)若，求证：直线是的切线； (3)过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论． 28．（2024·云南昭通·二模）如图，是四边形的外接圆，是四边形的对角线，恰为的直径，，点在劣弧上，过点作，交的延长线于点，平分． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，点是劣弧上的一个动点，不与重合，连接，于点，求的值． 正多边形与圆 29．（2024·云南昆明·三模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 30．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31．（2023·云南临沧·三模）如图，正五边形内接于，其半径为1，作交于点F，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 弧长和扇形面积 32．（2024·云南昭通·二模）如图，是的内接三角形，为的直径，过点作于点，若，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 33．（2024·云南玉溪·二模）云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（    ） A． B． C． D． 34．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在中，半径，C为上一点，连接，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 35．（2024·云南·模拟预测）某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽．他们制作的生日帽，母线长为，底面圆的半径为，这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ． 36．（2024·云南昭通·二模）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，母线与底面半径的夹角为α，，则圆锥的侧面积是 平方米．（结果保留π） 37．（2024·云南昭通·二模）一个扇形的半径为，面积为，则它的圆心角为 度． 38．（2024·云南德宏·一模）某校数学兴趣小组，用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留） 39．（2024·云南楚雄·二模）如图，在矩形纸片中，长为，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则围成的圆锥的表面积为 ． 40．（2024·云南昆明·二模）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是 ．（结果保留） 41．（2024·云南红河·二模）如图，扇形的半径为2，，连接，则弧与线段围成的区域（阴影部分）的面积是 ． 42．（2024·云南昆明·一模）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 圆的综合 （解析版） 垂径定理 1．（2022·云南·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD． ∴，OC==13， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 圆心角与圆周角 2．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2021·云南·中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到∠BOD，再利用弧长公式计算． 【详解】解：连接OB，OC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BOC=2∠BAC=120°， 又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO=∠CAO=30°， ∴∠BOD=60°， ∴劣弧BD的长为=π， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数． 点、直线、圆的位置关系 5．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切： (3)看一看，想一想，证一证： 以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）直接利用直径所对的圆周角是直角，即可得出结果； （2）证明，得到，根据平角的定义，得到，即可得证； （3）连接，连接交于点，易得，圆周角定理得到，推出，进而得到，根据三角函数推出，得到三点共线，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的直径，点是上异于、的点， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （3）我认为：正确，理由如下： 连接，连接交于点，如图，则：， ∴点在线段的中垂线上， ∵， ∴点在线段的中垂线上， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 6．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．    (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求常数的值． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）与相切，理由如下：连接，先证得，又证，进而有，于是即可得与相切； （2）先求得，再证，得，从而有，又，即可得解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接，    ∵是的直径，直线与垂直， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾股定理等知识是解题的关键． 7．（2022·云南·中考真题）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE． (1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得，当P既不与C重合也不与B重合时，是否成立？请证明你的结论． 【答案】(1)DE是⊙O的切线，证明见解析； (2)成立，证明见解析 【分析】（1）证明△BDC∽△BED，推出∠BCD=∠BDE=90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ，证明△QAD≌△PCD(SAS)，再推出△PQD是等腰直角三角形，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：DE是⊙O的切线；理由如下： ∵BD²=BC⋅BE， ∴， ∵∠CBD=∠DBE， ∴△BDC∽△BED， ∴∠BCD=∠BDE， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠BDE=90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：当P既不与C重合也不与B重合时，成立，理由如下： 延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∵四边形APCD是圆内接四边形， ∴∠PAD+∠PCD=180°， ∵∠QAD+∠PAD=180°， ∴∠QAD=∠PCD， ∴△QAD≌△PCD(SAS)， ∴∠QDA=∠PDC，QD=PD， ∴∠QDA+∠PDA =∠PDC+∠PDA=90°， ∴△PQD是等腰直角三角形， ∴PQ=PD，即PA+PC=PD， ∴成立． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 8．（2021·云南·中考真题）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线； （2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长． 【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB=90°， ∵OC，OB是圆O的半径， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， 又∵∠DCA=∠ABC， ∴∠DCA=∠OCB， ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°， ∴OC⊥DC， 又∵OC是圆O的半径， ∴DC是圆O的切线； （2）∵， ∴，化简得OA=2DA， 由（1）知，∠DCO=90°， ∵BE⊥DC，即∠DEB=90°， ∴∠DCO=∠DEB， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴，即， ∴DA=EB， ∵BE=3， ∴DA=EB=， 经检验：DA=是分式方程的解， ∴DA=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键． 9．（2020·云南昆明·中考真题）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点． （1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）利用尺规作图：以点E为圆心，EP长为半径画弧，在直径AB上方的圆上交一点C，再根据已知条件可得OE＝EC＝EP，根据三角形内角和可得∠ECO＋∠ECP＝90°，进而证明PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，根据BP＝4，EB＝1，可得EP的长，进而可得半径，再根据勾股定理即可求PC的长． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； 证明：∵点E是线段OP的中点， ∴OE＝EP， ∵EC＝EP， ∴OE＝EC＝EP， ∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P， ∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°， ∴∠ECO+∠ECP＝90°， ∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）∵BP＝4，EB＝l， ∴OE＝EP＝BP+EB＝5， ∴OP＝2OE＝10， ∴OC＝OB＝OE+EB＝6， 在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC＝＝8． 则PC的长为8． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 10．（2020·云南·中考真题）如图，为⊙O的直径，为⊙O上一点，，垂足为，平分． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）连接OC，根据角平分线及等腰三角形的性质得到∠OCD=90°，即可求解； （2）连接BC，在Rt△ADC中，利用cos∠1=∠CAB=，求出AC=5，再根据在Rt△ABC中，cos∠CAB=，即可求出AB的长． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵ ∴∠ADC=90° ∴∠1+∠4=90° ∵AC平分∠DAB ∴∠1=∠2 又AO=OC， ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴∠4+∠3=90° 即∠OCD=90° 故OC⊥CD，OC是半径 ∴是⊙O的切线； （2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90° ∵AC平分∠DAB，∠1=∠2 在Rt△ADC中，cos∠1=∠CAB= 又AD=4 ∴AC=5 在Rt△ABC中，cos∠CAB= ∴AB=． 【点睛】此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理及三角函数的定义． 正多边形与圆 11．（2020·云南昆明·中考真题）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为 cm． 【答案】10π 【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接OD，OC． ∵∠DOC＝60°，OD＝OC， ∴△ODC是等边三角形， ∴OD＝OC＝DC＝（cm）， ∵OB⊥CD， ∴BC＝BD＝（cm）， ∴OB＝BC＝3（cm）， ∵AB＝17cm， ∴OA＝OB+AB＝20（cm）， ∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm）， 故答案为：10π． 【点睛】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键． 弧长和扇形面积 12．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 13．（2020·云南·中考真题）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解． 【详解】∵正方形的边长为4 ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ ∴圆锥底面周长为，解得 ∴该圆锥的底面圆的半径是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键． 14．（2023·云南·中考真题）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 分米． 【答案】 【分析】根据勾股定理得，圆锥的高=母线长底面圆的半径得到结果． 【详解】解：由圆锥的轴截面可知： 圆锥的高=母线长底面圆的半径 圆锥的高， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥，勾股定理，其中对圆锥的高，母线长，底面圆的半径之间的关系的理解是解决本题的关键． 15．（2022·云南·中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】 【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得． 【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式． 垂径定理 1．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，且 ∴ 则 ∴ 故选：C 2．（2024·云南昆明·一模）如图，是直径，弦于，连接，．若，，则的长为(    ) A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理；先根据垂径定理得出，再由圆周角定理求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：是直径，弦于，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 3．（2024·云南曲靖·一模）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接OA，则的长度为（    ） A．2 B．1 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半，结合已知条件求得是解题的关键． 连接，利用圆周角定理及垂径定理得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·云南红河·一模）如图，是的直径，是的弦，且．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的直径，是的弦，且， ， ， 故选B． 5．（2024·云南昆明·一模）如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解答此题的关键． 根据直径，可得的长度，再利用垂径定理求得的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为的直径，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．（2024·云南玉溪·一模）如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键． 根据圆的直径与半径的关系得出，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】是的直径， ， 是的弦，于点， 在中， 故答案为：． 圆心角与圆周角 7．（2024·云南玉溪·二模）如图，点，，在上，点是劣弧的中点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由同弧所对圆周角是圆心角的一半即可． 【详解】解：如图，连接 点是劣弧的中点 ． 故选：B． 8．（2024·云南·模拟预测）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理可得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选A． 9．（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，为圆上一点，的平分线交于，，那么（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又，求得的度数，然后由的平分线交于，求得的度数，继而求得答案．此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．注意直径所对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 平分， ， ． 故选：C． 10．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，点C，D在上，若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． 先根据直径所对的圆周角是直角求出，然后根据圆周角定理的推论得，再依据含角的直角三角形的性质求出长，最后根据勾股定理求长即可． 【详解】解：为直径， ， 和是同弧所对的圆周角， ， ， ， ． 故选：D． 11．（2024·云南曲靖·二模）如图，已知的直径经过弦的中点E，连接，且，估计的值应在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，无理数的估算．首先证明是等边三角形，由三线合一的性质求得，再根据圆周角定理求得，，代入特殊角的三角函数值，运用无理数的估算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是弦的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 12．（2024·云南昆明·二模）如图，量角器外缘上有A，B，C三点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，由题意知，，由圆周角定理得，，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，， 由圆周角定理得，， 故选：B． 13．（2024·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 14．（2024·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，E为延长线上一点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，根据圆内接四边形的一个外角等于其内对角，以及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∴； 故选C． 15．（2024·云南昆明·二模）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：A． 16．（2024·云南昭通·一模）如图，中，，，以为直径的交于点，为的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键． 首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径， ，即， 为的中线， 是等腰三角形， ， ， ， 半径为， ， 故答案为：． 点、直线、圆的位置关系 17．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，根据三角形内角和是求得，根据等角对等边可得，设，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出一元二次方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即的半径为． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 19．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，，是上一点，以点为圆心，长为半径，作圆交于点，是的切线，是切点，连接交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的值． (3)连接，分别延长，交于点．当为等腰直角三角形时，是否存在，使它们的相似比为？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）连接，过点作于点，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，推得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得为的半径，根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可证明； （2）根据锐角三角函数的定义设，则，求出，得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据锐角三角函数求得，即可求解； （3）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，假设，则，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，求得，根据等边对等角可得，推得，根据内错角相等，两直线平行可得，与已知条件矛盾，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点．如图： ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即为的半径， ∴是的切线． （2）解：如图： 在中，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． （3）解：当为等腰直角三角形时，不存在； 理由：如图，连接， ∵等腰直角三角形，， ∴， 当时，， ∵BD为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，与已知条件与的延长线相交于点矛盾， ∴当为等腰直角三角形时，不存在． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，等边对等角，平行线的判定等．根据题意做出辅助线，并灵活运用相关的性质及判定是解题的关键． 20．（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点．      (1)求证：与的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)详见解析 (2)，，详见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线截线段成比例定理等知识点， （1）连接，，求出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）先求出和，再根据勾股定理得出关于的方程，求出方程的解即可； 熟练掌握垂径定理，勾股定理，平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 【详解】（1）连接，，    ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）连接，，    ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 21．（2024·云南昭通·二模）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)已知：，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）连接，等边对等角，结合角平分线，推出，进而得到，即可得证； （3）连接，勾股定理求出的长，证明，得到，设，，勾股定理得到，求出的值，进而求出的值，推出的长，再根据正弦的定义，求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 为的直径， ， ， ， ； （2）证明：如图1，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 于点C， 又为的半径， 是的切线； （3）连接， 是的直径， ，， ， （等角对等边） 又，， 设，， ． ，， 又， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 22．（2024·云南昆明·三模）如图，点A，B，C在上，为的直径，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． (1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； (2)若，，，求的面积． (3)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)是圆的切线，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，解直角三角形，求函数解析式等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用． （1）依据题意，由圆周角定理得到，从而，然后根据，可以得解； （2）求出，由得到，得到 ，证明，得到，则，即可得到； （3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解． 【详解】（1）解：是的切线． 证明：如图，∵为的直径， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴是的切线． （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， 由，可设， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， （3）设， ∵， ∴． 如图，连接．    ∴在中，． ∴，． ∴在中，，． 在中，．（∵，∴） ． 在中，，． ∴ ． 即． ∵， ∴最大值为F与O重合时，即为1． ∴． 综上，． 23．（2024·云南昭通·二模）如图，以的边为直径作．点D在劣弧上，是的切线，分别连接、、，其中交于点E，延长交于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于可得出，进而可得出，结合已知条件可得出，进一步即可证明是的切线． （2）连接，由切线的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，由等腰三角形的性质可得出是的垂直平分线，再证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再根据三角形的面积公式求解即可． （3）根据题意设， (k为非零常数) 则， ，由同角的余角相等得出即，．则可得出，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． 即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）如图， 连接， ∵是的切线， ∴ 由(1)知， ∵， ， ∴， ∴． ∴是的垂直平分线， ∴， 弧弧， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴ 在中， ， ∴， （3）由(2)得 ∵， 设， (k为非零常数) 则， ∴在中， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定已知性质，切线的判定以及性质，等腰三角形的性质，切点的性质等知识点，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 24．（2024·云南玉溪·三模）如图，点A，B，D，E在以为直径的上，，的延长线交于点C，且，过点D作交AC于点F． (1)求的值； (2)求证：是的切线； (3)在上是否存在点E，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，可得，再由等腰三角形的性质即可求解； （2）由，，可得，进而证明，结合（1）中，可证，即可得证； （3）若，则，此时为中点，设，则，结合（2）中结论可得四边形是平行四边形，进而得到，为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：连接， 点A，B，D，E在以为直径的上， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ； （2）连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在上， 是的切线； （3）由（1）得∶为中点， ， 若，则，此时为中点， 存在满足题意的点，此时与交点点为中点，即有， 设，则， ， ， ， 由（2）得：， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，圆与三角形的综合应用，正确辅助线的添加是解题的关键． 25．（2024·云南德宏·一模）如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证： ； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）由圆周角定理得，再证，即可证明； （3）过点作于点，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接 平分 点在上 是的切线 （2）证明：和是弧所对的圆周角， ， 是的直径 ， ， ， ； （3）解：过点作于点 由（2）知 ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵是的直径 ∴∠即 ∵平分，， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键． 26．（2024·云南楚雄·二模）如图，在中，，以为直径的交于点E，D是边的中点，连接．已知的半径为4，． (1)求的值； (2)求证：是的切线； (3)连接交于点F，连接，，求a的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】（1）首先求出，然后得到，然后利用勾股定理求出，然后利用正弦值的概念求解即可； （2）连接，，由直径的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后得到，然后求出，进而可证明出是的切线； （3）证明出，得到，然后证明出是的中位线，得到，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴． ∵的半径为4， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴； （2）证明：连接，，如答图． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． （3）解：由（1）（2）可知，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵O是的中点，D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，三角形中位线的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 27．（2024·云南昆明·二模）如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE．    (1)求的半径长； (2)若，求证：直线是的切线； (3)过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，利用所对的弦是直径判断，利用勾股定理求出即可； （2）连接，先证明，利用等边对等角得出，利用直径所对的圆周角是直角得出，即可得出，利用切线的判断即可得证； （3）连接．延长至点，使得，连接，证明四边形是正方形，得出，利用证明，可得出，利用证明证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解∶如图，连接．   ， 是的直径， 在中，， 由勾股定理得∶， 的半径； （2）解：如图，连接，    ， ， 即， ， ， 又， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 是的半径，且， 直线是的切线； （3）解：．理由如下∶ 连接,延长至点，使得，连接，    则， ， ， 四边形是的内接四边形， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， 在和中， ，即， ， 在和中， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，全等三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 28．（2024·云南昭通·二模）如图，是四边形的外接圆，是四边形的对角线，恰为的直径，，点在劣弧上，过点作，交的延长线于点，平分． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，点是劣弧上的一个动点，不与重合，连接，于点，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由圆周角定理可得，，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，连接，证明，可得，结合，可得，从而可得结论； （3）先证明，可得，如图，过作交的延长线于，证明，可得，可得，，证明，，证明，在中，证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （3）∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过作交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴ ， ∴， 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，切线的判定，本题难度较大，是中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键． 正多边形与圆 29．（2024·云南昆明·三模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；连接，相交于点，根据题意得出是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可解题． 【详解】解：连接，相交于点，    由正多边形性质可知，， 为等边三角形， 正六边形的周长是， ， ． 这个正六边形的外接圆半径是． 故选：C． 30．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 31．（2023·云南临沧·三模）如图，正五边形内接于，其半径为1，作交于点F，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，求出，再利用扇形公式进行计算． 【详解】解：连接、、， 正五边形， ， ， ， ， ， ，    故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出所对的圆心角度数是解题的关键． 弧长和扇形面积 32．（2024·云南昭通·二模）如图，是的内接三角形，为的直径，过点作于点，若，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理解直角三角形以及弧长公式．求出圆心角和半径是解题的关键． 利用圆周角定理以及勾股定理求出圆心角和半径，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， 为的直径， ， ， ， , , 设，则半径 在中， , ∴， 解之得 半径． 劣弧． 故选：B． 33．（2024·云南玉溪·二模）云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆锥的底面圆锥的周长等于展开的扇形的弧长，勾股定理， 首先根据勾股定理求出底面圆的半径，然后求出底面圆的周长，进而可得到圆锥的侧面展开图的弧长． 【详解】∵母线长为，高度为， ∴底面圆的半径为， ∴底面圆的周长为， ∴这个圆锥的侧面展开图的弧长等于． 故选：D． 34．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在中，半径，C为上一点，连接，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理；弧长的计算；先根据圆周角定理求出的度数，进而由题意得到，再根据弧长的计算公式即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 的长为：， 故答案为：A 35．（2024·云南·模拟预测）某班为筹备集体生日会准备手工制作圆锥形状的生日帽．他们制作的生日帽，母线长为，底面圆的半径为，这种圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ． 【答案】/96度 【分析】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长扇形的弧长． 根据题意可知，圆锥的底面圆的周长扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， ， 解得， 即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 故答案为：． 36．（2024·云南昭通·二模）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，母线与底面半径的夹角为α，，则圆锥的侧面积是 平方米．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，解直角三角形，根据三角函数求出和的长，再利用圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面积； 故答案为：． 37．（2024·云南昭通·二模）一个扇形的半径为，面积为，则它的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的圆心角度数，设该扇形的圆心角度数为，根据扇形面积公式建立方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设该扇形的圆心角度数为， 根据扇形面积公式得：， 解得：， 故答案为：． 38．（2024·云南德宏·一模）某校数学兴趣小组，用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥的侧面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵圆锥模型，它的底面半径为，高为， ∴母线长为： ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 39．（2024·云南楚雄·二模）如图，在矩形纸片中，长为，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则围成的圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后求得直径即可．本考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则， 根据题意得：， 解得：， 侧面积为：， 底面积为： 所以圆锥的表面积为：， 故答案为： 40．（2024·云南昆明·二模）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥母线长，以及扇形面积公式． 先求出底面半径，再求出圆锥的母线长，最后根据扇形，即可解答． 【详解】解：∵该圆锥底面周长为， ∴该圆锥底面半径为， 根据勾股定理可得：该圆锥母线， ∴该吊灯外罩的侧面积， 故答案为：． 41．（2024·云南红河·二模）如图，扇形的半径为2，，连接，则弧与线段围成的区域（阴影部分）的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算，掌握扇形和三角形的面积计算公式是解题关键． 由图可知阴影部分与三角形组成扇形，代入题目中数据先求出扇形与三角形的面积即可． 【详解】扇形的半径为2，， ， 扇形的面积：， 阴影部分面积扇形的面积三角形面积， 故答案为：． 42．（2024·云南昆明·一模）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键． 根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3 ∴母线长为 ∴圆锥模型的侧面积为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$