第10讲 不等式的基本性质（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第10讲 不等式的基本性质 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 作差法比较大小 3 题型02 不等式的性质 5 题型03 利用不等式性质证明不等式 8 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 17 创新拓展 22 一、作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔________ a＝b⇔________ a<b⇔________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的________与________的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小 二、不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b____a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c ______ 3 可加性 a>b⇔a＋c________b＋c ______ 4 可乘性 a>b，c>0⇒______ a>b，c<0⇒______ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒____________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒________ 同向 注意点： (1)可加性是不等式中移项的根据． (2)应用同向可加性时，应注意“同向”． (3)同向同正可乘性应注意数的正负 题型01作差法比较大小 【解题策略】 作差法比较两个实数a，b大小的基本步骤 【典例分析】 【例1】已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 【变式演练】 【变式1】比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 【变式2】已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小． 【变式3】（23-24高一上·北京·期中）已知a，，试比较与的大小，并证明． 题型02 不等式的性质 【解题策略】 (1)利用不等式性质判断命题真假的注意点 ①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． ②也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (2)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围　 【典例分析】 【例2】　(1)对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 【变式演练】 【变式1】(1)(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　) A．|a|>|b| B．a<b C．a＋b<ab D．ab>a2 【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 【变式3】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，满足，试求的取值范围. 题型03 利用不等式性质证明不等式 【解题策略】 　利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【典例分析】 【例3】已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 【变式演练】 【变式1】若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 【变式2】（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【变式3】（23-24高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 易错点 扩大取值范围致错 已知，，求的取值范围. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知，则下列不等关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列命题为真命题的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·全国·期末）下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一上·山东淄博·期中）给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若且，则；④若，则.其中真命题的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·云南迪庆·期中）设，则 （填入“>”或“<”）． 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则M N（用>、<、=填空）. 9．（23-24高一上·浙江·期中）设，，那么、的大小关系是 . 四、解答题 10．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 11．（23-24高一上·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若，则（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京丰台·期末）若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设，则 （填“>”､“<”､“”或“”）. 8．（23-24高一上·甘肃白银·期中）判断与的大小: 9．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 四、解答题 10．（23-24高一上·重庆·阶段练习）（1）已知，，求， 的取值范围 （2）已知，且，，试比较与的大小. 11．（23-24高一上·江西·阶段练习）（1）设，，比较，的大小； （2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：. 【创新拓展】 一、单选题 1．（20-21高一上·湖北襄阳·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，， 则 B．若， 则 C．若，， 则 D．若，则 二、多选题 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·安徽·期中）在一间窗户面积（a）小于地板面积（b）的房子里，窗户与地板的面积同时增加（m），则采光条件可变好.根据这个事实可以提炼出一个不等式，常常称为“阳光不等式”，它就是 . 四、解答题 4．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）已知实数、，满足，求的取值范围． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）求证： (1)若，且，则. (2)若，则.（并讨论等号成立的条件） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 不等式的基本性质 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 作差法比较大小 3 题型02 不等式的性质 5 题型03 利用不等式性质证明不等式 8 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 17 创新拓展 22 一、作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小 二、不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b， c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0， c>d>0⇒ac>bd 同向 注意点： (1)可加性是不等式中移项的根据． (2)应用同向可加性时，应注意“同向”． (3)同向同正可乘性应注意数的正负 题型01作差法比较大小 【解题策略】 作差法比较两个实数a，b大小的基本步骤 【典例分析】 【例1】已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2) ＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0， a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 【变式演练】 【变式1】比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝2＋. ∵2≥0， ∴2＋≥>0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 【变式2】已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小． 解　因为－(1＋a)＝， ①当a＝0时，＝0，所以＝1＋a. ②当a<1，且a≠0时，>0，所以>1＋a. ③当a>1时，<0，所以<1＋a. 【变式3】（23-24高一上·北京·期中）已知a，，试比较与的大小，并证明． 【答案】答案及证明见解析 【分析】利用作差法比较代数式的大小，注意分类讨论. 【详解】当时；当时，证明如下： ， 当时，，，故； 当时，，，故 题型02 不等式的性质 【解题策略】 (1)利用不等式性质判断命题真假的注意点 ①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． ②也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (2)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围　 【典例分析】 【例2】　(1)对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 答案　D 解析　方法一　当c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>， 故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 方法二　特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错； 取a＝2，b＝1，则＝，＝1. 有<，故B错； 取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2， 有<，故C错． (2)已知－1<x<4,2<y<3. ①求x－y的取值范围； ②求3x＋2y的取值范围． 解　①因为－1<x<4,2<y<3， 所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2. ②由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12， 4<2y<6，所以1<3x＋2y<18. 【变式演练】 【变式1】(1)(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　) A．|a|>|b| B．a<b C．a＋b<ab D．ab>a2 答案　CD 解析　由<<0可得b<a<0， 从而|a|<|b|，A，B均不正确； a＋b<0，ab>0， 则a＋b<ab成立，C正确； ab>a2，D正确． 【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式的加法性质可求. 【详解】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，满足，试求的取值范围. 【答案】. 【分析】根据不等式的性质结合条件得出答案. 【详解】设， 比较，的系数，得，解得， ， 又，， ， 故的取值范围是. 题型03 利用不等式性质证明不等式 【解题策略】 　利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【典例分析】 【例3】已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明　因为c<d<0， 所以－c>－d>0， 因为a>b>0， 所以a－c>b－d>0， 所以0<<， 又因为e<0， 所以>. 【变式演练】 【变式1】若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. 两边同乘以， 得<. 又e<0，∴>. 【变式2】（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以 【变式3】（23-24高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质证明即可． 【详解】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 易错点 扩大取值范围致错 已知，，求的取值范围. 【错解】由得，再结合，根据不等式同向可加性，可得，即同理可得，故，所以的取值范围是 【错因分析】利用不等式求某个代数式（特别是涉及两个或两个以上未知量的代数式）的取值范围时，往往需要利用不等式的性质“同向可加性”，但这一性质并不具有可逆性，多次使用就可能扩大取值范围（所推得的不等关系仍然成立，但并不是准确的取值范围）. 【正解】设，则 解得 又 所以. 所以的取值范围是. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知，则下列不等关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取特殊值可判断A、C、D项，根据不等式的性质可判断B项. 【详解】取，，则，但，A项错误； 因为，所以，即成立，B项正确； 取，，则.又，，，C项错误； 取，，则.但，D项错误. 故选：B. 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列命题为真命题的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由题意结合作差法逐一判断每一选项即可，特别的对于C，令即可判断. 【详解】对于AC，若，则，故AC错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·全国·期末）下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变； 选项B，不等式成立，默认，两边同乘，不等号不变； 选项C，从不等式到不等式，是不等式两边同乘，但不一定是正数； 选项D，对于结论，实际上是，但，无法保证同向相加. 【详解】选项A：若，则不成立，即A错误； 选项B：由不等式性质可知：若，则有，即B正确； 选项C：当时，由，可得，即C错误； 选项D：当时，有成立， 但此时，，由可知，不成立，即D错误. 故选：B. 4．（23-24高一上·山东淄博·期中）给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若且，则；④若，则.其中真命题的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据不等式的性质一一判断求解. 【详解】，，例如，，，，①错； ，若，则，②错； 若，，例如，，，，此时，③错； 若，则，， 又，所以，④正确， 只有1个命题正确. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 6．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】在已知条件下，利用不等式的性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】已知，，，都是正数，且，， 对于A选项，满足已知条件，但此时，A选项错误； 对于B选项，由不等式的同向可加性，，时，有，B选项正确； 对于C选项，由，，有，所以，C选项正确； 对于D选项，由，， 有， 所以，得，D选项正确； 故选：BCD 三、填空题 7．（23-24高一上·云南迪庆·期中）设，则 （填入“>”或“<”）． 【答案】< 【分析】利用作差法比较大小即得. 【详解】依题意， ， 所以. 故答案为：< 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则M N（用>、<、=填空）. 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故, 故答案为： 9．（23-24高一上·浙江·期中）设，，那么、的大小关系是 . 【答案】/ 【详解】利用作差法可得出、的大小关系. 【分析】因为，，则， 故. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见详解. 【分析】（1）作差比较即可；     （2）利用不等式性质推导可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 又，所以，所以， 所以，即， 又，所以. 11．（23-24高一上·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合作差比较法，即可求解. 【详解】（1）解：由， 所以. （2）解：由， 所以 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A，由，则，故，即，故A错误； 对B，由A得，故，故B正确； 对C，由，则，，则，，故，故C错误； 对D，由A得，故，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例排除ACD，利用作差法判断B. 【详解】因为，则， 对于A，取，则，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 3．（23-24高一上·北京丰台·期末）若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质可知，即可对A判断；由不等式性质得，即可对B判断，利用特殊值可对C、D判断； 【详解】对A：由，所以，故A错误； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，令，则，故C错误； 对D：由，，令，所以，故D错误. 故选：B. 4．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误. 故选：AB. 6．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质及特殊值法可判断各选项. 【详解】选项A：若，则，故A错误； 选项B：若，则，故B错误； 选项C：因为，则，即，故C正确； 选项D：因为，则，即，故D正确； 故选：CD. 三、填空题 7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设，则 （填“>”､“<”､“”或“”）. 【答案】 【分析】运用作差法和不等式的性质，即可得到所求大小关系. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高一上·甘肃白银·期中）判断与的大小: 【答案】 【分析】利用作差比较法可得答案. 【详解】 ， . 故答案为：. 9．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·重庆·阶段练习）（1）已知，，求， 的取值范围 （2）已知，且，，试比较与的大小. 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）由不等式的性质直接求范围即可；（2）作差，再结合不等式的性质比较即可. 【详解】（1）∵，， ∴，. ∴. 又， ∴ （2）， 因为且，， 所以； 又因为，所以，， 所以． 11．（23-24高一上·江西·阶段练习）（1）设，，比较，的大小； （2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法求解即可. （2）利用不等式的性质证明即可. 【详解】（1）， 所以. （2）因为，，所以， 所以，即. 又因为，所以. 【创新拓展】 一、单选题 1．（20-21高一上·湖北襄阳·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，， 则 B．若， 则 C．若，， 则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可． 【详解】解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误； 对于B：当时，故B错误； 对于C：由，所以，因为，所以，故C正确； 对于D：当，满足，但是，故D错误； 故选：C 二、多选题 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论. 【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确； 同理：，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 3．（23-24高一上·安徽·期中）在一间窗户面积（a）小于地板面积（b）的房子里，窗户与地板的面积同时增加（m），则采光条件可变好.根据这个事实可以提炼出一个不等式，常常称为“阳光不等式”，它就是 . 【答案】 【分析】根据题意，列出不等关系，然后利用作差法加以证明. 【详解】. 因为，所以，， 因此， 即. 故答案为： 四、解答题 4．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）已知实数、，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用待定系数法，结合不等式的基本性质即可求解． 【详解】设, ,解得， 所以， 因为， 所以 所以，即， 因此，的取值范围是. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）求证： (1)若，且，则. (2)若，则.（并讨论等号成立的条件） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）依题意可得，利用不等式性质中的同向同正可乘性即可证明结论； （2）利用不等式即可得出结论. 【详解】（1）证明：由可得， 又，根据不等式性质可得， 不等式两边同时乘以可得，即得证； （2）证明：由不等式可得， 又, 所以， 当且仅当，等号成立，得证 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$