第10讲 直线与圆的位置关系（一）（4个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第10讲 直线与圆的位置关系（一）（4个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【例1】（2024•常州模拟）已知与直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•宿迁期末）已知的半径为3，点是直线上的一点，，则直线与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式2】（2023秋•江宁区月考）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 　　． 【变式3】（2023•宜兴市一模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和的长． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 【例2】（2024•玄武区校级三模）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 　　． 【变式1】（2022秋•响水县校级月考）如图，是圆的直径，是延长线上一点，与圆相切于点，连接，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•沭阳县校级二模）如图，在矩形中，是直径，是的中点，是直线上任意一点，，，、相切于点、，当最大时，的长为　　． 【变式3】（2024•沛县校级三模）如图，已知内接于，是的直径，点在上，过作的切线，交的延长线于点，若． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 【例3】（2022秋•东海县校级月考）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作，当　　时，与相切． 【变式1】（2023秋•江阴市期末）下列说法正确的是　　 A．圆内接四边形的对角互补 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式2】（2023•鼓楼区一模）如图，为的外心，四边形为正方形．以下结论：①是的外心；②是的外心；③直线与的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式3】（2024•秦淮区校级三模）在中，，以为直径的交于点，点在上，，，的延长线相交于点． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，连接并延长，交于点，若点是的中点，，求的半径． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【例4】（2021•榕江县模拟）如图，已知是的直径，、是半圆的弦，，，若，则的长为　　． 【变式1】（2020秋•锡山区期中）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是　　 A．9 B．4 C．12或4 D．12或9 【变式2】（2023秋•姑苏区校级月考）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为 　　． 【变式3】（2024•仪征市二模）如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 经典题型汇编 题型一.判断直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）以点为圆心画，若的半径，则与轴的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）等腰直角三角形和如图放置，，，的半径为，圆心与直线的距离为现以的速度向右移动，同时的边长、又以的速度沿、方向增大． (1)当的边边除外与圆第一次相切时，点移动了多少距离 (2)若在移动的同时，也以的速度向右移动，则从开始移动，到它的边边除外与圆最后一次相切，一共经过了多长时间 (3)在（2）的条件下，是否存在某一时刻，使与的公共部分等于的面积若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动的时间．若不存在，请说明理由． 题型二.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（2022·江苏盐城·一模）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点． 6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 题型三.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 7．（2023·江苏淮安·一模）已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 9．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）． (1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标； (2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ． 题型四.求直线平移到与圆相切时运动的距离 10．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 11．（九年级上·江苏·期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 12．（2014·江苏无锡·一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，、，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． (1)求圆形区域的面积； (2)某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离．（，保留三个有效数字）； (3)当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．    题型五.证明某直线是圆的切线 13．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①经过平面内的任意三点可以画一个圆；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④三角形的内心到三边的距离相等，其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2023·江苏泰州·三模）如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点．则＝ °    15．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 试题练习 一、单选题 1．（九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中,正确的是(    ) A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 2．（19-20九年级上·江苏泰州·期末）若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为(   ) A．a<－1 B．a＞3 C．－1  <a < 3 D．a≥－1且 3．（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 5．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆 7．（19-20九年级上·江苏扬州·期中）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是(    ) A．r<3 B．r=3 C．r>3 D． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤菱形的四个顶点在同一个圆上；⑥垂直于半径的直线是圆的切线，其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 10．（江苏苏州·二模）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（　　） A．2 B．2 C． D．2 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴 ，与轴 ． 13．（九年级上·江苏盐城·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ． 14．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为 ． 16．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 17．（19-20九年级上·江苏南通·阶段练习）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为，则直角梯形周长为 ．    18．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 20．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 21．（21-22九年级上·江苏连云港·期中）张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上． （1）请你帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果，，，试用含a的代数式表示所作圆形工件的半径（答案保留根号） 22．（九年级上·江苏南通·期中）如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB． （1）求圆心C到直线AB的距离； （2）求△PAB面积的最大值． 23．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 24．（九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）． （1）若EC=BC，求b的值； （2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切． 25．（20-21九年级上·江苏南京·期中）（1）如图①，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求证：∠ADC＝2∠BDC． （2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若平面内的点D满足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC． ①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）； ②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化，请直接写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围． 26．（19-20九年级上·江苏连云港·期中）如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD． （1）判断四边形OCPD的形状并说明理由． （2）求点P的坐标． （3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值． （4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 直线与圆的位置关系（一）（4个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【例1】（2024•常州模拟）已知与直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解． 【解答】解：和直线相交， ， 又圆心到直线的距离为， ， 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为． ①直线和相交 ②直线和相切 ③直线和相离． 【变式1】（2023秋•宿迁期末）已知的半径为3，点是直线上的一点，，则直线与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【分析】先根据题意画出图形，再根据直线与圆的位置关系得出即可． 【解答】解：分为两种情况：①如图1，当直线时，此时直线与的位置关系是相切； ②如图2，当和直线不垂直时，此时直线与相交； 所以直线与的位置关系是相切或相交， 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系是解此题的关键，已知的半径是，圆心到直线的距离是，①当时，直线与相离，②当时，直线与相切，③当时，直线与相交． 【变式2】（2023秋•江宁区月考）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 　相切或相交　． 【分析】由条件可知点在上，则可知直线与相切，可求得答案． 【解答】解：，， ， 点在直线上，， 点到直线的距离， 直线与相切或相交， 故答案为：相切或相交． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件判断出点在圆上是解题的关键． 【变式3】（2023•宜兴市一模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和的长． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得，根据切线的判定定理可得结论； （2）如图，设的半径为，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明，列比例式，根据勾股定理列方程，依据，列比例式可得结论． 【解答】解：（1）直线是的切线．理由如下： 连接，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）在中，由勾股定理得： ， ， ， 即：， 解得：， 的半径为； 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， ，即， ． 的半径为，的长为． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，掌握切线的判定定理是解（1）题的关键，证明，确定和的关系是解（2）题的关键． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 【例2】（2024•玄武区校级三模）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 　9　． 【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，，得出，根据勾股定理即可求得的长． 【解答】解：如图：连接，，过点作，垂足为点， 是的切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线， 是的切线， ， ，，， 即， 四边形是矩形， ，， 则， 是的切线，是的切线，是的切线， ，， ， ， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：9． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键． 【变式1】（2022秋•响水县校级月考）如图，是圆的直径，是延长线上一点，与圆相切于点，连接，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】解：连接， 与圆相切于点， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键． 【变式2】（2024•沭阳县校级二模）如图，在矩形中，是直径，是的中点，是直线上任意一点，，，、相切于点、，当最大时，的长为　　． 【分析】先判断出时，最大，判断出，求出，再用勾股定理求出，再判断出，求出，最后用勾股定理求解，即可得出结论． 【解答】解：如图1，四边形是矩形， ， 连接，， ，是的切线， ， 要最大，则最大， 是的切线， ， 在中，， ， 要最大，则最短， 即， 如图2，延长交直线于， 四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ， ， ， 是的直径， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了切线的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出是解本题的关键． 【变式3】（2024•沛县校级三模）如图，已知内接于，是的直径，点在上，过作的切线，交的延长线于点，若． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，交于点，根据切线的性质可得，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，从而可得，再利用垂径定理可得，从而可得是的中位线，进而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得，再利用线段的和差关系可得，从而可得，最后利用平行线分线段成比例可得，从而进行计算可得：，即可解答． 【解答】（1）证明：连接，交于点， 与相切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 的长为18． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 【例3】（2022秋•东海县校级月考）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作，当　6　时，与相切． 【分析】当与相切，点到的距离等于半径即可． 【解答】解：如图，过点作于点． ，， ，即． 又与相切， 就是圆的半径， ， 则． 故答案为：6． 【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到的长度的． 【变式1】（2023秋•江阴市期末）下列说法正确的是　　 A．圆内接四边形的对角互补 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【分析】由圆周角定理的推论可知，圆内接四边形的对角互补，可判断正确；应用圆周角定理的条件是“在同圆或等圆中”，可判断错误；由于同圆的任意两条直径都是互相平分的，所以只有当直径平分非直径的弦时，才能与这条弦垂直，可判断错误；切线的判定定理是“经过半径的外端且与该半径垂直的直线是圆的切线”而不是垂直于半径的直线是圆的切线，可判断错误，于是得到问题的答案． 【解答】解：由圆周角定理的推论可知，圆内接四边形的对角互补， 故正确； 由圆周角定理可知，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等， 故错误； 由垂径定理可知，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦， 故错误； 由切线的判定定理可知，经过半径的外端且与该半径垂直的直线是圆的切线， 故错误， 故选：． 【点评】此题重点考查圆周角定理及其推论、垂径定理、切线的判定定理等知识，正确理解应用这些定理的条件是解题的关键． 【变式2】（2023•鼓楼区一模）如图，为的外心，四边形为正方形．以下结论：①是的外心；②是的外心；③直线与的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可． 【解答】解：连接、、， 为锐角三角形的外心， ， 四边形为正方形， ， ， ①，是的外心，故本选项符合题意； ②，即不是的外心，故本选项不符合题意； ③，， 直线与的外接圆相切．故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 【变式3】（2024•秦淮区校级三模）在中，，以为直径的交于点，点在上，，，的延长线相交于点． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，连接并延长，交于点，若点是的中点，，求的半径． 【分析】（1）连接，，则，再通过直径所对的圆周角为直角，得到，然后利用等腰三角形的性质，进行角度的转换，得到，即可解答； （2）连接，，，，根据题意得到，，证明四边形是平行四边形，即可推出四边形是菱形，再得到三角形是等边三角形，最后解直角三角形即可解答． 【解答】解：（1）如图，连接，，则， ， 是的直径， ， ， ， ， ，， ， ，即， 是的切线； （2）解：如图，连接，，，， 点是的中点， ，， ，， ，，， ， ， ， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 三角形是等边三角形， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练作出正确的辅助线是解题的关键． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【例4】（2021•榕江县模拟）如图，已知是的直径，、是半圆的弦，，，若，则的长为　1　． 【分析】根据已知可证为等边三角形，，，再证明是切线，根据切割线定理即可得出结果． 【解答】解：为直径， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形，， ，，为的切线， ， ，， ； 故答案为：1． 【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、切线的判定与性质；证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 【变式1】（2020秋•锡山区期中）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是　　 A．9 B．4 C．12或4 D．12或9 【分析】连接，过点作，垂足为，可得，由，得：，求出或的长度，即可求得的长度． 【解答】解：当边所在的直线与相切时，如图1所示： 连接，过点作，垂足为， 则，， 又， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ， 设的半径为，由， 得：， 解得：， ， ， 又， ； 同理，当边所在的直线与相切时，连接，如图2所示： ， ． 又， ； 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质、矩形的性质、勾股定理和垂径定理等知识；作出辅助线，由勾股定理求出半径是解答本题的关键． 【变式2】（2023秋•姑苏区校级月考）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为 　2　． 【分析】连接，延长交于点，作，由旋转性质知、，，从而得出四边形和四边形都是矩形且，继而求得，根据垂径定理可得的长． 【解答】解：连接，延长交于点，作于点， 则， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，，， 四边形和四边形都是矩形，， ， ， ， 四边形是矩形， ，即， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点． 【变式3】（2024•仪征市二模）如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接，，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ，是的直径， 是的切线， 是的切线； ， ， ， 解得． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.判断直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）以点为圆心画，若的半径，则与轴的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于圆心到直线的距离，则直线与圆的位置关系是相离． 【详解】解：∵圆心到轴的距离为，的半径， ∴， ∴与轴的位置关系是相离， 故选A 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据圆心到直线距离大于半径与圆相离求解即可得到答案； 【详解】解：∵的直径是4， ∴， ∵圆心O到直线l的距离为3，， ∴直线l与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）等腰直角三角形和如图放置，，，的半径为，圆心与直线的距离为现以的速度向右移动，同时的边长、又以的速度沿、方向增大． (1)当的边边除外与圆第一次相切时，点移动了多少距离 (2)若在移动的同时，也以的速度向右移动，则从开始移动，到它的边边除外与圆最后一次相切，一共经过了多长时间 (3)在（2）的条件下，是否存在某一时刻，使与的公共部分等于的面积若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动的时间．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设第一次相切时，三角形移至三角形处，与相切于点，连接并延长交于点，设与直线相切于点，连接，设，可得，根据即可求出，从而求出点运动的时间，即可求出点移动的距离； （2）根据三角形和从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在的右侧，再结合路程差与速度差即可求解； （3）求出三角形和从开始移动到第二次相切所用时间，求出圆心到的距离，判断其与半径的大小，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次相切时，三角形移至三角形处，与相切于点，连接并延长交于点，设与直线相切于点，连接，如图所示： 则：， 设， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， 解得：， ∴ ∴点运动的时间为： ∴点移动的距离为： （2）解：∵三角形和从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在的右侧， ∴路程差为， ∵和的速度差为， ∴从开始移动，到它的边边除外与圆最后一次相切，一共经过了 （3）解：∵三角形和从开始移动到第二次相切，路程差为，速度差为， ∴三角形和从开始移动到第二次相切用时 此时三角形移至三角形处， ∴ ∵ ∴平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 此时与相交， 故不存在某一时刻，使与的公共部分等于的面积 【点睛】本题以几何动点问题为背景，考查了直线与圆的位置关系、切线的性质定理、切线长定理、勾股定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 题型二.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（2022·江苏盐城·一模）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案． 【详解】解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4， ∴该圆的半径＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点． 【答案】且 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离． 【详解】解：圆心的坐标为， ∴圆心到原点的距离为， 当且时，圆与坐标轴有4个交点． 故答案为：且． 6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】（1）图见解析（2）见解析 【分析】（1）根据题意，确定圆心的位置，再以为半径画圆即可； （2）当以为直径的圆与相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）作的角平分线，交于点，过点作，交于点，以为圆心，以为半径画圆，即为所求，如图： （2）当以为直径的圆与相切时：如图 ∵， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当存在1个点时，此时与相离，或B、D两点重合，， 当存在2个点时，此时与相切，， 当存在3个点时，此时与相交，， 【点睛】本题考查复杂作图—作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题型三.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 7．（2023·江苏淮安·一模）已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据题意得点到直线的距离小于圆的半径，即可解答． 【详解】∵的半径为5，直线与有2个公共点， ∴点到直线的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分和两种情况讨论，设，得出关于的函数关系式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴当时，最大，最大值为； 当时，如图所示， 同理可得，则 ∴当最大时，最大 ∵ ∴当时，即时，最大 最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）． (1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标； (2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ． 【答案】(1)画图见解析，圆心P的坐标为 (2)或 【分析】（1）作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P， （2）设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，根据题意表示出MN的表达式，进而得到点N的坐标，最后根据半径相等列出方程求解即可． 【详解】（1）如图所示．作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P， 连接AP，CP，AB的垂直平分线交x轴于点M， ∵，A（3，0）、B（5，0） ∴，即点M是AB的中点 ∴M点坐标为（4，0） ∴点P的横坐标为4， 设点P的坐标为（4，y） ∵ ∴，解得 ∴圆心P的坐标为； （2）如图所示，设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN， 同（1）可得点M的横坐标为4， ∴设点M的坐标为 ∵⊙M与直线l：相切相切与点N ∴ ∴设MN所在直线的表达式为 将点M代入得，即 ∴MN所在直线的表达式为 ∴联立得：，解得 ∴点N的坐标为 ∵点A和点N都在⊙M上 ∴ ∴ 整理得 解得：或 ∴圆心M的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】此题考查了确定要圆的条件，一次函数和圆综合题，切线的性质和垂径定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型四.求直线平移到与圆相切时运动的距离 10．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 11．（九年级上·江苏·期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】4≤d≤ 【分析】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，分别求得PO和OE的长即可得出d的取值范围． 【详解】解：如图， 当圆O运动到圆P处时，运动距离最短， 当圆O运动到圆E处时，运动距离最长， 由正方形的性质可知： 在Rt△BEF中，由勾股定理得： 所以 故答案为 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质和直线和圆的位置关系，利用正方形的性质和直线和圆相切，确定出平移后圆心的位置是解题的关键． 12．（2014·江苏无锡·一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，、，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． (1)求圆形区域的面积； (2)某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离．（，保留三个有效数字）； (3)当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．    【答案】(1) (2) (3)A船不会进入海洋生物保护区． 【分析】（1）连接，则轴，由圆周角定理、勾股定理得，则半径，． （2）过点A作轴于点D，依题意，得，在中，设，则，由勾股定理，根据图形得到，故； （3）过点A作轴于点G．过点作于点E，并延长交于点F．由垂径定理得，．在中，由勾股定理得，．所以． 【详解】（1）解：连接，如图，    则轴， ， 设为由O、B、C三点所确定圆的圆心． 则为的直径． 由已知得，由勾股定理得 半径，． （2）解：过点A作轴于点D，依题意，得， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 由题意知：，在中， ∴， ∴； （3）解：过点A作轴于点G． 过点作于点E，并延长交于点F． 由（1）知，，由垂径定理得，． ∴在中，由勾股定理得，， ∵四边形为矩形． ∴，而 ∴， ∴直线与相离，A船不会进入海洋生物保护区． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和点与圆的位置关系，灵活运用所学知识是关键． 题型五.证明某直线是圆的切线 13．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①经过平面内的任意三点可以画一个圆；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④三角形的内心到三边的距离相等，其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】分别利用圆的有关知识逐项判断即可． 【详解】①经过平面内的不共线三点可以画一个圆，故①错误； ②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故②错误； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，故③错误； ④三角形的内心到三边的距离相等，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，三角形的内心性质，三角形的外接圆等知识，熟练掌握这些性质是解题的关键． 14．（2023·江苏泰州·三模）如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点．则＝ °    【答案】60 【分析】由切线的性质得，则，由折叠得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵与所在的圆相切于点B， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 15．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆． (1)求证：圆心O在直线上； (2)如图②，当时，求证：与相切； (3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图①，连接，由菱形，可得，，由是的外接圆，可得，则是线段的垂直平分线，即，由，可知三点共线，进而结论得证； （2）如图②，连接，证明是等边三角形，，，同理（1）可知，是线段的垂直平分线，则，，即，进而结论得证； （3）由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，进而可知当时，与菱形的边有五个公共点． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵菱形， ∴，， ∵是的外接圆， ∴， ∴是线段的垂直平分线，即， ∵， ∴三点共线，即圆心O在直线上； （2）证明：如图②，连接， ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 同理（1）可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴与相切； （3）解：由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点， 当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点， ∴当时，与菱形的边有五个公共点， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中,正确的是(    ) A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理对A进行判断；根据三角形内心的定义对B、D进行判断；根据确定圆的条件对C进行判断． 【详解】A、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A选项错误； B、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B选项正确； C、不共线的三点确定一个圆，所以C选项错误； D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．也考查了切线的性质． 2．（19-20九年级上·江苏泰州·期末）若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为(   ) A．a<－1 B．a＞3 C．－1  <a < 3 D．a≥－1且 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系，点在圆内，则点到圆心的距离小于半径，计算解决即可. 【详解】点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心，2为半径的圆内所以－1<a<3. 故答案选C 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系,当点到圆心的距离小于半径的距离时,点在圆内. 3．（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为． ①直线和相交 ②直线和相切 ③直线和相离． 根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解． 【详解】解：和直线相交， ， 又圆心到直线的距离为， ， 故选：D． 4．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：A． 5．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据直线与相离得到直线与圆心的距离大于半径，于是得到结论． 【详解】解：的半径为3，若直线与相离， 圆心到直线的距离， 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；②当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义； 根据确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，原说法错误； B、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，原说法错误； C、和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，原说法错误； D、一个三角形只有一个外接圆，说法正确； 故选：D． 7．（19-20九年级上·江苏扬州·期中）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是(    ) A．r<3 B．r=3 C．r>3 D． 【答案】C 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=3， ∴r＞3． 故选C． 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交⇔d＜r． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤菱形的四个顶点在同一个圆上；⑥垂直于半径的直线是圆的切线，其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据弦的含义可判断①，根据过不在同一直线上的三点可确定一个圆可判断②，根据三角形的内心的性质可判断③，根据等弧的含义可判断④，根据四点共圆的判定可判断⑤，根据切线的判定可判断⑥，从而可得答案． 【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误； ③三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点，所以三角形的内心到三角形三边的距离都相等，故错误； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确． ⑤菱形的对角不一定互补，所以菱形的四个顶点不一定在同一个圆上；故错误， ⑥过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查的是圆中的基本概念，圆的确定，三角形的内心的性质，四点共圆的判定，切线的判定，熟记基本概念与圆中基本定理的含义是解本题的关键． 9．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可． 【详解】设圆与直线b交于A、B两点， 当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1， 当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切， 当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题． 10．（江苏苏州·二模）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【答案】B 【详解】本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3， ∴与该直线相交， ∴这条直线可能是， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴 ，与轴 ． 【答案】 相离 相切 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点的坐标得到点到轴与轴的距离．先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴、轴的位置关系． 【详解】解：， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， 与轴相离，与轴相切 故答案为：相离，相切． 13．（九年级上·江苏盐城·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ． 【答案】1或5/5或1 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为1或5． 14．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值． 【详解】解：∵点N的坐标为， ∴点N为直线上任意一点， 如图， 直线为函数的图象，则N为直线上一点，M为上一点， 由图象可知：过点P作垂线，当M、N分别是垂线与、的交点时，的长度最小， 此时：， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时． 故答案为：2． 16．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 此题注意考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上. 【详解】解：过点作于点， ∵在中，，，， ， ， 如图，当与和相切时，则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时，则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 17．（19-20九年级上·江苏南通·阶段练习）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为，则直角梯形周长为 ．    【答案】14 【分析】如图所示，连接，先根据正方形的性质、圆的切线的判定得出均为圆O的切线，再根据切线长定理可得，，然后根据的周长可求出正方形的边长，最后在中，利用勾股定理可求出的长，从而可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线， 又∵与相切于点F， ∴由切线长定理可得， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴直角梯形周长， 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质、圆的切线判定、切线长定理、勾股定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 18．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线过点结束（不包括直线l过点．当直线l和半圆相切于点时，根据直线l的解析式知直线l与轴所形成的锐角是，从而求得，即可求出点的坐标，进一步求得的值；当直线l过点A或点时，直接根据待定系数法求得的值即可． 【详解】解：根据题意可得：若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线l过点结束（不包括直线l过点， ∵直线l的解析式为y＝x+t， ∴直线l与轴所形成的锐角是， 过点C作CD⊥x轴于点D，则． 当直线l和半圆相切于点时，则垂直于直线l，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即点，， 把点的坐标代入直线解析式，得， 当直线l过点时，把点代入直线解析式，得； 当直线l过点时，把点代入直线解析式，得． 即当或时，直线l和半圆只有一个公共点， 故答案为：或． 【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系以及用待定系数法求解直线的解析式等知识，根据题意得到直线l与半圆只有一个交点的两种不同情况是解决本题的关键． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可． （1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案； （2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案； （3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点； （4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接， ∴轴， ∵， ∴， 当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点， ∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：； （2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接， ∴轴， ∵， ∴， ∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点， 当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点， ∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：；    （3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点， ∴当时，与坐标轴有3个交点； 如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点， ∴此时； 综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点， 故答案为：或；    （4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点， 故答案为：或．    20．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知（）．    (1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）； (2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心O的位置是关键． （1）作出的角平分线，角平分线与的交点是圆心，以为圆心，以为半径作圆即可； （2）作的角平分线交与，过点作垂直于，交与， 以为圆心，以为半径作圆即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求    ∵是的平分线，， ∴点到的距离等于到的距离， ∴与、所在直线相切 （2）如图所示，即为所求作的图形    21．（21-22九年级上·江苏连云港·期中）张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上． （1）请你帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果，，，试用含a的代数式表示所作圆形工件的半径（答案保留根号） 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先作∠BAC的平分线交BC于点O，再过点O作OW垂直AC于点W，然后以O为圆心，OW长为半径作圆O，即可求解； （2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW，设 ，由，，可得 ， ，从而得到 ，即可求解． 【详解】解：（1）如图，半圆 即为所求； （2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW， 设 ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ∵， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，圆的基本性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 22．（九年级上·江苏南通·期中）如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB． （1）求圆心C到直线AB的距离； （2）求△PAB面积的最大值． 【答案】（1）；（2）51． 【分析】（1）求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB．过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积面积法求高，可知圆心C到直线AB的距离； （2）由（1）中的数据即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：解：（1）如图1，过C作于M，连接AC，MC的延长线交于N， 由题意：，， ，，． ， 则由三角形面积公式得，， ， ， 圆心C到直线AB的距离是； （2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是． 则圆C上点到直线的最大距离是， 故面积的最大值是：． 【点睛】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，直线与圆的位置关系，解此题的关键是由三角形面积法求高得出圆心C到直线AB的距离，难度不是很大． 23．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在上，理由见详解 (2)与相离，理由见详解 (3) 【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【详解】（1）解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； （2）过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； （3）连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． 24．（九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）． （1）若EC=BC，求b的值； （2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切． 【答案】（1）b=2；（2）t=或或. 【分析】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解, （2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题. 【详解】作BH⊥CE.∵E（4,0）, ∴OE=BH=4,把x=4代入y=x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=x+b,得b=2 （2）设点P到直线l的距离为d.作PH⊥y轴于点H,则PH=t. ①当0<t≤4时,OQ=t,d=t－t=t,由t=,得t=； ②当4<t≤8时,OQ=8－t,d=8－t－t =或t－（8－t）=,解得t=或； ③当8<t<12时,OQ=t－8,d=t－（t－8）=,解得t=,由于t－4>,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的理由合情描述即可） 综上所述,t=或或. 【点睛】本题考查求解一次函数参数,直线与圆的位置关系,分类讨论是解题关键. 25．（20-21九年级上·江苏南京·期中）（1）如图①，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求证：∠ADC＝2∠BDC． （2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若平面内的点D满足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC． ①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）； ②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化，请直接写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当0＜m＜时，点D的个数为0，当m＝时，点D的个数为1，当＜m＜4时，点D的个数为2 【分析】（1）连接AC，根据垂径定理得出AB垂直平分CD，再证明△ACD是等边三角形，就可以求出和的度数，即可证明结论； （2）①以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D、D'； ②假设AC的垂直平分线和以BC为半径的⊙B只有一个交点时，此交点就是AB的中点，得到AC＝2BC，利用勾股定理求出m的值，当m小于此值时没有交点，大于此值时两个交点． 【详解】解：（1）如图，连接AC， ∵BD＝BC， ∴， ∵AB是直径， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∵CD＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°＝∠DAC， ∵AB垂直平分CD， ∴∠BAC＝∠BAD＝30°＝∠BDC， ∴∠ADC＝2∠BDC； （2）①如图，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D、D'； ②如图，当⊙B与AC的垂直平分线只有一个交点时，即点D的个数为1， ∴AC＝2BC， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴16＝5m2， ∴m＝， ∵0＜m＜4， ∴当0＜m＜时，点D的个数为0； 当m＝时，点D的个数为1； 当＜m＜4时，点D的个数为2． 【点睛】本题考查圆，解题的关键是掌握圆周角定理，垂径定理，尺规作图的方法，以及直线与圆的位置关系． 26．（19-20九年级上·江苏连云港·期中）如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD． （1）判断四边形OCPD的形状并说明理由． （2）求点P的坐标． （3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值． （4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案） 【答案】（1）四边形OCPD为正方形，见解析；（2）P点坐标为(2，4)或(4，2)；（3）b的值为或；（4） 【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥PC，PD⊥PD，加上PC⊥PD，则可判断四边形OCPD为矩形，然后利用OC＝OD可判断四边形OCPD为正方形； （2）利用正方形的性质得，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出结论； （3）利用直线y1＝﹣x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3可得到直线y1＝kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，然后讨论：当点A和点B都在坐标轴的正半轴上或当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，易得b的值为±； （4）先确定A点和B点坐标，再判断△OAB为等腰直角三角形，则∠ABO＝45°，然后讨论：当圆移动到点O1时与直线AB相切，作O1M⊥AB，如图丙，根据切线的性质得O1M＝，利用等腰直角三角形的性质得求出O1与O'2的坐标，于是根据直线与圆的位置关系可得到⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围． 【详解】解：（1）四边形OCPD为正方形． 理由如下：连接OC、OD，易知OC⊥PC，OD⊥PD， 又PC⊥PD， ∴四边形OCPD为矩形， 又OC＝OD， ∴四边形OCPD为正方形． （2）连接OP， 为正方形， ， 在直线上， 设， 由得：， 解得：或． 点坐标为或． （3）平移后的新直线A′B′交圆于A′B′，分得的两段弧长之比为1：3， 分得的劣弧是圆周的， 直线AB与x轴夹角为，， ， 当为圆周时，直线与坐标轴的交点恰好是与坐标轴的交点， 当AB平移到位置时，； 当AB平移到位置时，， 的值为或． （4）如图，⊙O沿x轴向右平移过程中分别在⊙O1处，⊙O2处与直线y＝﹣x+6相切， 则圆在O落在O1，O2之间均满足题意， 在处相切时，为等腰直角三角形， ，． ，同理，在处相切时，， ， 当与直线有交点时，圆心O的横坐标m的取值范围为． 【点睛】此题是圆的综合题：涉及了正方形的判定、切线的性质和圆心角、弧、弦的关系；理解坐标与图形的性质，理解一次函数图象上点的坐标特征；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$