第10讲 等腰三角形的轴对称性（一）（4个知识点+7种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第10讲 等腰三角形的轴对称性（一）（4个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【例1】（2023秋•姑苏区月考）如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为　　 A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【变式1】（2022秋•大丰区期中）如图，在等边中，为边上的中点，以为圆心，为半径画弧，与边交点为，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•镇江期中）如图，在一个池塘旁有一条笔直公路，池塘对面有一个建筑，小明在公路一侧点处测得，为了得到他与建筑物之间的距离，小明沿公路继续向东走到点处，测得，并测得他走了48米，则为　　米． 【变式3】（2023秋•建邺区校级月考）在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）如图1，当为中点时，求证：； （2）如图2，若，，求的长． 知识点2．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【例2】（2023秋•新沂市期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，则这个三角形一定是　　 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式1】（2023秋•姑苏区月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论： ①；②；③是等边三角形．其中正确的是 　　．（填序号） 【变式2】（2023秋•宿城区期末）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式3】（2020秋•赣榆区期中）如图，在中，，，点、在上，且． （1）求的度数； （2）若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 知识点3．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【例3】（2022秋•盐都区期末）已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为，则它的周长是　　 A．12 B．15 C．18 D．20 【变式1】（2023秋•宝应县期中）如图，等边的边长为6，，的角平分线交于点，过点作，交、于点、，则的长度为　　． 【变式2】（2023秋•新北区校级月考）如图，在一个池塘旁有一条笔直小路，为小路端点）和一棵小树为小树位置），测得的相关数据为：，，米，则　　米． 【变式3】（2023秋•启东市期中）在中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 知识点4．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【例4】（2023秋•扬州期中）如图所示，在中，，，为中点且，交于点，，则等于　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•金坛区校级月考）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，是边上一动点．当是“和谐三角形”时，的度数是 　　． 【变式2】则　　． 【变式3】（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，　　． 求证：　　． 证明：　　． 经典题型汇编 题型一.等边对等角 1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）在等腰三角形中，，（如图，一个含30度角的直角三角板的一直角边与边重合，斜边经过的顶点A），则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将沿所在直线翻折，点落在边上的点，，，那么等于 ． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． (1)如图1，在中，是边上一点，若，，则________的“等角分割线”．（填“是”或“不是”）； (2)如图2，中，； 利用直尺和圆规，作出的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若，则中画出的“等角分割线”的长度为____________； (3)在中，，若存在“等角分割线”，且是等腰三角形，试求出所有符合要求的的度数． 题型二.根据等边对等角证明 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”这一命题是 命题（填“真”或“假”）． 6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型三.根据等角对等边求边长 7．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，交于点E，，，则的长 ． 9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知：如图，、相交于点，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型四．等边三角形的性质 10．（2024春•海州区期末）如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 11．（2021秋•建湖县期中）如图，为等边三角形，为边上的高，则　　． 12．（2023秋•锡山区校级月考）如图，点在等边的边所在直线上，以为一边作等边，顶点、 、顺时针排序． （1）找到图中一对全等三角形，并说明理由； （2）点在线段上，连接．求证：． 题型五、等边三角形的判定 13．（2023秋•溧阳市期中）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是　　 A． B． C． D． 14．（兴化市期中）有一个角是　　的等腰三角形是等边三角形． 15．（2023秋•建邺区校级月考）已知：如图，在中，，，、边的垂直平分线分别交于点、，连接、．求证：是等边三角形． 题型六．等边三角形的判定与性质 16．（2022秋•南通期末）已知等边的边长为5，点为直线上一点，，交直线于点，则的长为 　　． 17．（2023秋•惠山区校级月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是　　 A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 18．（2023秋•泉山区校级期中）证明题：如图：是等边三角形，点、、分别在、、的延长线上，且． 求证：是等边三角形． 题型七．含30度角的直角三角形 19．（2023秋•泗阳县期末）如图，中，为中线，，，，则长　　 A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5 20．（2021秋•新北区校级期中）如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 　　． 21．（2022秋•句容市期末）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，则　　． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，若，则的长为（   ） A．4 B．3.6 C．3 D．2.4 3．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，E是中点，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．4 D． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（    ） A．2024 B．4042 C． D． 5．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是（　　）    A．18 B．19 C．20 D．21 6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，交于点，则的长是（    ） A．3 B． C．4 D． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（   ）    A．6 B．8 C．12 D．18 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则底角的度数为 ． 12．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）已知中，，，则 ． 13．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ． 14．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，若，则 ． 15．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，点D在边上，．点E、点F分别是，的中点，，则的长为 ． 16．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D、E、F分别是，，上的点，且，，，则的度数是 ． 17．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 18．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，等边与正方形的重叠，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为 ．    三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是边上的高，求的度数． 20．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，是的中点，是的中点． (1)求证：； (2)若点是边的中点，连接，当满足______时（添加一个条件），有线段，并说明理由． 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰面积为21，求周长的最小值．    22．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，是的中线，是的中线，且．求证： (1) ； (2)平分． 23．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知等边，D为中点，延长至E，使． (1)的形状为 ；图中有 个等腰三角形； (2)若于M（图中未画出），的值是几？ 24．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N． 求证：    (1)； (2)是等边三角形． 25．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，和均为等边三角形，、、在同一直线上． (1)证明：； (2)若，求的度数． 26．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知等腰和等腰中，，． (1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______； ②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______； (2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由； (3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 等腰三角形的轴对称性（一）（4个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【例1】（2023秋•姑苏区月考）如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为　　 A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【分析】由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【解答】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式1】（2022秋•大丰区期中）如图，在等边中，为边上的中点，以为圆心，为半径画弧，与边交点为，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出，结合等于求出的度数即可． 【解答】解：在等边中，为边上的中点， （三线合一）， 在中，， ， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用． 【变式2】（2022秋•镇江期中）如图，在一个池塘旁有一条笔直公路，池塘对面有一个建筑，小明在公路一侧点处测得，为了得到他与建筑物之间的距离，小明沿公路继续向东走到点处，测得，并测得他走了48米，则为　48　米． 【分析】证明是等边三角形，可得结论． 【解答】解：， 是等边三角形， 米． 故答案为：48． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会构造等边三角形解决问题． 【变式3】（2023秋•建邺区校级月考）在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）如图1，当为中点时，求证：； （2）如图2，若，，求的长． 【分析】（1）由为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得； （2）根据可得，由求出的长即可． 【解答】解：（1）为等边三角形， ， ， ，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作，交于点， 为等边三角形， ，为等边三角形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到，再找和的关系是解题的关键． 知识点2．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【例2】（2023秋•新沂市期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，则这个三角形一定是　　 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得到答案． 【解答】解：一个三角形有两条边相等， 这个三角形是等腰三角形， 又这个三角形有一个内角为， 这个三角形一定为等边三角形． 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【变式1】（2023秋•姑苏区月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论： ①；②；③是等边三角形．其中正确的是 　①③　．（填序号） 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数，再根据等腰三角形的性质可知，可判断①选项；根据，，与不一定相等，即可判断②选项；先求出的度数，再求出的度数，即可求出的度数，再根据，即可判断③选项． 【解答】解：①连接，如图1所示： ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， 故①选项正确； ②由①可知，，， 点是线段上一点， 与不一定相等， 与不一定相等， 故②选项不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故③选项正确， 故答案为：①③． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定等，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定方法是解题的关键． 【变式2】（2023秋•宿城区期末）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【分析】如图，过点作于，于．根据角平分线的性质，由平分，于，于，得，，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【解答】解：如图，过点作于，于． 平分，于，于， ，，． ． 此时，是等边三角形． 当向方向移动，向方向移动，． ． 在和中， ， ． ． △是等边三角形． 当向方向移动，向方向移动，， △是等边三角形． 同理：当向方向移动，向方向移动，也存在无数个满足条件等边． 综上：满足条件的有无数个． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 【变式3】（2020秋•赣榆区期中）如图，在中，，，点、在上，且． （1）求的度数； （2）若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是，可以求得的度数； （2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ， ， 即； （2）方法一：证明：由（1）知，， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 方法二：证明：由（1）知，， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 知识点3．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【例3】（2022秋•盐都区期末）已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为，则它的周长是　　 A．12 B．15 C．18 D．20 【分析】根据三角形是等腰三角形，一个内角为，得出三角形是等边三角形，再根据三角形的周长公式即可得出答案． 【解答】解：三角形是等腰三角形，一个内角为， 三角形是等边三角形， 一边长为6， 它的周长是； 故选：． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，关键是根据三角形是等腰三角形，一个内角为得出三角形是等边三角形． 【变式1】（2023秋•宝应县期中）如图，等边的边长为6，，的角平分线交于点，过点作，交、于点、，则的长度为　4　． 【分析】根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，．然后即可得出答案． 【解答】解：如图，连接， 在中，和分别平分和， ，， ， ，， ，， 和分别平分和， 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：4 【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定与性质，平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证，． 【变式2】（2023秋•新北区校级月考）如图，在一个池塘旁有一条笔直小路，为小路端点）和一棵小树为小树位置），测得的相关数据为：，，米，则　58　米． 【分析】根据等边三角形的判定与性质即可求解． 【解答】解：，， ， 是等边三角形， 米， 米． 故答案为：58． 【点评】考查了等边三角形的判定与性质，关键是得到是等边三角形． 【变式3】（2023秋•启东市期中）在中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 知识点4．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【例4】（2023秋•扬州期中）如图所示，在中，，，为中点且，交于点，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，再在中，利用含30度角的直角三角形可求出的长，即可解答． 【解答】解：，， ， 为中点且， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式1】（2021秋•金坛区校级月考）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，是边上一动点．当是“和谐三角形”时，的度数是 　或或或　． 【分析】分四种情况进行讨论：①当时；②当时；③当时；④当时．根据“和谐三角形”的定义求解即可． 【解答】解：，， ． 当是“和谐三角形”时，分四种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ； ③当时， ， ， ． ④当时，， ． 综上所述，的度数是或或或． 故答案为：或或或． 【点评】本题考查了新定义，三角形内角和定理，理解“和谐三角形”的定义并且能够应用是解题的关键． 【变式2】则　20　． 【分析】由垂直的定义得到，由含角的直角三角形的性质，得到，求出，得到，因此，推出，于是，即可求出的长， 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：20． 【点评】本题考查含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出． 【变式3】（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，　　． 求证：　　． 证明：　　． 【分析】取的中点，连接，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质证明结论． 【解答】已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：取的中点，连接， ，为的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：．．取的中点，连接，，为的中点，，，，，是等边三角形，，． 【点评】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 经典题型汇编 题型一.等边对等角 1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）在等腰三角形中，，（如图，一个含30度角的直角三角板的一直角边与边重合，斜边经过的顶点A），则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ， ， ， ∴， 故选：B．    2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将沿所在直线翻折，点落在边上的点，，，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明是本题的关键．根据折叠的性质可得，然后根据，证得，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解． 【详解】解：根据折叠的性质可得 ∵， ∴． ∴ ∴． ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． (1)如图1，在中，是边上一点，若，，则________的“等角分割线”．（填“是”或“不是”）； (2)如图2，中，； 利用直尺和圆规，作出的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若，则中画出的“等角分割线”的长度为____________； (3)在中，，若存在“等角分割线”，且是等腰三角形，试求出所有符合要求的的度数． 【答案】(1)是 (2)①见解析；② (3)或 【分析】（1）证明出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，是等腰三角形，即可得出答案； （2）①画的角平分线，交于点，线段即为所求，再证明出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，是等腰三角形，即可得出答案；②设，则，列出方程，解方程即可得出答案； （3）分和；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的“等角分割线”， 故答案为：是； （2）解：①画的角平分线，交于点，线段即为所求，如图所示： ， 理由如下： ，， ， 平分， ， ， ， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ， ， 是等腰三角形， 是的“等角分割线”； ②设， 中，，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （3）解：当时，， ，； 当时，，， ，； 当的情况不存在； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“等角分割线”的定义，等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，理解新定义“等角分割线”，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型二.根据等边对等角证明 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用，根据“等边对等角”可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质可表示出和，是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”这一命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题主要考查了判断命题真假、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法．根据真假命题的概念进行判断即可． 【详解】解：一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形是真命题． 如图，已知是的边上的中线，且． 求证：是直角三角形． 证明：∵， ∴， 同理， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 故答案为：真． 6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由等边对等角可得，从而得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，由三角形内角和定理得出，最后由角平分线的定义计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 平分， ． 题型三.根据等角对等边求边长 7．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，根据，可知；根据角平分线的定义，可知，通过角度的等量代换，得到，等角对等边，则；同理可得，问题随之得解． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则； 同理可得：， ∵，， ∴， 故选：C． 8．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，交于点E，，，则的长 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，根据证得，进而得，在根据平行线的性质及等腰三角形的判定得，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：6． 9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知：如图，、相交于点，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边； （1）利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，根据等角对等边可得答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ； （2）由（1）知， ， ， ， ． 题型四．等边三角形的性质 10．（2024春•海州区期末）如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】根据平移的性质易得AD＝BE＝2，那么四边形ABFD的周长即可求得． 【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝BE＝2，各等边三角形的边长均为3． ∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+FE+DF＝13． 故选：A． 【点评】本题考查平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长． 11．（2021秋•建湖县期中）如图，为等边三角形，为边上的高，则　　． 【分析】根据等边三角形的性质得，平分，从而可求出的度数． 【解答】解：为等边三角形， ， 为边上的高， 平分， ． 故答案为． 【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 12．（2023秋•锡山区校级月考）如图，点在等边的边所在直线上，以为一边作等边，顶点、 、顺时针排序． （1）找到图中一对全等三角形，并说明理由； （2）点在线段上，连接．求证：． 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，，，，进而得，然后依据“”可判定和全等；由此可得出答案； （2）由和全等得，进而得，由此可得出结论． 【解答】解：（1），理由如下： 和均为等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， （2）由（1）可知：， ， ， ． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，准确识图，理解等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 题型五、等边三角形的判定 13．（2023秋•溧阳市期中）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案． 【解答】解：在中，， 如果添加条件，可判定为等边三角形． 理由是：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形， 故添加可判定为等边三角形； 如果添加条件，可判定为等边三角形． 理由是：有两个角等于的三角形是等边三角形， 故添加可判定为等边三角形； 如果添加条件，不能判定为等边三角形． 例如：，时，仍然可以作出，此时就不是等边三角形． 故故添加不能判定为等边三角形； 如果添加条件，可判定为等边三角形． 理由是：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 故添加可判定为等边三角形． 故选：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解决问题的关键． 14．（兴化市期中）有一个角是　　的等腰三角形是等边三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两个底角相等，如果这个60度的角是底角，则另一个底角也是60度，三角形内角和是180度，所以第三个角也是度，即三个角相等，即为等边三角形． 【解答】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 故答案为：． 【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形解答． 15．（2023秋•建邺区校级月考）已知：如图，在中，，，、边的垂直平分线分别交于点、，连接、．求证：是等边三角形． 【分析】由等腰三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，，由三角形外角的性质得到，，因此，即可证明是等边三角形． 【解答】证明：，， ， 、边的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ，， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到，． 题型六．等边三角形的判定与性质 16．（2022秋•南通期末）已知等边的边长为5，点为直线上一点，，交直线于点，则的长为 　4 或6　． 【分析】分在线段上，和在线段的延长线上，两种情况，讨论求解即可． 【解答】解：①当在线段上，如图： 等边的边长为5， ，， ， ， ， ，， 为等边三角形， ； ②当在线段的延长线上，如图： 同法可得：为等边三角形， ； 综上：的长为：4或6； 故答案为：4或6． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论． 17．（2023秋•惠山区校级月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是　　 A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【分析】①利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解； ②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③证明且，即可证得是等边三角形； ④首先证明，则，． 【解答】解：①如图1，连接， ，， ，， ， ， ， ，， ； 故①正确； ②由①知：，， 点是线段上一点， 与不一定相等，则与不一定相等， 故②不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故④正确； 本题正确的结论有：①③④ 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 18．（2023秋•泉山区校级期中）证明题：如图：是等边三角形，点、、分别在、、的延长线上，且． 求证：是等边三角形． 【分析】证明即可． 【解答】证明：为等边三角形， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， 为等边三角形． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质和判定，掌握其判定方法是解题的关键． 题型七．含30度角的直角三角形 19．（2023秋•泗阳县期末）如图，中，为中线，，，，则长　　 A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5 【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， 中，为中线， ， 又， ， ， 又在中，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 20．（2021秋•新北区校级期中）如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 　　． 【分析】要使最大，则需要最小，而，从而通过圆与相切来解决问题． 【解答】解：方法一、中，，，， ， 垂直平分， ， 若要使最大，则需要最小， 以为圆心，为半径的圆与相切即可， ， ， ， 的最大值为， 方法二：过点作于，连接， 设，则， ， ， ， 解得， 最小值为，的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 21．（2022秋•句容市期末）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，则　　． 【分析】（1）由等边对等角可得，且，，即可得到，再由等角对等边即可得出结论； （2）设，则，列方程即可求得，又因为，，所以，所以． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ， ， ， ， ， 又，， 是等边三角形， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，以及三角形的外角定理，牢固掌握其判定及性质是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形有两条边相等， ∴这个三角形是等腰三角形， 又∵这个三角形有一个内角为， ∴这个三角形一定为等边三角形. 故选：A ． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，若，则的长为（   ） A．4 B．3.6 C．3 D．2.4 【答案】C 【分析】根据“等腰三角形三线合一”可得，根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得． 本题主要考查了“等腰三角形三线合一”和“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，熟练掌握这两个性质是解题的关键． 【详解】中，，， ． 又， ． 故选：C 3．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，E是中点，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义，求出，根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，E是中点， ∴， 故选：D 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（    ） A．2024 B．4042 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴的边长为． 故选：D． 5．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是（　　）    A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据角平分线的定义，得出，，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，再根据等量代换，得出，，再根据等角对等边，得出，，再根据的周长是13，得出，再根据三角形的周长，即可得出的周长． 【详解】解：与的平分线交于点， ，， 又， ，， ，， ，， 的周长是13， ， ， 即， 又， 的周长为：． 故选：B 6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，∵，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选：B． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．连接．由，F是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即． 【详解】解：如图，连接． ∵，F是的中点， ∴． 在中， ∵，E是的中点，， ∴． 故选：D． 8．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质． 根据等腰三角形的性质得到，证明，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，交于点，则的长是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 先证明，，再证明，得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选A． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（   ）    A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置．作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，    的最小周长为， 连接，则， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴，即的周长的最小值是6． 故选：A． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则底角的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，当等腰三角形是钝角三角形时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形是锐角三角形时，如图： 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； 当等腰三角形是钝角三角形时，如图： 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述：底角的度数为， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）已知中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，由等边三角形的判定和性质，可求解，关键是掌握等边三角形的判定方法及性质． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 13．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． 14．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识， 因为是等边三角形，又是上的中线，所以有，，，且，又，可得，所以就有，，即． 【详解】解：是等边三角形，是上的中线， ，平分； ； ， 又， ， ， ． 故答案为： 15．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，点D在边上，．点E、点F分别是，的中点，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出直角三角形．连接，可得，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵点F是的中点，， ∴， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 16．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D、E、F分别是，，上的点，且，，，则的度数是 ． 【答案】48 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导． 根据已知条件可推出，从而可知，则，再求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：48． 17．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 【答案】/84度 【分析】由等边三角形的性质得，由邻补角得，再由翻折的性质得：，，从而，，再利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，邻补角性质，折叠的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 18．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，等边与正方形的重叠，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质；过作于，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出，，，，求出，求出和，即可求出答案． 【详解】解：过作于，    则， 是等边三角形，， ，， ，， 是等边三角形，且边长为， ，， ， 四边形是正方形，， ，， ， ， 的面积， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是边上的高，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，等边对等角的性质，根据三角形内角和定理，等边对等角及，求出，再根据直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， ． 是边上的高， ． ． 20．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，是的中点，是的中点． (1)求证：； (2)若点是边的中点，连接，当满足______时（添加一个条件），有线段，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明； （2）连接，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，结合（1）中的结论即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ∵，是的中点， ∴， 又∵是的中点， ∴； （2）解：当时，线段， 理由如下： 连接， ， ∵，是的中点， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 由（1）可得 ∴当时，． 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰面积为21，求周长的最小值．    【答案】 【分析】本题考查动点最值问题-三角形三边关系模型，涉及垂直平分线性质、中点定义、等腰三角形性质、三角形周长及面积、三角形三边关系等知识，连接，如图所示，由中垂线性质、中点定义及等腰三角形性质求出，然后利用三角形三边关系确定的周长的最小值为的长，利用三角形面积列方程求出即可得到答案，掌握动点最值问题-三角形三边关系模型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵直线垂直平分， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值为的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为：． 22．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，是的中线，是的中线，且．求证： (1) ； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意知，，，如图，延长到使，连接，证明，则，，，由，，可得，证明，进而结论得证； （2）由（1）可知，，则，进而结论得证． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， 如图，延长到使，连接， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形外角的性质，等边对等角．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形外角的性质，等边对等角是解题的关键． 23．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知等边，D为中点，延长至E，使． (1)的形状为 ；图中有 个等腰三角形； (2)若于M（图中未画出），的值是几？ 【答案】(1)等腰三角形，3 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得,；然后运用等边对等角以及三角形外角的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，即；进而得到，即可判定的形状；根据等腰三角形的定义结合图形即可确定等腰三角形的个数． （2）由直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可得，同理可得：，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴,, ∵, ∴, ∵， ∴， ∵D为中点，, ∴, ∴, ∴， ∴是等腰三角形； 图中等腰三角形有：、、共3个． 故答案为：等腰三角形，3． （2）解：如图：，， ∴,, ∴； ， ∴， ∴, ∵，即， ∴． 24．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N． 求证：    (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 25．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，和均为等边三角形，、、在同一直线上． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定． （1）利用等边三角形能得出有两条边对应相等，不难得到其夹角也相等，最后利用即可； （2）根据前面证得三角形全等可得对应角相等，后用三角形内角和及整体思想求，具体见详解． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形 ，， ，即 在和中 （2） ， ． 26．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知等腰和等腰中，，． (1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______； ②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______； (2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由； (3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明． 【答案】(1)①10；②或 (2)的度数不变，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】 （1）①连接，由，得，则线段的最大值为10，于是得到问题的答案；②分两种情况讨论，一是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，由，，，得，，可证明，得，所以，则，即可求得；二是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，则，，可证明，得，于是得到问题的答案； （2）由，得，，则，所以的度数不变． （3）在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，得，，由，得，则，再证明垂直平分，则，所以是等边三角形，则，，可推导出，即可证明，得，所以． 【详解】（1）解：①如图（1），连接， ，， ， ， ， 线段的最大值为10， 故答案为：10． ②如图（1）①，、、三点共线，且点在线段上，设交于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ； 如图（1）②，、、三点共线，且点在线段上，设交于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：或． （2）的度数不变， 理由：，，，且与重合， ， ，， ， ， 的度数不变． （3）， 证明：如图（3），在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$