浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期期末调测数学试题

A C B 第 7题图  A C B D EF 第 8题图 2023学年第二学期高中期末调测 高 一 数 学 注意事项： 1．请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上。本卷答案必须做在答卷相应 位置上。 2．全卷满分 100分，考试时间 120分钟。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．复数1 2i 的共轭复数是 A．1 2i B．1 2i C． 1 2i  D． 1 2i  2．用斜二测画法画水平放置的边长为 2的正方形的直观图，所得图形的面积是 A． 4 B． 2 2 C． 2 D． 2 2 3．十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16， 14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是 A． 3 17 12， ， B．5 16 14， ， C． 7 17 14， ， D． 7 17 13， ， 4．已知m n，是两条直线， ， 是两个平面，则下列命题正确的是 A．若 //m n ， ，则 //m n B．若 // //m m ， ，则 //  C．若m    ， ，则m  D．若m n  ， ，则 //m n 5．已知平面四边形 ABCD，AB BC ， 1AB BC CD   ， 3AD  ，若 BD xBC yBA  uuur uuur uur ， 则 x y  A． 3 4 B．1 C． 5 4 D． 3 2 6．设 ABC△ 的内角 A B C，， 所对的边分别为 a b c，，，且 1cos cos 4 a B b A c b   ，则 cos A  A． 1 8  B． 1 8 C． 1 4  D． 1 4 7．如图是一个古典概型的样本空间和事件 A B C，， ，其中 ( ) 24n   ， ( ) 12n A  ， ( ) 8n B  ， ( ) 5n C  ， ( ) 16n A B U ，则 A．事件 A与事件B互斥 B．事件 A与事件B相互独立 C．事件 A与事件C互为对立 D．事件 A与事件C相互独立 8．如图，矩形 ABCD中， 1AB ， 3BC ．面积为 3的平行四边形 ACEF绕 AC旋转，且 E平面 ABCD，则 A．平面 EFB  平面 EFD B．平面 ABF 平面 ABC C．平面 ABF 平面 BCF D．平面 ABF 平面 ADF 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 4 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列说法正确的是 A．复数 i2  的模为 5 B．复数 1 iz   的虚部为 1 C．若 1 2iz  ， 2 iz  ，则 1 2z z D．若复数 1z ， 2z 满足 2 2 1 2 0z z  ，则 1 2 0z z  10．已知一组样本数据 1 2 3 4 5 6x x x x x x， ，， ，， 的标准差 0s ，其平均数 3x x ，则下列数据的标准 差与 s不相等．．．的是 A． 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2x x x x x x， ， ， ， ， B． 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x x x     ， ， ， ， ， C． 1 2 4 5 6x x x x x， ， ， ， D． 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2x x x x x x x x x x x x     ， ， ， ， ， 高一数学试卷 第 1页（共 6页） 高一数学试卷 第 2页（共 6页） P A B C D M N 第 16题图 11．如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为1， E F G，， 分别为棱 1 1AA CC BC， ， 上的点， 1 (0 1)A E CF CG     ， ，则 A． EG GF B．平面 EFG经过棱 AB中点H C．平面 EFG截该正方体，截面面积的最大值为 3 3 4 D．点D到平面EFG距离的最大值为 3 2 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。 12．抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是 ▲ ． 13．已知向量a 与 b 的夹角为 60， 1 a b ，则向量a 在向量 a b 上的投影向量的模为 ▲ ． 14．正四棱锥的外接球半径为 R，内切球半径为 r ，则 R r 的最小值为 ▲ ． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点， (0 2)A ， ， ( 3 1)B  ， ． （1）求 | |AB uuur 及向量OA uur 与OB uuur 夹角的大小； （2）若 // (2 )AB OA tOB uuur uur uuur ，求实数 t 的值． 16．（10分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为1的正方形，侧面 PAB 是正三角形， AD 平面 PAB ，M N， 分别为 AB PC， 的中点． （1）证明： //MN 平面 PAD； （2）求四棱锥 P ABCD 的体积． 17．（10分） 某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别 画出了如下频率分布直方图： cm90807060504030 0.005 0.010 0.015 0.020 0.030 频率/组距 90807060504030 cm 0.005 0.015 0.020 b a 频率/组距 甲工厂 乙工厂 根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于 60cm” 的频率为0.70． （1）估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值； （2）求乙工厂频率分布直方图中 a b，的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数（结果保留 两位小数）； （3）现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40 50)， 和[70 80)， 内 的零件 3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40 50)， 和[80 90)， 内的零件 5个，再从抽 得的 8个零件中任取 2个，求这两个零件的尺寸都在[40 50)， 内的概率． A B CD 1A 1B 1C1D E F G H 第 11题图 高一数学试卷 第 3页（共 6页） 高一数学试卷 第 4页（共 6页） B C A E F D 第 18题图 18．（12分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是菱形，AB DE ， //AB EF， 6AB BD  ， 4EF  ， EAD EAB   ， 3cos 4 EAB  ． （1）证明： BD 平面 ACE； （2）求点 E到平面 ABCD的距离； （3）求侧面 ADE与侧面 BCF所成二面角的正切值． 19．（12分） 克罗狄斯 托勒密（ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如 下定理：任意平面凸四边形（所有内角都小于180的四边形）中，两条对角线的乘积小于或 等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号． 已知圆O是凸四边形 ABCD的外接圆，其中 3CD AD ． （1）若圆O的半径为 r，且 2CBD ABD   ， （ⅰ）求 ABD 的大小； （ⅱ）求 AC BD uuur uuur 的取值范围（用 r 表示）. （2）若 2π 5π1 2 [ ] 3 6 AD BC ADC   ， ， ， ，求线段 BD长度的最大值． 高一数学试卷 第 5页（共 6页） 高一数学试卷 第 6页（共 6页） P A B C D M N Q 2023学年第二学期高中期末调测 高一数学参考答案 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D B A B A 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 4分，共 12分。全部选对的得 4分，部分选对的得 部分分，有选错的得 0分。 题号 9 10 11 答案 AB ACD ABD 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 4分，共 12分。 12． 1 4 13． 3 2 14．1 2 四、解答题：本大题共 5小题，共 52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分 8分） 解：（1）因为 ( 3 1)AB    uuur ， ， ……1分 所以 | | 2AB  uuur ． ……2分 设向量OA uur 与OB uuur 的夹角为 ， 则 1cos 2| || | OA OB OA OB    uur uuur uur uuur ， ……3分 因为 [0 π]  ， ，所以 π 3   ． ……4分 （2）因为 2 ( 3 4)OA tOB t t    uur uuur ， ， ……5分 又 // (2 )AB OA tOB uuur uur uuur ，所以 03)4(3  tt ， ……7分 所以 2t   ． ……8分 16．（本题满分 10分） （1）证明：如图，取 PD的中点Q，连接 AQ QN， ， 因为在 PDC△ 中，Q N， 分别为 PD PC， 的中 点，所以 //QN CD，且 1 2 QN CD ，……1分 因为在正方形 ABCD中，M分别为 AB的中点， 所以 //AM CD，且 1 2 AM CD ， ……2分 所以四边形 AMNQ是平行四边形， ……3分 则 //MN AQ，又 AQ平面 PAD，所以 //MN 平面 PAD． ……5分 （2）解：连接 PM ，因为 AD 平面PAB， PM 平面 PAB，所以 AD PM ， 又因为侧面 PAB是正三角形，M 为 AB的中点， 所以 PM AB ， 所以 PM 平面 ABCD， ……7分 所以四棱锥 P ABCD 的体积是 1 1 3 31 3 3 2 6ABCD V S PM     正方形 ． ……10分 17．（本题满分 10分） 解：（1）因为35 0.15 45 0.2 55 0.3 65 0.2 75 0.1 85 0.05 55.5            ， 所以，估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值为55.5cm . ……2分 （2）由10 0.2 0.15 0.7a    ，得 0.035a  ， 由0.05 10 0.15 0.3b   ，得 0.01b  . ……4分 设乙工厂被测零件尺寸的中位数为 x， 则 0.005 10 0.01 10 0.015 10 0.035 ( 60) 0.5x         ，解得 565 65.71 7 x   ， 所以，乙工厂被测零件尺寸的中位数为 65.71cm． ……6分 （3）因为采用分层抽样，所以，从甲工厂生产的零件中抽取尺寸在[40 50)， 内的零件 2个， 尺寸在[70 80)， 内的零件 1个，从乙工厂生产的零件中抽取尺寸在[40 50)， 内的 零件 2个，尺寸在[80 90)， 内的零件 3个， ……8分 从 8个零件中任取 2个零件的取法有 28种，两个零件的尺寸都在[40 50)， 内的 取法有 6种，所以两个零件的尺寸都在[40 50)， 内的概率为 6 3 28 14  ． ……10分 18．（本题满分 12分） （1）证明：因为四边形 ABCD是菱形，所以 BD AC ， ……1分 又因为 EAB EAD   ， AB AD ，所以 EAB EAD△ △ ，所以EB ED ． 设 AC BD GI ，连接 EG，则G为 BD的中点， BD EG ， ……2分 又 EG AC GI ，所以 BD 平面 ACE． ……3分 高一数学参考答案 第 1页（共 4页） 高一数学参考答案 第 2页（共 4页） （2）解：过点 E作EH AC ，垂足为H ， 因为 BD 平面 ACE， EH 平面 ACE，所以 BD EH ， 又 BD AC GI ， 所以EH 平面 ABCD， 所以点 E到平面 ABCD的距离 即为线段 EH 的长度． ……5分 因为DE AB ， EH AB ，所以 AB 平面EDH ，所以 AB DH ， 又因为 ABD△ 为正三角形，所以点H为 ABD△ 的中心． 延长DH 交 AB于点 I ，则 I 为 AB的中点． 因为在Rt AEI△ 中，EI AI ， 3AI  ， 3cos 4 EAB  ，所以 4AE  ， 因为 3 6 2 3 3 AH    ，所以 2 2 16 12 2EH AE AH     ． 所以点 E到平面 ABCD的距离为 2． ……7分 （3）解：过点H作 BC的平行线分别交 AB，CD于点 J ，K，则 4BJ CK  ， 因为 4EF  ， EF//AB ，所以 //EF BJ ， EF BJ ， //EF CK， EF CK ， 所以四边形 EFCK和四边形 EFBJ均为平行四边形， 所以 //EK CF， //EJ BF ，所以平面 //JKE 平面BCF ． ……8分 过点E作直线 //m JK，则平面 ADE I平面 JKE m ， 过点H 作HL AD ，垂足为 L，连接 LE． 因为HL JK ， EH JK ，所以 JK 平面 EHL，所以m 平面 EHL， 所以m LE ，m EH ， 所以 LEH 为二面角 JmA  的平面角． ……10分 因为 sin 3HL AH LAH    ， 2EH  ， 在直角三角形 LEH 中， 3tan 2 HLLEH EH    ． 因为平面 //JKE 平面 BCF， 所以，侧面 ADE 与侧面BCF 所成二面角的正切值为 3 2 ． ……12分 19．（本题满分 12分） 解：（1）（ⅰ）因为 2 2 sin sin CD ADr r CBD ABD     ， ， ……1分 所以 sin sin 2 2cos sin sin CD CBD ABD ABD AD ABD ABD         ， 又因为 3CD AD ，所以 3cos 2 ABD  ，所以 π 6 ABD  ． ……3分 （ⅱ）因为 π 6 ABD  ，所以 DAC  π2 3 CBD ABD    ， 所以 π 2 ABC  ，所以 AC 是圆O的直径．由（ⅰ）可得 3CD r ， AD r . 设 BAC   ，则 2 cosAB r  ， 所以 ( )AC BD AC AD AB AC AD AC AB        uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2π2 cos 2 2 cos cos (1 4cos ) 3 r r r r r          ， ……6分 又 π(0 ) 2   ， ，所以 2cos (0 1)  ， ， 所以 2 2( 3 )AC BD r r   uuur uuur ， ． ……7分 （2）设 ADC   ，因为 1 3AD CD ， ， 所以，由余弦定理得 2 2 2 2 cosAC AD CD AD CD ADC     1 3 2 1 3 cos 4 2 3 cos         ， ……8分 在 ABC△ 中， 4 2 3 cosAC   ， 2BC  ， πABC    ， 由余弦定理知 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC     ，代入整理得 2 4cos 2 3cos 0AB AB     ，解得 22cos 4cos 2 3 cosAB       ． 由托勒密定理知 BD AC CD AB BC AD     ，代入得 22 2 3 cos 12cos 6 3 cos 4 2 3 cos BD          ． ……10分 设 4 2 3 cos t  ， 则 2 4 2 2 2 2 5 4 2 4 5(t t tBD t t t t t           其中 [ 4 3 7])t  ， ， 设 2t m t   ，则 2 1(BD m m   其中 (5 2 3) 4 3 5 7[ ]) 13 7 m   ， ， 因为 2 1y m m   在区间 (5 2 3) 4 3 5 7[ ] 13 7   ， 上单调递增， 所以，当 5 7 7 m  ，即 6 π5 θ 时， BD取得最大值 5 7 3 14 7  ． ……12分 B C A E F G H D IJ K L m 高一数学参考答案 第 3页（共 4页） 高一数学参考答案 第 4页（共 4页）