4.5.3 函数模型的应用-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 4.5 4.5 函数的应用（二） 2 4.5 4.5.3 函数模型的应用 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.[陕西西安高新区一中2024高一期中] 如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展 和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位： ）满足函数关系 ，为常数，若该果蔬在的保鲜时间为，在的保鲜时间为 ，那么在 时，该果蔬的保鲜时间为( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数模型 5 解析 由题得, , 所以时,,此时 .故选D. 题型1 指数函数模型 6 高中必刷题 主讲老师 2.[重庆一中2024高一期中] 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁给 了“阿秒光脉冲”，光速约为，1阿秒等于.现有一条 的线段，第一次截 去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，若要使其长度小于光在1阿秒内走的距离，则需 要截（参考数据：, ）( ) B A.30次 B.31次 C.32次 D.33次 题型1 指数函数模型 8 解析 根据已知可得,光在1阿秒内走的距离为 . 设截次后,剩余的长度为（单位:）,则 . 令,可得 , 结合函数 的单调性,两边同时取对数可得 , 所以 .所以应当截31次.故选B. 题型1 指数函数模型 9 高中必刷题 主讲老师 3.[广西南宁2023检测] 生物体死亡后，它的机体内原有的碳14含量 会按确定的比率衰减 （称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为为常数 ，大约每经过5 730年衰 减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始 量的 ，则可推断该文物属于( ) 参考数据： ； 参考时间轴： C A.战国 B.汉 C.唐 D.宋 题型1 指数函数模型 11 解析 当时,,故,解得,所以 . 由题意得,,解得 , 而 ,则可推断该文物属于唐.故选C. 题型1 指数函数模型 12 高中必刷题 主讲老师 4.[江苏连云港2023高一月考] 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初 始温度是，经过一定时间（单位：）后的温度是，则，其中 称 为环境温度，为常数.现有一杯用的热水冲的速溶咖啡，放在 的房间中，如果咖啡降 到需要，那么这杯咖啡要从降到，还需要____ . 16 题型1 指数函数模型 14 解析 由题意知.令,,得,解得 . 令,,则,解得 . 题型1 指数函数模型 15 高中必刷题 主讲老师 5.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的数量 （只）与引入时间（年）的关系为 .若该动物在引入一年后的数量为100，则 在引入7年后，它们的数量为( ) A A.300 B.400 C.600 D.700 题型2 对数函数模型 17 解析 将,代入 中, 得,解得 , 则,所以当 时, .故选A. 题型2 对数函数模型 18 高中必刷题 主讲老师 6.[河南安阳一中2024高一段考] 中国的技术领先世界， 技术的数学原理之一便是著名的香 农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 取决于信道带宽 、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比 较大时，公式的真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，由于技术提升，信道带宽 在原来的基 础上增加，信噪比从1 000提升至，则 大约增加了( ) （参考数据： ） C A. B. C. D. 题型2 对数函数模型 20 解析 由题意可知,C大约增加了 . 故选C. 题型2 对数函数模型 21 高中必刷题 主讲老师 7.（多选）[江苏南通2024高一质量检测] 研究表明，地震时释放的能量（单位： ）与地震里氏 震级之间的关系为 ，则( ) BD A.震级为2级的地震释放的能量为 B.释放能量为 的地震震级为3级 C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍 D.释放能量之比为 的两场地震的震级相差2级 题型2 对数函数模型 23 解析 对于A,当时,,解得 ,A错误； 对于B,当时,,解得 ,B正确； 对于C,令9级地震释放的能量为,8级地震释放的能量为 , 则,于是 ,C错误；对于 D,设释放的能量为,对应的震级为,释放的能量为,对应的震级为 , 则 ,且,两式相减得,解得 , D正确.故选 . 题型2 对数函数模型 24 高中必刷题 主讲老师 8.[北京陈经纶中学2024高一期中] 某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间 进 行一次记录，用表示经过的单位时间数，用 表示病毒感染人数，得到的观测数据如表： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：；.若经过 个 单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（参考数据： ， ，， ）( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 题型3 函数模型的选择 26 解析 若选,将和代入得 解得所以,代入有 ,不合题意. 若选,将和代入得 解得所以.代入有 ,符合题意. 依题意可令 , 即 , 则,又, , 所以,又 , 所以 的最小值为11.故选C. 题型3 函数模型的选择 27 归纳总结（1）当描述增长速度变化很快的情况时,选用指数函数模型. （2）幂函数模型可以描述增长速度不同的变化情况,当值较小 时,增长较慢； 当值较大 时,增长较快. 题型3 函数模型的选择 28 高中必刷题 主讲老师 9.[广东佛山2023高一期末] 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时 间有60分钟，现需要制订一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间 （单位：分）的函数关系.要求及图示如下：（1）函数是区间 上的增函数；（2）每天运动 时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天 最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择：， ， . 题型3 函数模型的选择 30 （1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式； （2）若每天得分不少于4.5分，则至少需要锻炼多少分钟.（注： ，结果保留整数） 题型3 函数模型的选择 31 【解】对于模型,当满足同时过点,时,,,即 ,当 时, ,不合题意； 由题图可知,该函数的增长速度较慢,对于模型 ,是指数型的函数,其增长 是“爆炸型”增长,故②不合题意； 对于模型 ,对数型的函数增长速度较慢,符合题意,故选择模型③. 又所求函数的图象过点,,则 解得, , 故所求函数为,经检验,当时, ,符合题意. 综上所述,函数的解析式为 . 题型3 函数模型的选择 32 [答案] 每天得分不少于4.5分, , 即 , ,即, 至少需要锻炼37分钟. 题型3 函数模型的选择 33 易错点 错用函数模型而致错 主讲老师 10.某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为 ，试解答下面的问题： （1）写出年后该城市的人口总数（万）与年数 （年）的函数关系式； 【解】1年后该城市人口总数为 ； 2年后该城市人口总数为 ； 3年后该城市人口总数为；……； 年后该城市人口总数为 , . （2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万）； （3）计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万（精确到1年）. 易错点 错用函数模型而致错 35 [答案] 10年后该城市人口总数为 （万）. [答案] 令,则有,解方程可得 . 故大约16年后该城市人口总数将达到120万. 易错点 错用函数模型而致错 36 易错警示 应用题中的增长率问题,一般是应用指数型函数,不要只考虑增长而使用了其他的函数模型. 易错点 错用函数模型而致错 37 4.5 4.5.3 函数模型的应用 刷提升 38 高中必刷题 主讲老师 1.据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量与价格 之间的关系最可能是下图中的 ( ) C A. B. C. D. 40 解析 设销售收入为, 销售收入不变,（定值）, .故选C. 41 高中必刷题 主讲老师 2.[河北保定2023高一月考] “红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆 生长时间（月）与枝数（枝）的散点图（直角坐标系中作出 对应的 点），那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是( ) A A.指数函数 B.对数函数 C.幂函数 D.二次函数 43 解析 通过图象上点可以发现,在第一象限从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,图象上 的点大致都在函数 的图象上,所以指数函数最符合. 44 高中必刷题 主讲老师 3.据统计，第年某湿地公园越冬的白鹭数量（只）近似满足 ，观测发现第2年 有越冬白鹭1 000只，估计第5年有越冬白鹭 ( ) B A.1 530只 B.1 630只 C.1 830只 D.1 930只 46 解析 第年某湿地公园越冬的白鹭数量（只）近似满足,时, , ,解得 . 当时, . 故选B. 47 高中必刷题 主讲老师 4.[广东深圳中学2024月考] 为了贯彻落实《中共中央、国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意 见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐 渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废 水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函 数模型，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有的污 染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量， 为改良工艺的次数.假设废 水中含有的污染物数量不超过 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标 准，则至少需要改良工艺（参考数据：， ）( ) B A.15次 B.16次 C.17次 D.18次 49 解析 由题意知, , 当时,,故, , 故 , 由得,即 , 则,而,故 , 故若该企业排放的废水符合排放标准,则至少需要改良工艺16次,故选B. 50 高中必刷题 主讲老师 5.[云南玉溪2023高一质量检测] 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残 留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫克/升） 与过滤时间（单位：时）之间的函数关系为，其中是自然对数的底数， 为常数， 为原污染物总量.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了，则 ______；要能够按规定 排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为____.（参考数据： ） 19 52 解析 当时,,解得 . ,即 ,解得 . 53 高中必刷题 主讲老师 6.[宁夏银川一中2024高一期末] 为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化某条 河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓 延速度越来越快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为 ，2023年3月底测得蒲草覆盖面积为 ，蒲草覆盖面积（单位：）与月份 （单位：月）的关系有两个函数模型 与 可供选择. （1）分别求出两个函数模型的解析式. （2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为 ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型， 说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到 ？（参考数据： ， ）. 55 【解】若选择模型 , 则解得, , 故函数模型为 . 若选择模型 , 则解得, , 故函数模型为 . 56 [答案] 把代入,可得 , 把代入,可得 ,因为26.4与20相差比较大, 故选择模型 更合适. 令,可得 , 两边取对数可得 , 即 , 所以,至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到 . 57 $$