4.5.1 函数的零点与方程的解-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 4.5 4.5 函数的应用（二） 2 4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.[福建三明一中2024高一期中] 函数 的零点为( ) C A. B. C.0 D.1 解析 令,解得 ,故选C. 题型1 函数的零点 5 归纳总结 函数零点的求解与判断方法 （1）直接求零点：令 ,如果能求出方程的解,则有几个解就有几个零点. （2）函数零点存在定理：利用零点存在定理时不仅要求函数在区间 上的图象是连续不断的 曲线且 ,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少 个零点. （3）利用图象交点的个数：将函数解析式（方程）作移项等变形,转化为两函数图象的交 点问题, 其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个零点. 题型1 函数的零点 6 高中必刷题 主讲老师 2.（多选）下列图象表示的函数中有两个零点的有( ) CD A. B. C. D. 解析 函数有两个零点就是函数图象与轴有两个交点,故选 . 题型1 函数的零点 8 高中必刷题 主讲老师 3.[浙江温州部分学校2024高一期中联考] 若不等式的解集为 ， 则函数 的零点为( ) D A.和 B.和 C.2和 D. 和3 题型1 函数的零点 10 解析 因为的解集为 , 所以方程的两根分别为和2,且 , 则解得 故函数,即,即 , 则其图象与轴的交点的坐标为和,所以零点为 和3.故选D. 题型1 函数的零点 11 高中必刷题 主讲老师 4.[江西上饶第一中学 2023高一月考] 函数 的零点个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 函数的零点 13 解析 当时,,则函数在时的零点个数为函数 与函 数, 的交点个数,作出两个函数的图象如图所示. 由图可知,当时,函数 的零点有2个. 当时,由可得或 （舍去）, 即当时,函数 的零点有1个. 综上,函数 的零点有3个.故选C. 题型1 函数的零点 14 高中必刷题 主讲老师 5.函数 的零点是___. 9 解析 由题意可知的定义域为,令,可得 ,解 得（舍去）或, . 题型1 函数的零点 16 高中必刷题 主讲老师 6.已知 . （1）求 的零点； 【解】由题设,,且定义域为 , 所以令,即,解得,则的零点为 . （2）若关于的方程 有解，求实数 的取值范围. [答案] 由（1）及题设知在上有解,且 ,所以 ,当且仅当 时等号成立, 所以实数的取值范围为 . 题型1 函数的零点 18 特别注意 解决函数问题时,要注意定义域优先.函数 的定义域是 解不等式组而不是解化简后的不等式 . 题型1 函数的零点 19 高中必刷题 主讲老师 7.已知函数 的图象是连续不断的，有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 123.56 21.45 11.45 则函数在区间 上的零点至少有( ) B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型2 函数零点存在定理 21 解析 因为函数的图象是连续不断的,且,,所以由零点存在定理得 内 至少存在1个零点.因为,,所以由零点存在定理得 内至少存在1个零点. 因为,,所以由零点存在定理得 内至少存在1个零点. 综上,函数在区间 上的零点至少有3个.故选B. 题型2 函数零点存在定理 22 规律方法 判断零点是否存在需要先知道函数的图象是不是连续不断的,然后通过口诀“零点总在 异号间”判断某区间的零点. 题型2 函数零点存在定理 23 高中必刷题 主讲老师 8.[河南开封五县2024高一期中联考] 若是方程的实数解，则 属于区间( ) C A. B. C. D. 题型2 函数零点存在定理 25 解析 令,则在定义域 上单调递增, 又, , , , 所以 , 所以在上存在唯一零点,即存在使得 .故选C. 题型2 函数零点存在定理 26 高中必刷题 主讲老师 9.（多选）[河北张家口2024高一月考] 若二次函数的一个零点恰落在 内， 则实数 的值可以是( ) BC A. B. C. D.1 题型3 函数零点的应用 28 解析 令,则 , 函数在 时单调递增, 所以当时,,B,C满足.故选 . 题型3 函数零点的应用 29 高中必刷题 主讲老师 10.已知三个函数，，的零点依次为，， ， 则 ( ) C A.6 B.5 C.4 D.3 题型3 函数零点的应用 31 解析 令,,则,,即, 分别 为直线与函数,图象交点的横坐标.因为, 互为反函数,其 图象关于直线对称,而直线与垂直,交点坐标为,所以 .又由 得,所以 .故选C. 题型3 函数零点的应用 32 高中必刷题 主讲老师 11.已知函数的定义域为，是奇函数，且当 时， .若函数的零点恰有两个，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 函数零点的应用 34 解析 因为是奇函数,所以也是奇函数,所以要使函数 的零点恰 有两个,则只需要当时,函数 的零点恰有一个即可. 由,,得 . 若,即,解得 ,零点为1； 若,要使当时,函数只有一个零点,则,所以此时解得 . 综上可得,或 .故选D. 题型3 函数零点的应用 35 归纳总结 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 题型3 函数零点的应用 36 高中必刷题 主讲老师 12.[辽宁沈阳实验中学2024高一期中] 已知函数的定义域为 ，且 为奇函数，当时，，则 的所有零点之和为( ) A A. B. C. D.0 题型3 函数零点的应用 38 解析 因为为奇函数,所以的图象关于点 对称, 则的图象关于点 对称, 即 , 当时, , 当时, , 则 , 所以 则 令 , 则或 解得或,所以 .故选A. 题型3 函数零点的应用 39 高中必刷题 主讲老师 13.（多选）已知实数，是函数 的两个零点，则下列结论正确的 是( ) BD A. B. C. D. 题型3 函数零点的应用 41 解析 令,则,分别作函数 与 的图象,如图所示. 不妨设,则由图可得 ,所以 成立,故D正确. 因为 ,所以 . 又因为,,所以,即 , ,所以,故A,C错误,B正确.故选 . 题型3 函数零点的应用 42 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 主讲老师 14.已知函数，则 的零点为( ) B A.1和 B.和 C.和 D.和 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 44 解析 对于函数,令,即,解得或 ,所以 的零点为和 .故选B. 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 45 易错警示 函数的零点不是一个点的坐标,而是函数解析式对应方程的根（或函数图象与 轴交点的 横坐标）,因此本题应选B而不是选C. 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 46 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 主讲老师 15.对于函数，若 ，则( ) D A.函数在区间上一定有零点 B.函数在区间 上一定无零点 C.函数在区间上一定有两个零点 D.函数在区间 上可能无零点 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 48 解析 若函数的图象不连续,则函数在区间上可能无零点,比如,当 时, ,该函数不存在零点. 所以A,B,C都不正确,只有D正确.故选D. 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 49 易错警示 端点函数值异号,只是一个条件,还要注意零点存在定理成立的另一个条件,即函数在闭区 间上的图象是一条连续不断的曲线. 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 50 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 主讲老师 16.（多选）[黑龙江哈尔滨一中2024高一质量检测] 若函数的图象在 上连续不断，且满足 ，， ，则下列说法错误的是( ) ABD A.在区间上一定有零点，在区间 上一定没有零点 B.在区间上一定没有零点，在区间 上一定有零点 C.在区间上一定有零点，在区间 上可能有零点 D.在区间上可能有零点，在区间 上一定有零点 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 52 解析 因为函数的图象在上连续不断,且满足,,则 ,根据函数零 点存在定理可知,函数在区间 上一定有零点, 因为,因此无法判断在区间 上是否有零点,所以只有C判断正确,其他都不正确. 故选 . 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 53 易错警示 函数在区间上的图象是连续的,且,则函数在区间 上肯定 有零点,但具体有几个,则由函数单调性决定. 易错点2 忽视函数零点存在定理的条件而致错 54 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 主讲老师 17.已知函数，“函数在上有两个不相等的零点”是“ ”的 ( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 56 解析 ①当时,在 上无零点; ②当时,若函数在上有两个不相等的零点,则解得 ; ③当时,若函数在上有两个不相等的零点,则 无解. 综上所述,在上有两个不相等的零点时,. , “函数在 上有两个不相等的零点”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 57 易错警示 若二次项系数含参数,首先要讨论二次项系数是否为0,确定了二次项系数,才能确定方程 的次数,从而确定对应的解法. 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 58 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 主讲老师 18.[山西部分学校2024高一联考] 已知函数恰有3个零点，则 的取 值范围为_____________. 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 60 解析 当时,令,得 , 因为函数与函数的图象在 上有2个公共点, 所以在上有2个零点,所以在 上只有1个零点. 当时,在上有唯一零点 ,符合题意； 当时,的图象的对称轴为直线,对称轴在轴右侧, 的图象开口 向下,且 , 则在上有唯一零点,符合题意；当时, 的图象的对称轴为直线 ,对称轴在轴左侧, 的图象开口向上,,则,解得 . 所以 的取值范围为 . 易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错 61 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 主讲老师 19.已知函数.若有且仅有一个零点，则实数 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 63 解析 画出 的大致图象如图所示. 有且仅有一个零点等价于方程有且仅有一个解,结合的图象与 的图 象可知,当,即时,的图象与 的图象有唯一的交点.故选B. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 64 易错警示 解题关键是利用已知条件数形结合求参数,正确地转化并画出函数的图象来求解. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 65 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 主讲老师 20.[湖南名校联考联合体2023高一月考] 已知函数 若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 67 思路导引 根据给定条件,先尝试画出函数的图象.再令 ,则转化为 关于有两个零点,其中一个零点满足只有一根,且 ；而另一零 点满足有两根,且 ,从而满足题意,再根据二次函数零点分布的规律和函数零点存 在定理求出实数 的取值范围. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 68 解析 当时,函数在上单调递增, . 当时,函数,当且仅当 时取等号,函数 的大致图象如图所示. 令,观察图象知,当时,方程有一个根,当 时,方程 有两个不等根. 函数有三个零点,等价于函数有两个零点, , 并满足,,而函数 图象的对 称轴为直线,于是得解得,所以实数 的取 值范围为 .故选D. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 69 易错警示 对分段函数 的函数值分布、零点分布情况,可以尝试画出图象,借助图象分析,掌 握好作为一个基本元,分析出符合题意的取值,并会区分和 之间的联系与 区别,从而求出参数 的取值范围. 易错点4 不能正确使用等价转化而致错 70 易错点5 不能正确理解题意而致错 主讲老师 21.（多选）[江苏泰州中学2024高一期中] 已知函数,，若存在 ，使得 ，则称为函数 的不动点.下列函数中，有且只有一个不动点的函数为 ( ) ABC A. B. C. D. 易错点5 不能正确理解题意而致错 72 解析 对于A:令,,, ,只有一个不动点, A正确； 对于B:令 , , , ,, ,只有一个不动点,B正确； 对于C:令,,显然, ,如图所示结合 函数与 的图象只有一个交点,得只有一个不动点,C正确； 对于D:令,,,有两个不动点,D错误.故选 . 易错点5 不能正确理解题意而致错 73 易错警示 求解本题的关键是正确理解“不动点”的概念,再分别代入每个函数中计算. 易错点5 不能正确理解题意而致错 4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解 刷提升 75 高中必刷题 主讲老师 1.[广东深圳中学2024高一期中] 函数 的零点位于区间( ) B A. B. C. D. 77 解析 因为函数与在 上均单调递增, 所以在 上为增函数. 因为, , 所以函数的零点位于区间 内.故选B. 78 高中必刷题 主讲老师 2.借助信息技术画出函数（为实数）的图象，当 时图象如图所 示，则函数 的零点个数为( ) B A.3 B.2 C.1 D.0 80 解析 令,则,所以函数 的零点个数 即为与的图象交点个数,在题图的基础上作出函数 的图象,如图所示. 结合图象可知与的图象有2个交点,所以函数 有2个零点. 故选B. 81 高中必刷题 主讲老师 3.设是函数的零点.若，则 的值满足( ) C A. B. C. D. 的符号不确定 83 解析 函数和在上均单调递增, 在 上单调递增.又是函数的零点,, 当 时, .故选C. 84 高中必刷题 主讲老师 4.[北京北师大附中2024高一期中] 已知函数有三个零点，则实数 的取值范围 为( ) A A. B. C. D. 86 解析 令,得,显然有且且 , 于是有 设 其图象如图所示. 因此要想函数有三个零点,只需,即 ,故选A. 87 高中必刷题 主讲老师 5.[重庆部分学校2024高一期末] 设函数 ，满足 ，若存在零点 ，则下列选项中一定错误的是( ) B A. B. C. D. 89 解析 因为,在 上单调递增, 所以在 上为增函数, 又,所以 , 又 , 所以,,或,, . 当,, 时, 由存在零点,可知,且 ,此时A,C选项正确,B,D选项错误； 当,, 时, 由存在零点,可知 ,此时A,B,C选项错误,D选项正确. 综上,选项中一定错误的是B选项,故选B. 90 高中必刷题 主讲老师 6.[江苏南京师范大学附属中学2023高一阶段性测试] 设 是不为0的实数，已知函数 若函数有7个零点，则 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 92 解析 的图象如图所示. 由得或 . 当时, 有3个零点； 当时,,即与 的图象有4个交点,所以 ,解得 .故选C. 93 规律方法 由复合函数的零点个数求参数取值范围的关键是将内层函数换元,通过内层函数和外层函 数的对应关系求参数.当外层函数为二次函数时,若外层函数能分解因式,则由外层函数每个根的零点 个数求参数的取值范围；若外层函数不能分解因式,则由根的分布结合函数图象求参数的取值范围. 94 高中必刷题 主讲老师 7.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足 .若关于 的方程有唯一的实数解，则实数 的值为( ) C A. B. C.1 D. 96 解析 ,分别是定义在 上的偶函数和奇函数, , . 又 ,① .② 得 , . 令 . , 为偶函数, 当且仅当时, , ,解得 .故选C. 97 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）[辽宁名校联盟2024高一联考] 已知，分别为函数 与 的零点，则下列关系式正确的是( ) BCD A. B. C. D. 99 解析 对选项A：,函数在上单调递减, , ,故 ,A错误； 对选项B：,函数在 上单调递增, ,,故 ,B正确； 对选项C：令,即 , 令,即 , 100 和的图象关于直线对称,的图象关于直线 对称, 故点和关于直线对称,所以,即 ,C正确； 对选项D：,,,故,即 , 等号成立的条件为,此条件不成立,故,D正确.故选 . 101 高中必刷题 主讲老师 9.（多选）已知是定义在上的偶函数，当 时， 则下列说法正确的是( ) BD A.函数在上单调递增 B.函数 有两个零点 C.不等式的解集为 D.方程 有6个不相等的实数根 103 解析 由题意,函数 的图象如图所示. 对于A,在 上单调递减,A错误. 对于B,令,即,解得, 只有2个零点,B正确. 对于C,由图可令,即,所以或 , 解得或,结合的图象可得不等式 的解集为 ,C错误. 对于D,,即 ,且 ,解得 .若 ,即,解得或;若,即,解得 ,D正确. 故选 . 104 高中必刷题 主讲老师 10.（多选）[山西晋城2023高一月考] 已知函数方程 有四个实根 ，，， 且数值依次递增，则下列结论正确的是( ) ACD A. B. C. D. 106 解析 如图,作出函数的图象,可知当时,函数 的图象与直线 有四个交点,即方程有四个实根,且, , , . 对于A,因为,是方程的两根,即, 是方程 的两根,所以 ,故A正确. 对于B,由A知,,,所以,所以 ,故B错误. 107 对于C,因为,,所以,.又,是方程 的两个解,所以 ,即,所以,所以 ,故C 正确. 对于D,由可得,,即,所以.由C知, . 令,,因为在上单调递减,所以有 .所以 ,故D正确.故选 . 108 高中必刷题 主讲老师 11.[湖南长沙明德中学2024高一月考] 已知函数在区间 上有两个 零点，则实数 的取值范围是______. 110 解析 函数在区间 上有两个零点, 即在区间 上有两个不同的解, 即在区间 上有两个不同的解, 转化成与的图象在区间 上有两个不同的交点, 结合对勾函数的性质可知在上单调递减,在 上单调递增, 且,,,所以,解得 . 111 高中必刷题 主讲老师 12.已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当 时， ，则函数 的零点个数是___. 2 113 解析 由可得的图象关于直线 对称. 由函数是定义在上的奇函数,所以 ,所 以 的一个周期为4. 函数的零点即为方程 的解,即为函数 和的图象交点的横坐标.如图,根据 的性质可得函数 图象,结合 的图象,由图象可得共有2个交点,故共有2个零点. 114 高中必刷题 主讲老师 13.已知函数 . （1）若，判断函数 的零点个数； 【解】,, . , . 当时,,函数 有一个零点； 当时,,函数 有两个零点. （2）若对任意实数，函数恒有两个零点，求实数 的取值范围； （3）已知,且，，求证：方程 在区间 上有实数根. 116 【解】已知,则对于恒成立,即 恒成立, ,解得 . 故实数的取值范围为 . 【证明】设 ,则 , . , , 在区间上有实数根, 即方程在区间 上有实数根. 117 高中必刷题 主讲老师 14.[安徽阜阳2024高一月考] 已知函数 是偶函数. （1）求实数 的值； 【解】因为函数是偶函数,所以 , 即 , 所以 , 即,所以,得 . 经检验当时,函数 是偶函数. （2）函数且，函数 有2个零点，求 实数 的取值范围. 119 [答案] 函数 有2个零点, 即关于的方程 有2个不相等的实数根, 化简上述方程得,即 , 所以 , 所以 . 令,得关于的方程 . 记,且 , 120 ①当时,函数的图象开口向上,图象恒过点 ,方程（*）只有1个正实根,不符合题意. ②当时,函数的图象开口向下,图象恒过点 , 因为 ,要满足题意,则方程（*）应有2个不相等的正实根,即 ,解得或,又,所以. 综上, 的取值范 围是 . 121 高中必刷题 主讲老师 15.[四川成都石室中学2024高一期中] 已知函数，且的图象过定点 ， 且点在函数 的图象上. （1）求函数 的解析式； 【解】因为函数,且的图象过定点 , 所以函数的图象过点,即,解得 , 所以函数的解析式为 . （2）若定义在上的函数恰有一个零点，求实数 的取值范围. 123 [答案] 因为函数,即的定义域是 , 所以在上恒成立,可得 . 令,得 . 设 , 函数在上恰有一个零点,等价于在 上恰有一个零点, 124 函数的图象开口向上,对称轴为直线 , 若 无解,不成立； 若,解得 ,满足题意； 若 无解,不成立； 若解得 ,满足题意. 所以实数的取值范围为 . 125 高中必刷题 主讲老师 16.[复旦大学2022强基计划] 已知若 有四个实数解 ,,,，且满足 ，则( ) D A. B. C. D. 127 解析 画出函数 的图象如图所示. 由图可得 , ,,即 . 由图可得,且, .故选D. 128 高中必刷题 主讲老师 17.（多选）[2023THUSSAT中学生标准学术能力测试] 已知, ，若方程 有四个不同的根，则满足上述条件的 的可能的值为 ( ) AB A. B. C. D.1 130 解析 因为, , 令,即,解得或 , 此时由可得 , 即 ； 令,得 , 此时由可得 , 即 . 令 则 有四个不同的根, 即与 的图象有四个交点, 131 又的图象过定点,画出 的图象如图所示, 结合图象可知, 当直线过点或点时与 的图象都有三个交点, 此时, , 所以直线的斜率的取值范围为 , 即 , 所以满足条件的的值为,,故选 . 132 $$