4.4.1 对数函数的概念&4.4.2对数函数的图象和性质-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 4.4 4.4 对数函数 2 4.4 4.4.1 对数函数的概念+4.4.2对数函数的图象和性质 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.给出下列函数：；；； .其中是对数 函数的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 对数函数的概念 5 解析 ①不是对数函数，因为自变量在对数的底数的位置； ②不是对数函数,因为对数的真数不是仅有自变量 ； ③不是对数函数,因为对数的底数不是常数； ④是对数函数.故选A. 题型1 对数函数的概念 6 高中必刷题 主讲老师 2.已知函数 则 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 对数函数的概念 8 解析 由题意所以 ,故 .故选B. 题型1 对数函数的概念 9 高中必刷题 主讲老师 3.[辽宁辽河2024高一期末] 若对数函数的图象过点，则 ____. 题型1 对数函数的概念 11 解析 设对数函数,且.因为函数图象过点 , 所以,得 , 所以 . 题型1 对数函数的概念 12 高中必刷题 主讲老师 4.[福建厦门2023高一期中] 已知点在函数 的图象上，则下列各点也在该函数图象 上的是( ) A A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 14 解析 点在函数的图象上, . 当时,, 点 也在该函数的图象上,故A符合题意； 当时, ,故B不符合题意； 当时, ,故C不符合题意； 当时, ,故D不符合题意.故选A. 题型2 对数函数的图象 15 高中必刷题 主讲老师 5.[广东广州2024高一期中] 在同一平面直角坐标系中，函数， 且 的图象可能是( ) A A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 17 归纳总结 底数和对数函数且 单调性的关系 （1）当时,对数函数为增函数； （2）当时,对数函数 为减函数. 题型2 对数函数的图象 解析 对于A,B,若图象正确,则,所以单调递减,又当 时, ,故A正确,B错误； 对于C,D,若图象正确,则,所以 单调递增,故C,D错误.故选A. 题型2 对数函数的图象 19 高中必刷题 主讲老师 6.函数,,,的图象如图所示，则,,, 的大小顺序是( ) A A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 21 规律方法 对数函数且底数的大小决定了图象相对位置的高低,不论是 还是 ,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数都逐渐变大. 题型2 对数函数的图象 22 解析 在题图中作出直线,则,,,,解得 , ,,,由图可知,即 ,故选A. 题型2 对数函数的图象 23 高中必刷题 主讲老师 7.[湖南师大附中2024高一期中] 函数且 的图象恒过定点 .若对任意正数，都有，则 的最小值是( ) D A.2 B. C.1 D. 题型2 对数函数的图象 25 解析 对于函数且 , 令,可得,且,所以,即, . 对任意的正数,都有,即,则 , 所以 ， 当且仅当即 时,等号成立. 所以的最小值是 .故选D. 题型2 对数函数的图象 26 高中必刷题 主讲老师 8. 函数 的定义域为( ) A A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 28 链接教材 此题目由教材第140页第1题拓展而来,求对数型函数的定义域时,需要注意底数大于0且 不等于1,若有根号、分母还需要注意根号里的数大于或等于0、分母不等于0等. 题型3 对数函数的性质 29 解析 由得解得,所以函数 的定义 域为 ,故选A. 题型3 对数函数的性质 30 高中必刷题 主讲老师 9.[浙江杭州重点中学2024高一期中联考] 函数 的值域为( ) C A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 32 解析 , 设,则 , 故函数的值域为 .故选C. 题型3 对数函数的性质 33 高中必刷题 主讲老师 10.已知函数，且在区间上的最大值为4，则 的值为( ) D A. B.2 C. D.2或 题型3 对数函数的性质 35 解析 当时,,所以；当 时, ,所以 .故选D. 题型3 对数函数的性质 36 高中必刷题 主讲老师 11.[黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2023高一期中] 函数 的单调递增区间为 ( ) D A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 38 归纳总结 利用复合函数的单调性求形如 的函数的单调区间： （1）若,则函数的单调递增（减）区间即为函数 的单调递增（减）区间或 其子集； （2）若,则函数的单调递增（减）区间即为函数 的单调递减（增）区 间或其子集. 注：复合函数的单调性满足“同增异减”,且复合函数的单调区间一定是其定义域的 子集. 题型3 对数函数的性质 39 解析 由得,解得, 的图 象开口向下,对称轴为直线,函数在 上单调递减,根据复合函数单调性“同 增异减”的规律可知的单调递增区间为 .故选D. 题型3 对数函数的性质 40 高中必刷题 主讲老师 12.[安徽阜阳一中2024高一竞赛] 已知函数且在 上单调递增，则实数 的取值范围为_______________. 题型3 对数函数的性质 42 解析 设函数 . 当时,函数在上单调递增,则在 上单调递增, 由解得 ； 当时,函数在上单调递减,则在 上单调递减, 由解得 . 综上,实数的取值范围为 . 题型3 对数函数的性质 43 高中必刷题 主讲老师 13.（1）若的定义域为，则实数 的取值范围为______； 解析 定义域为即真数恒大于0,则或解得 . （2）若函数的值域为，则实数 的取值范围为______. 解析 值域为即真数能取遍,故或解得 . 题型3 对数函数的性质 45 规律方法 对于,定义域为,意味着在上恒成立；值域为,意味着 的 值域能取到里的所有数,再根据 的图象及性质求解即可. 题型3 对数函数的性质 46 高中必刷题 主讲老师 14.[广东深圳南山外国语学校2024高一期中] 已知函数,且，若对 , ，都有，则实数 的取值范围为_______________. 题型3 对数函数的性质 48 解析 当时,在 上单调递增, 因为对,,都有,所以,所以 ,所以 ,解得 ； 当时,在 上单调递减, 因为对,,都有,所以,所以 ,所以 ,解得. 综上,实数的取值范围为 . 题型3 对数函数的性质 49 高中必刷题 主讲老师 15.[湖北荆州2023高一期末] 已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，函数 是奇函数，且当时，，则 ( ) D A. B.4 C. D.5 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 51 名师点拨 同底的指数函数与对数函数互为反函数,互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 解析 由于函数的图象与函数的图象关于直线对称,则,所以当 时,,则.又为奇函数,则 .故选D. 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 53 高中必刷题 主讲老师 16.若函数与互为反函数，则 的单调递减区间是( ) D A. B. C. D. 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 55 解析 因为同底的指数函数和对数函数互为反函数,所以,故在 上单 调递增,所以解得,所以的单调递减区间是 ,故选D. 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 56 高中必刷题 主讲老师 17.[辽宁部分高中2024高一期末] 函数且 的反函数的图象恒过定点______. 解析 对于函数且,令,即,所以 ,即函数 且恒过定点 , 所以函数且的反函数恒过定点 . 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 58 高中必刷题 主讲老师 18.[浙江绍兴一中2024高一期中] 已知函数的反函数为，且有 . 若，，则 的最小值为__. 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 60 解析 由题得函数的反函数 . ,,即,则 , 又,,则, , , 当且仅当, 时取等号, 故的最小值为 . 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 61 易错点1 忽略对底数的讨论（导致单调性的不同）而致错 主讲老师 19.若，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略对底数的讨论（导致单调性的不同）而致错 63 易错警示 底数的范围不同决定了函数的单调性不同,所以一定要对底数进行讨论. 易错点1 忽略对底数的讨论（导致单调性的不同）而致错 解析 当时,,解得,所以此时的取值范围为 ; 当时,,解得,所以此时的取值范围为 . 综上,实数的取值范围是 .故选D. 易错点1 忽略对底数的讨论（导致单调性的不同）而致错 65 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 主讲老师 20.[河南郑州外国语学校2023高一期中] 若函数在区间 内 单调递增，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 67 易错警示 本题考查了复合函数单调性的相关知识,同时也考查了对数函数定义域的要求,而同学们 在做题时常常丢掉定义域的限制条件,属于易错题型.考虑复合函数的单调性需遵循“同增异减” 原则,即内层函数和外层函数单调性相同时,复合函数才会单调递增, 作为对数函数的底数,所以有 ,所以内层函数单调递减,则外层函数需单调递减,还需保证真数在定义域上恒大于0,即保证真 数部分最小值大于0即可. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 68 解析 设,因为,,所以在上单调递减,而 在 区间内单调递增,故为减函数,故.又在上满足 恒成立, 故,故 ,故选B. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 69 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 主讲老师 21.[辽宁省实验中学等五校2024高一期末] 已知函数，若 在区间 内单调递减，则实数 的取值范围是______. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 71 易错警示 求解含参数的与对数函数有关的复合函数问题时,参数不但要结合复合函数单调性的性 质列出不等式求取值范围,还要满足对数的真数在所给的单调区间上大于0这一条件. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 72 解析 因为函数在区间内单调递减,设 , 所以在区间上单调递减,且在区间 上恒成立. 当时, ,满足题意； 当时,,其图象开口向下,则在区间 上不是单调递减的,不满足 题意； 当时, , 所以解得 . 综上可得 . 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 73 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 主讲老师 22.已知函数满足时恒有成立，那么实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 75 易错警示 分段函数单调性的一致性,要求端点值的大小关系也是确定的. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 解析 因为函数满足时恒有 成立,所以函数 在上单调递增,所以 解得 .故选D. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 77 4.4 4.4.1 对数函数的概念+4.4.2对数函数的图象和性质 刷提升 78 高中必刷题 主讲老师 1.[福建福州四校2024高一期末联考] 函数 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 80 解析 恒成立,排除C,D； 的定义域为 ,排除A.故选B. 81 高中必刷题 主讲老师 2.函数 的最小值为( ) B A. B.3 C.4 D. 83 解析 , 当且仅当,即时取等号,故函数 的最小值为3,故选B. 84 高中必刷题 主讲老师 3.[重庆八中2024高一月考] 已知函数，则 的定义域为 ( ) A A. B. C. D. 86 解析 由题得则,得,的定义域为 , 的定义域为 .故选A. 87 高中必刷题 主讲老师 4.[辽宁省实验中学2024高一月考] 已知,,，则,, 的大小关系为 ( ) C A. B. C. D. 89 规律方法 对数式比较大小的常见类型及解决方法 常见类型 解决方法 底数为同一常数（的幂次） 可由对数函数的单调性直接进行比较 底数不同,真数为同一常数 （的幂次） 方法一：可以先用换底公式化为同底后,再进行比较； 方法二：借助对数函数图象高低进行比较 底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 90 解析 ； ； . 故 .故选C. 91 高中必刷题 主讲老师 5.且在上为增函数，若的图象与的图象关于直线 对称， 则 的单调递增区间为( ) B A. B. C. D. 93 解析 由在上单调递增,得.由对称性知,,所以在 上单调递增. 设,,解得或,显然函数 在 上单调递减,在上单调递增,所以函数 的单调递增区间为 .故选B. 94 高中必刷题 主讲老师 6.[四川成都2024高一期中] 若 ，则( ) D A. B. C. D. 96 解析 ,即 . 设,则函数在 上单调递增, ,即,故 ； ,即,故 . 综上所述, .故选D. 97 高中必刷题 主讲老师 7.已知函数，则使成立的 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 99 解析 的定义域为 ,且 , 是偶函数. 当时,由于单调递增, 单调递增. 单调递增,又是偶函数,且, 可作 的大致图象,如图所示. 欲使得,只需,两边取平方得 ,解 得 ,故选C. 100 高中必刷题 主讲老师 8.[山东临沂2023高一期末] 已知函数且 对 于任意的实数，都有成立，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 102 解析 由于对于任意的实数,都有成立,所以在 上单调递 减. 所以 解得,所以实数的取值范围是 .故选D. 103 高中必刷题 主讲老师 9.（多选）[安徽江淮十校2024高一期中联考] 已知函数 ，则下列说法正 确的是( ) AD A.若的定义域为，则 B.若的最小值为，则 C.若在上单调递增，则 的值可以为4 D.若，则，，都有 105 解析 对于选项A,若的定义域为,则在 上恒成立,所以 ,解得 ,故A正确； 对于选项B,若的最小值为,即 的最小 值为,则,解得或 ,故B错误； 对于选项C,根据复合函数单调性“同增异减”的性质可知 在 上也单调递增, 即解得 ,故C错误； 106 对于选项D,当时, 为上凸函数,其图象如图, 在上任意取,,都有 , 若,则,故D正确.故选 . 107 高中必刷题 主讲老师 10.（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是( ) ABC A. B.函数的图象与 轴有两个交点 C.函数的最小值为 D.函数 的最大值为4 109 解析 ,A正确； ,令,得,解得或 ,即 的图象与 轴有两个交点,B正确； 因为,所以当,即时,取得最小值,C正确； 没有最大值,D错误.故选 . 110 高中必刷题 主讲老师 11.[上海华东师大附中2024高一期中] 设函数 若 （其中），则 的取值范围 是( ) D A. B. C. D. 112 解析 当时,函数在上单调递减,且,在 上单调递增, 且 ; 当时,函数在上单调递减,且,在 上单调 递增,且 . 设,作出函数的图象和直线 , 如图. 当时,直线与函数 的图象有四个交点,且交点的横 坐标分别为,,,,且 . 当时,由,解得或 ,于是 . 113 由,得,则,即,而 , 因此 . 令,显然函数在上单调递减,且,,于是在 上. 故的取值范围是 .故选D. 114 高中必刷题 主讲老师 12.[安徽合肥六中、八中等校2023高一期末] 函数是定义在上的偶函数， 是奇函数， 且当时，，则 ____. 116 解析 因为是定义在上的偶函数,所以,可得 .因为 是奇函数,所以,所以, , ,所以 是周期为4的周期函数. 所以 . 117 高中必刷题 主讲老师 13.[浙江绍兴一中2024高一期中] 已知实数，满足 ， 则 的最小值是___________. 119 解析 ,有 , 得 . 设函数,则在上单调递增,因为,所以 , 则 , 当且仅当,即 时等号成立, 120 高中必刷题 主讲老师 14.已知函数且 . （1）当，求函数 的单调区间； （2）若函数的定义域为，求实数 的取值范围； （3）若函数的值域为，求 的值. 122 [答案] 若函数的定义域为,则恒成立,所以 , 即,又因为且,所以或,即实数 的取值范围是 . 【解】当时,,由,可得或 ,所以 的定义域为 . 令,则在上单调递减,在 上单调递增,又 在上单调递增,所以在 上单调递减,在 上单调递增,即函数的单调递减区间为 ,单调递增区间 为 . 123 [答案] 令,则, . 因为函数的值域为,所以,所以的值域为 ,所以 ,即,解得或（舍去）,即 的值为2. 124 高中必刷题 主讲老师 15.[江西宜春上高二中2024高一月考] 已知函数 . （1）写出函数 的定义域并判断其奇偶性； （2）若，求实数 的取值范围; （3）若存在使得不等式成立，求实数 的最大值. 126 [答案] 由函数 , 可得 , 又,所以解得 . 故实数的取值范围为 . 【解】由函数有意义,得解得 , 所以函数的定义域为 ,关于原点对称. 由 , 所以函数 为定义域上的偶函数. 127 [答案] 若存在使得不等式成立,即 . ,其中 . 因为函数在上单调递增,在 上单调递减, 所以函数在上单调递增,在 上单调递减, 可得,所以,即 , 所以实数的最大值为 . 128 高中必刷题 主讲老师 16.[山东泰安新泰一中2024高一期中] 函数 . （1）若时，有意义，求实数 的取值范围； 【解】由题得当时,,即 , 令,,则 恒成立. ,则,故,即实数的取值范围为 . （2）当时，的值域为，求实数 的值； （3）在（2）的条件下，，解关于的不等式 . 130 [答案] 令,则的值域包含 . ①当时,,其值域为 ,满足条件； ②当时,,令,,则 , 所以函数图象为开口向下的抛物线,则的值域为 ,不满足条件. 综上所述, . 131 [答案] 由（2）得,定义域为,则,函数 在 上单调递增. 由,得 , 即,且 . ①当时,解集为或 ； ②当时,解集为；③当时,解集为或；④当 时, 解集为 . 132 高中必刷题 主讲老师 17.[上海交通大学2023强基计划] 已知,,设,, ,则 ( ) A A. B. C. D. 134 多种解法 故 . 由,得,故 ； 由,得,故，所以. 综上, .故选A. 135 解析 已知.因为,且,所以,即 .由 ,得,故,故 ; 由,故,故,所以 . 综上, . 136 高中必刷题 主讲老师 18.[浙江杭州学军中学2021高一竞赛] 已知函数 ，则关于的不等式 的解集是__________. 138 解析 令,,则,的定义域均为 , , ,所以, 均为奇函数. 又,在定义域上单调递增,所以为定义域 上的增函数和奇函数,所以 的图象关于点 对称. 因为,所以 的图象关 于点 对称. 所以,即,则由,可得 , 即,所以,解得,即. 所以 的最小 值是 . 139 $$