4.3.1 对数的概念&4.3.2 对数的运算-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 4.3 4.3 对数 2 4.3 4.3.1 对数的概念+4.3.2 对数的运算 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以 为底的对数叫做自然对数. 其中正确的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 对数的概念 5 解析 ①③④正确,②不正确,只有且时, 才能化为对数式. 题型1 对数的概念 高中必刷题 主讲老师 2.已知，则 ( ) B A.2 B.3 C. D. 题型1 对数的概念 8 解析 由得,所以 . 题型1 对数的概念 9 高中必刷题 主讲老师 3.（多选）[湖南名校联合体2024高一期末] 下列各项不正确的是( ) ABC A. B. C. D. 题型1 对数的概念 11 解析 对于A,当时,,当时, ,故A错误； 对于B,由对数的运算性质可知B错误； 对于C,由次方根的性质,当为奇数时,,当为偶数时, ,故C错误； 对于D,,故D正确.故选 . 题型1 对数的概念 12 高中必刷题 主讲老师 4.[北京人大附中2023高一月考] 的值是( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 题型2 对数的运算 14 解析 原式 ,故选C. 题型2 对数的运算 高中必刷题 主讲老师 5.[浙江宁波效实中学2024高一期中] 设，，则 的值为( ) B A. B. C.27 D.26 题型2 对数的运算 17 解析 因为, ,所以 ,故选B. 题型2 对数的运算 18 高中必刷题 主讲老师 6.[山西晋城一中2024调研] 数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别 转化为乘法和加法运算.已知，，设，则 所在的区间为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 对数的运算 20 解析 , , .故选C. 题型2 对数的运算 21 高中必刷题 主讲老师 7.[安徽十校2024高一联考] 求值： ___. 1 题型2 对数的运算 23 解析 . 题型2 对数的运算 24 高中必刷题 主讲老师 8.[重庆巴蜀中学2024高一期中] 设，， 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是 ( ) D A. B. C. D. 题型3 对数的换底公式 26 解析 A选项, ,所以A错误. B,D选项,由于 ,所以B错误,D正确. C选项,不妨设,则, , 此时 ,所以C错误.故选D. 题型3 对数的换底公式 27 高中必刷题 主讲老师 9.[天津部分区2024高一期末] ___. 3 题型3 对数的换底公式 29 解析 原式 . 题型3 对数的换底公式 30 名师点拨 对于对数的乘法,尤其是不同底对数的乘法,最好的方法就是将所有对数换成同底对数的 商,这样能很好地化简式子. 题型3 对数的换底公式 31 高中必刷题 主讲老师 10. 已知,，则________.（用, 表示） 题型3 对数的换底公式 33 链接教材 本题与教材P127第5题类似，用代数式表示对数的关键在于将所有字母和所求对数表 示为同底的对数,然后代入化简即可. 题型3 对数的换底公式 解析 由,得,又 , 所以 . 题型3 对数的换底公式 35 高中必刷题 主讲老师 11.已知，且，则 的值为_____. 题型3 对数的换底公式 37 多种解法 因为,所以,,从而 .又因为 ,所以 . 题型3 对数的换底公式 38 解析 由题可得,,由换底公式可得,.因为 ,所以 ,则.又因为,所以 . 题型3 对数的换底公式 39 高中必刷题 主讲老师 12.[江苏泰州2024高一月考] 若方程的两根为 ， ，则 的值为( ) C A. B.6 C.36 D.1 题型4 对数恒等式 41 解析 方程的两根为 , ,所以 , 故 .故选C. 题型4 对数恒等式 42 高中必刷题 主讲老师 13. ____. 98 解析 , ,所以原式=100-2=98. 题型4 对数恒等式 44 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 主讲老师 14.[四川广安二中2023高一期中] 使有意义的实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 46 易错警示 对数式中底数大于0且不等于1,真数大于0. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 解析 由题意知解得,所以实数的取值范围是 .故选C. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 48 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 主讲老师 15.方程 的解为______. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 50 易错警示 求解对数方程,利用对数运算性质转化为关于真数的方程时,要注意等价变化,同时要满足 真数大于0. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 解析 原方程可化为,即 ,所以 ,即,解得或 . 又且,所以 . 所以不满足题意,因此应舍去. 故方程的解为 . 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 52 4.3 4.3.1 对数的概念+4.3.2 对数的运算 刷提升 53 高中必刷题 主讲老师 1.求值： ( ) C A.1 B. C.2 D. 55 解析 .故选C. 56 规律方法 对数式恒等变形的常用策略：一看底,底不同时用换底公式化不同底为同底；二看真数, 利用对数的运算法则将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值. 高中必刷题 主讲老师 2.已知 ，给出下面四个等式： ； ； ； . 其中正确的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 59 解析 当,时,, , 故①②错误；当时,,,③正确；当 时,④错误. 因此只有一个正确,故选B. 60 高中必刷题 主讲老师 3.已知，则 ( ) C A.1 B.1或9 C.9 D.3或9 62 解析 , , ,即 , ,解得或 , 又,且, , 舍去, .故选C. 63 高中必刷题 主讲老师 4.已知函数则 的值为( ) C A. B.0 C.1 D.2 65 解析 因为 所以 ,又 ,所 以 .故选C. 66 高中必刷题 主讲老师 5.[江苏镇江一中2024高一月考] 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以 成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把 看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把 看作是每天的“退步”率都是，一年后是 .这样，一年后的“进步值”是 “退步值”的 倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过( ) （参考数据：,, ） B A.70天 B.80天 C.90天 D.100天 68 解析 设天后的“进步值”是“退步值”的5倍,则,即 , 两边同时取对数得,化简得 , 所以 . 故当“进步值”是“退步值”的5倍时,大约经过80天.故选B. 69 高中必刷题 主讲老师 6.已知，，则 的值为____. 解析 ,,则,,则 . 71 归纳总结 对数式与指数式的互化 且可转化为且 . 72 高中必刷题 主讲老师 7.[河北秦皇岛2024高一月考] 已知,，若,，则 的取值范 围是______. 74 解析 因为,,,,可知 , 则,所以的取值范围是 . 75 高中必刷题 主讲老师 8.[广东深圳中学2024高一期中] 已知，是方程 的两个实数根，则 __. 77 多种解法 因为的实数根为或 , 不妨设,,则, , 所以 . 78 解析 因为,是方程 的两个实数根, 所以由根与系数的关系得 , , 则 . 79 高中必刷题 主讲老师 9.[江苏南京金陵中学2024高一期中] 设，，若 ，则 的最大值为__. 81 解析 由得,又,,所以 . 同理可得 . 因为 , 所以,所以 . 故 . ①当,且时,, . 由基本不等式知 . 当且仅当,即 即, 时等号成立. 82 ②当,且时, . ③当,且时, . ④当,且时,不满足 . ⑤当,或时, . 综上所述,的最大值为 . 83 高中必刷题 主讲老师 10.（1）计算： ； 【解】 . （2）已知，，试用，表示 . 85 [答案] , 由得,又 , 所以 . 86 高中必刷题 主讲老师 11.[2023全国中学生数学奥林匹克竞赛预赛（A卷）] 若正实数,满足, , 则 的值为____. 20 解析 . , . 88 高中必刷题 主讲老师 12.[清华大学2023强基计划] 已知,,求 的可能取值. 【解】由题意可知 ,① 同理, ,② 可得 , 则或 . 90 $$