4.2.2 指数函数的图象和性质-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 4.2 4.2 指数函数 2 4.2 4.2.2 指数函数的图象和性质 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.[浙江宁波效实中学2024高一期中] 函数 的图象必经过点( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数的图象 5 解析 令,则,代入函数,解得 , 则函数的图象必经过点 .故选D. 题型1 指数函数的图象 6 高中必刷题 主讲老师 2.已知函数,,,（,,, 均大于0且不等于1）的大致 图象如图所示，则下列不等式一定成立的是( ) B A. B. C. D. 题型1 指数函数的图象 8 解析 由图象可得,由不等式的性质可得 .故选B. 题型1 指数函数的图象 规律方法 不同底数的指数函数图象的规律 若,,,（,,, 均大于0且不等于1）的图象如图所 示,则 . 简记规律：在第一象限,按照逆时针方向观察,对应的指数函数的底数逐渐增大. 题型1 指数函数的图象 10 高中必刷题 主讲老师 3.[福建龙岩2024高一期中联考] 已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 ，但又不与该直线相交，则 ( ) C A. B. C.1 D. 题型1 指数函数的图象 12 解析 因为函数 的图象过原点, 所以 , 又因为图象无限接近直线 ,但又不与该直线相交, 所以 是图象的一条渐近线, 所以,所以 .故选C. 题型1 指数函数的图象 13 高中必刷题 主讲老师 4.[陕西安康七校2023高一期末联考] 要得到函数的图象，只需将函数 的图象 ( ) A A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度 题型1 指数函数的图象 15 解析 因为,所以只需将函数 的图象向左平移1个单 位长度,即可得到函数 的图象.故选A. 题型1 指数函数的图象 16 高中必刷题 主讲老师 5.[湖北武汉2024高一期中] 函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 18 解析 函数的定义域满足解得且 . 题型2 指数函数的性质 19 高中必刷题 主讲老师 6.当时，函数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 21 解析 因为指数函数在区间上单调递增,所以 ,于是 ,即,所以的取值范围为 .故选C. 题型2 指数函数的性质 22 高中必刷题 主讲老师 7. [广东深圳南山外国语2024高一期中] 已知,, ，则( ) A A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 24 解析 是上的增函数,,即 ； 又是上的减函数,,即 .故选A. 题型2 指数函数的性质 25 链接教材 本题目由教材第118页练习第2题演变而来,结合指数函数的单调性比较大小. 题型2 指数函数的性质 26 规律方法 指数式比较大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由指数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同,指数为同一常数 方法1：由幂函数的单调性比较大小； 方法2：借助不同底数的指数函数图象的高低比较大小 底数与指数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 题型2 指数函数的性质 27 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）[吉林长春外国语2024高一期中] 函数,其中且 ，则下列结 论正确的是( ) ABD A.函数是奇函数 B.方程在 上有解 C.函数的图象过定点 D.当时，函数 在其定义域上为增函数 题型2 指数函数的性质 29 解析 的定义域为,且,故 为奇函 数,A正确； ,故方程在 上有解,B正确,C错误； 当时,函数在上单调递增,在上单调递减,故在 上单调递 增,D正确. 故选 . 题型2 指数函数的性质 30 高中必刷题 主讲老师 9.（多选）下列结论中，正确的是( ) BD A.函数 是指数函数 B.函数的单调递增区间是 C.若,则 D.函数的图象必过定点 题型2 指数函数的性质 32 解析 由指数函数的定义得函数 不是指数函数,A错误； 函数,设,则在上单调递增,在 上单调递减,又在上单调递减，因此函数的单调递增区间是 ,B正确； 当时,由得,C错误；在函数 中,由 得,,即函数的图象必过定点,D正确.故选 . 题型2 指数函数的性质 33 高中必刷题 主讲老师 10.若不等式对一切实数恒成立，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 35 解析 因为不等式对一切实数恒成立,所以对一切实数 恒成立. 又因为为上的增函数,所以对一切实数 恒成立,所以 对一切实数恒成立,故,解得 ,故选A. 题型2 指数函数的性质 36 高中必刷题 主讲老师 11.函数在区间内不单调，则实数 的取值范围是______. 解析 令,则.因为在区间内不单调,所以 在区间 内不单调.又因为在上单调递减,在 上单调递增,所以 ,解得 . 题型2 指数函数的性质 38 高中必刷题 主讲老师 12.[辽宁重点高中协作体2024高一期末] 设函数，则使成立的 的取值范围是_________. 题型2 指数函数的性质 40 解析 因为的定义域为,又,所以 为偶函数. 当时,令,则可转化为 , 因为函数在上单调递增,函数是 上的增函数, 所以在 上单调递增. 结合偶函数的性质可由,得,解得 , 所以的取值范围为 . 题型2 指数函数的性质 41 高中必刷题 主讲老师 13.[湖南长沙一中2024高一期中] 设，函数 . （1）若函数是奇函数，求 的值； 【解】由题意知的定义域为 , 若函数为奇函数,则,解得,代入函数中验证可知 , 所以 . （2）请判断函数 的单调性，并用定义证明. 题型2 指数函数的性质 43 [答案] 函数在 上单调递增,证明如下： 设,则 . 因为,所以,即,且, , 所以,即 , 所以函数在 上单调递增. 题型2 指数函数的性质 44 高中必刷题 主讲老师 14.函数 的值域是( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 46 解析 令,,则,,所以 .故选D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 主讲老师 15.函数 的值域为( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 49 解析 ,.又,.令,则 , ,,即函数的值域是 .故选D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 50 易错警示 由于指数函数,且的值域为 ,因此计算与指数函数有关的函数 值域时不要忘记这一隐含条件.在本题中,若忘记该条件,则会得到 ,从而误选C. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 51 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 主讲老师 16.[江苏盐城2023高一期中] 若函数，且在上的最大值与最小值的差为 ， 则实数 的值为( ) D A. B. C.或2 D.或 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 53 解析 当时,在上单调递减,所以,解得或 （舍去）； 当时,在上单调递增,所以,解得或 （舍去）. 综上所述,或 .故选D. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 54 多种解法 考虑到且在上一定单调,故一定在区间 的端点处取得最值, 故,又,解得或 ,经检验均满足题意,故选D. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 55 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 主讲老师 17.已知函数,且在上恒有，则实数 的取值范围是 ______________. 解析 当时,在上单调递增.因为函数在上恒有,所以 , 所以,所以 . 当时,在上单调递减.因为函数在上恒有,所以 , 所以,即,所以 . 综上所述,实数的取值范围是 . 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 57 易错警示 由于指数函数的单调性根据底数与1的大小关系判断,因此涉及含参数的指数函数的单调 性问题时,要根据底数与1的大小关系分类讨论. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 58 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 主讲老师 18.[黑龙江双鸭山一中2023高一期中] 函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 60 解析 设,则,所以在上单调递增,所以 ,所以函数 的值域为 ,故选B. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 61 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 主讲老师 19.［广东实验中学2024高一期中］函数 的单调递增区间是( ) A A. B. C. D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 63 解析 函数的定义域为,函数在上单调递减,在 上单调递增, 而函数在上单调递减,因此函数在上单调递增,在 上单调递减, 所以函数的单调递增区间是 .故选A. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 64 易错警示 对于形如,且 的函数的单调性的判断,常用复合函数法.复合函数的 单调性:当时,函数与函数的单调性相同;当时,函数 与函 数 的单调性相反. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 65 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 主讲老师 20.已知函数在区间上单调递增，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 67 解析 设,则是关于的增函数,由可知.由题意可知,函数 在区间 上单调递增,结合的单调递增区间为,,可得,则 ,故选C. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 68 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 主讲老师 21.已知不等式的解集为集合，函数, . （1）求集合 ； 【解】由,得,即,即 , 解得,故集合 . （2）求函数 的值域. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 70 [答案] ,令,则 可化为 . ,,而函数的图象的对称轴为直线 , 在区间上单调递减,在区间上单调递增.故在, 上的最大值为 ,最小值为,故函数的值域为 . 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 71 易错警示 形如 的函数的性质问题,可利用换元法 转化为二次函数的性质问题,注意换元后新元的取值范围. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 72 4.2 4.2.2 指数函数的图象和性质 刷提升 73 高中必刷题 主讲老师 1.[江西吉安2024高一月考] 函数 的大致图象是( ) C A. B. C. D. 75 解析 函数 又,则根据指数函数的性质知,时,函数 单调递增,排除B,D； 时,函数 单调递减,排除A.故选C. 76 高中必刷题 主讲老师 2.[吉林省实验中学2024高一期中] 设，， ，则( ) B A. B. C. D. 78 解析 由函数是增函数,且,故,即 ； 又函数是增函数,所以,即.故 .故选B. 79 高中必刷题 主讲老师 3.函数 的单调递减区间是( ) B A. B. C. D. 81 解析 将原函数看成复合函数,,因为是关于的减函数,且 在上单调递增,在上单调递减,所以由复合函数的性质知 的单调递减区间是 . 82 高中必刷题 主讲老师 4.[江苏南通2023高一期中] 若直线与函数，且 的图象有两个公 共点，则 可以是( ) C A.2 B. C. D. 84 解析 当时,的大致图象如图①所示,由已知得, ； 图① 图② 当时,的大致图象如图②所示,由已知可得 , ,结合可得 无解. 综上可知,的取值范围为 .故选C. 85 高中必刷题 主讲老师 5.[重庆第一中学2023高一期中] 已知函数,且对于 上 任意两个不相等的实数,，不等式恒成立，则实数 的取值范围为 ( ) B A. B. C. D. 87 解析 由对上任意两个不相等的实数,,不等式 恒成立,可知 函数在上单调递减,则解得,所以实数的取值范围为, .故 选B. 88 规律方法 分段函数单调不仅需要考虑每一段函数的单调性相同,还应考虑在端点处的衔接情况. 高中必刷题 主讲老师 6.（多选）[安徽安庆一中2024高一月考] 若函数是定义在上的偶函数，当 时， ，则( ) BCD A. B.当时， C. D.的解集为 91 解析 因为是 上的偶函数, 当时,,所以 ,故A错误； 当时,, ,故B正确； ,故C正确； 当时,由,得 , 又函数的图象关于轴对称,所以的解集为,故D正确.故选 . 92 高中必刷题 主讲老师 7.[四川内江六中2024高一月考] 已知函数，若 ，则 实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 94 解析 令,定义域为 ,则 , 所以 为奇函数. 不等式 , 等价于 , 即. 因为为奇函数,所以. 因为,, 均为减函数,所以为减函数, 则,解得 .故选B. 95 高中必刷题 主讲老师 8.[辽宁大连2023高一期中] 已知函数且在区间 上单调递 减，则实数 的取值范围是_______________. 97 解析 函数可以看作由函数,复合而成,当 时, 外层函数单调递增,所以内层函数在上单调递减,则 ,解 得；当时,外层函数单调递减,所以内层函数在 上单调递增,则,解得 . 综上所述,或 . 98 高中必刷题 主讲老师 9.若函数在区间上的最大值是13，则实数 的值为______. 3或 解析 设,则函数等价于,图象的对称轴为直线 ,该二次函 数在, 上单调递增. ①若,由,得,且,故当,即时, , 解得或 （舍去）. ②若,由,可得,且,故当,即 时, ,或 （舍去）. 综上可得，或 . 100 高中必刷题 主讲老师 10.[安徽六安一中2024高一期中] 已知定义在上的函数 . （1）当时，求 的值域； 【解】当时, , 令,则可转化为,即 , 的值域为 . （2）若函数在上单调递增，求实数 的取值范围； （3）若函数的定义域内存在，使得成立，则称 为局 部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是函数 的局部对称点，求实 数 的取值范围. 102 [答案] 令,,,则可转化为 . 在 上单调递增, 要使在 上单调递增, 只需在 上单调递增即可. ①当时,在 上单调递减,不符合题意； ②当时, 的图象开口向下,不符合题意； ③当时,要满足解得 . 综上,实数的取值范围是 . 103 [答案] 由是函数的局部对称点,得, , 代入整理得 .① 令,则,当且仅当时取等号，则 , 代入①式得,即 . 当时,函数和 均单调递增, 在 上单调递增, , , 实数的取值范围为 . 104 $$