3.1.2 函数的表示法-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 3.1 3.1 函数的概念及其表示 2 3.1 3.1.2 函数的表示法 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.一个面积为的等腰梯形，上底长为，下底长为上底长的3倍，则把它的高 （单位：）表示成 的函数为( ) C A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 5 解析 由,得, . 题型1 函数的三种表示法 6 高中必刷题 主讲老师 2.[河南新乡一中2024月考] 已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点 出发，沿其边界顺 时针匀速运动一周.设点运动的时间为，线段的长度为，表示与 的函数关系的图象大致 如图所示，则该封闭图形可能是( ) B A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 8 解析 根据函数图象可知,函数图象具有对称性,故C错误； 对于A,由等边三角形可知,线段 的长度先增大再减小,再增大,后减小,故A错误； 对于D,由圆可知,线段 的长度不会是线性变化,故D错误； 对于B,由正方形可知,线段 的长度先增大再减小,且一开始线性增大,符合题意,故B正确.故选B. 题型1 函数的三种表示法 9 高中必刷题 主讲老师 3.[湖北荆州中学2024高一月考] 已知函数和分别由下表给出，则 ___，若 ，则实数 的取值集合为________. 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 2 题型1 函数的三种表示法 11 解析 根据题中表格可得 , 所以 . 根据题中表格可得, 当时,满足题意,此时 ； 当时,满足题意,此时 ； 当时,满足题意,此时 . 综上可得,实数的取值集合为 . 题型1 函数的三种表示法 12 高中必刷题 主讲老师 4.[山西部分学校2024高一期中] 如图，四边形是矩形，,, 是等腰直角 三角形.点从点出发，沿着边,运动到点，点在边,上运动，直线.设点 运动的路程为,的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为.当点在线段 上 运动时， 的解析式为( ) A A. B. C. D. 题型2 函数解析式的求法 14 解析 因为是等腰直角三角形, , 所以.当点在线段上运动时,, . 故选A. 题型2 函数解析式的求法 15 高中必刷题 主讲老师 5.[安徽阜阳二中2024高一月考] 已知函数，则函数 的解析式是 ( ) B A.， B.， C.， D.， 题型2 函数解析式的求法 17 解析 ,且 ,所以 , .故选B. 题型2 函数解析式的求法 18 多种解法（换元法）令,,则, , ,即, . 题型2 函数解析式的求法 19 高中必刷题 主讲老师 6.[苏州大学附中2024高一期中] 设是定义在上的函数，已知 满足 ，则 的解析式为______________. 题型2 函数解析式的求法 21 解析 由 ①, 用代替可得 ②, 由可得 . 题型2 函数解析式的求法 22 高中必刷题 主讲老师 7.设是定义在上的函数，且满足，并且对任意的实数, 都有 ，求 的解析式. 【解】因为,且,所以令 ,得 ,所以 . 题型2 函数解析式的求法 24 多种解法 令,得,即,将用 代换得 . 规律方法 在某些求函数解析式的问题中,通过给自变量赋予特殊值,展现内在联系或是减少变量个 数,从而解决问题,这种方法叫做赋值法.赋值法常用于求解抽象函数的解析式. 题型2 函数解析式的求法 25 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）下列关于分段函数的说法正确的是( ) BC A.分段函数在每段自变量取值范围内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B.若则 C. 是分段函数 D.分段函数的定义域都是 题型3 分段函数 27 解析 A选项,分段函数在每段自变量取值范围内都是一个独立的函数,但这几段组合在一起是一个 函数,故A错误； B选项,由函数的解析式可知B正确； C选项, 是一个分段函数,故C正确； D选项,分段函数的定义域不都是,故D错误.故选 . 题型3 分段函数 28 特别注意 对分段函数概念的理解 （1）分段函数是一个函数,不要误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,值域是各段函数值范围的并集. 题型3 分段函数 29 高中必刷题 主讲老师 9.[江西部分学校2024高一期中联考] 已知定义在上的函数 则“ ”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型3 分段函数 31 思路导引 探究“”是“ ”的什么条件,需要从函数值研究自变量,还需要从 自变量研究函数值. 题型3 分段函数 32 解析 若,则,所以 . 若,则,所以 . 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 故选B. 题型3 分段函数 33 高中必刷题 主讲老师 10.[河北邯郸八校2024高一期中] 已知函数若，则 ( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 题型3 分段函数 35 解析 , , 解得 .故选B. 题型3 分段函数 36 归纳总结 求分段函数的函数值的方法 （1）求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析 式求值； （2）当出现 的形式时,应从内到外依次求值； （3）当自变量所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点. 题型3 分段函数 37 高中必刷题 主讲老师 11.若函数 的图象如图所示，则它的解析式为_ _____________________. 解析 当时,设函数解析式为,由题图知,所以;当 时, ;当时, . 题型3 分段函数 39 高中必刷题 主讲老师 12.[福建厦门双十中学2024高一月考] 已知函数, ，令 则不等式 的解集是__________. 题型3 分段函数 41 解析 由题知,当 时, 即,解得 , 此时, ； 当时,即 , 解得或,此时 , 由 ,得 或或 解得或无解.综上, . 题型3 分段函数 42 高中必刷题 主讲老师 13.某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间 成正比，药物燃烧完后，与成反比（如图），现测得药物 燃毕，此时室内空气中 每立方米含药量为.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 才有效，那么此次消 毒的有效时间是( ) C A. B. C. D. 题型4 函数的实际应用 44 解析 当时,设,将点的坐标代入中得,解得 ,所 以 . 当时,设,将点的坐标代入中得,所以 . 综上, 当时,,解得；当时,,解得. 则当时, ,所以 此次消毒的有效时间是 ,故选C. 题型4 函数的实际应用 45 高中必刷题 主讲老师 14.[广西柳铁一中2023高一联考] 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行 “阶梯水价”，计费方法如表. 每户每月用水量 水价 不超过 的部分 2.07元/ 超过但不超过 的部分 4.07元/ 超过 的部分 6.07元/ 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为( ) D A. B. C. D. 题型4 函数的实际应用 47 解析 设此户居民本月的用水量为,水费为 元. 当时, ； 当时, ; 当时, . 综上, 由,可知,则有 ,解得 .故选D. 题型4 函数的实际应用 48 特别注意 此类分段函数问题,在计算后续区间上的费用时, 一定要减去上一个区间的右端点,例如 时以4.07计价的用水量为 ,否则会重复计算导致函数值偏大. 题型4 函数的实际应用 49 易错点1 忽略函数的定义域而致错 主讲老师 15.[浙江杭州九校2024高一期中联考] 已知函数，则 的解析式为 ( ) B A. B. C. D. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 51 解析 令,,则 , 所以 , 所以 . 故选B. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 52 易错警示 已知函数的解析式,求函数的解析式时,若函数 的值域不是 全体实数,则所求得的函数的解析式必须带有定义域（即函数 的值域）. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 53 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 主讲老师 16.[湖北黄冈2023高一期中联考] 已知函数则方程 的解为 ( ) A A. B. C. D. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 55 解析 因为 由知, 无解； 无解；解得 .故选A. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 56 易错警示 求分段函数的函数值一定要根据自变量的范围找到对应段的函数解析式求值,特别是当 自变量为参数时一定要分类讨论. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 57 3.1 3.1.2 函数的表示法 刷提升 58 高中必刷题 主讲老师 1.以下形式中，不能表示是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 60 解析 根据函数的定义及表示方法可知,只有选项D中可化为或 ,不符合函数的定义,故 选D. 61 高中必刷题 主讲老师 2.[北京大兴2024高一期中] 已知函数则图象与 轴交点的个数是 ( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 63 解析 令 , 当时,由，得 ,显然无实数解； 当时,由，得,解得或 （舍去）. 综上所述,图象与 轴的交点有1个.故选B. 64 名师点拨 函数图象与轴交点的个数等价于方程 的解的个数. 高中必刷题 主讲老师 3.[辽宁六校协作体2024高一期中] 对于实数和，定义运算“*”： 设 ，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 67 解析 由可得,由可得 , 所以根据题意得 即 作出函数 的大致图象如图所示, 易知的图象开口向下,对称轴为直线 , 所以当时,函数的最大值为,则根据函数 和 的图象可知,要使关于的方程 恰有三个互不相等的实数根,可得实 数的取值范围是 . 故选D. 68 名师点拨 对条件方程 恰有三个互不相等的实数根,充分应用数形结合思想,将其转 化为, 图象的交点个数问题,作图分析得参数范围. 69 高中必刷题 主讲老师 4.（多选）已知函数 的图象由如图所示的两条线段组成，则( ) AC A. B. C.， D.，不等式的解集为 71 解析 选项A,因为,,所以 ,A正确； 选项B,,,所以 ,B错误； 选项C,当时,,当 时, ,符合题中所给图象,C正确； 选项D,由选项C得, ,如图,所以不存在大于零的 实数,使得不等式的解集为,故D错误.故选 . 72 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[福建三明一中2024高一月考] 给出以下四个判断，其中正确的是( ) ABC A.函数的值域为 B.若函数的定义域为，则函数的定义域为 C.函数的定义域，值域，则满足条件的 有3个 D.若函数，且，则实数的值为 74 解析 对于A选项,,当时,,则 , ,所以 , 所以函数的值域为 ,A正确； 对于B选项,对于函数, , 则 , 所以函数的定义域为 , 则对于函数,解得 , 所以函数的定义域为 ,B正确； 75 对于C选项,由,可得 , 所以函数的定义域A可以是或或, , 故满足条件的 有3个,C正确； 对于D选项, , 当时,,当且仅当,即当 时,等号成立, 当时, , 当且仅当,即当 时,等号成立, 所以,其中或 , 由可得 ,D错误. 故选 . 76 高中必刷题 主讲老师 6.[黑龙江大庆实验中学2024高一月考] 已知集合, ，函数 若且，则 的取值范围为______. 78 思路导引先根据分段函数的解析式,讨论, 分别对应的 的范围,再分类讨论求出的范围,结合确定最终的取值范围,即得 的取值范围. 79 解析 若,则 . 令,则,不符合 ； 令,则,不符合 . 若,则 . 令,则,此时 ,符合题意； 令,则,不符合 . 综上,,则 . 80 高中必刷题 主讲老师 7.[浙江衢州2023高一联考] 已知函数，,且 的解集为 . （1）求实数， 的值； （2）用表示，中的较大者，记为,，请画出 的图象， 并求 的值域. 82 【解】由题意知,,是方程 的两实数根, 且 , 则解得 83 [答案] 由题可知, 联立解得或（舍去）,所以当时, 和 图象的交点坐标为 ； 联立解得或（舍去）,所以当时,和 图 象的交点坐标为 . 84 则的图象如图所示,所以的值域为 . 85 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）[清华大学2021强基计划] 已知函数的定义域为,设为常数， , ，则( ) ABC A. B. 恒成立 C. D.满足条件的 不止一个 87 解析 令,可得,因为,所以 ,A正确. 令,可得,代入,可得 ,同理 ,即原等式变形为 ,C正确. 令,可得,即函数值非负. 令可得,即 ,解得 ,只有1个,故B正确,D错误.故选 . 88 $$