3.1.1 函数的概念-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 3.1 3.1 函数的概念及其表示 2 3.1 3.1.1 函数的概念 刷基础 3 高中必刷题 主讲老师 1.[安徽师范大学附中2023高一选科诊断] 下列说法正确的是( ) D A.函数的定义域和值域一定是无限集 B.函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应 C.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 题型1 函数定义的理解 5 解析 函数的定义域和值域也可以是有限集,A错误.对于定义域中的每一个数 ,在值域中都有唯一 的数和它对应,反之则不然,故B错误,D正确 显然错误.故选D. 题型1 函数定义的理解 6 高中必刷题 主讲老师 2.[湖北荆州中学2024高一月考] 已知集合,,, ， 则 中的元素有( ) D A.0个 B.1个 C.2个 D.至多1个 题型1 函数定义的理解 8 解析 集合A是由函数的图象上的点组成的集合,集合B是直线 上的点组成的集合, 当时,是唯一确定的值,当时, 不存在, 所以直线与函数的图象至多只有一个交点,即集合 中至多只有1个元素.故选D. 题型1 函数定义的理解 9 思路导引 集合, 分别是由两个函数图象上的点构成的集合,它们的交集由两个函数图象的交点构成. 题型1 函数定义的理解 高中必刷题 主讲老师 3. [四川眉山两校2024高一期中联考] 已知集合， ， 那么下面的 4 个图形中，能表示从集合到集合 的函数图象的个数为( ) A 图① 图② 图③ 图④ A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 函数定义的理解 12 解析 由题图①知 ,不符合函数的定义域,故题图①错误； 由题图②知, ,符合函数的定义,故题图②正确； 由题图③知 ,不符合函数的值域,故题图③错误； 由题图④知,对于内任意一个实数 都有两个值与之对应,不符合函数的定义,不是函数图象,故 题图④错误. 故选A. 题型1 函数定义的理解 13 链接教材 此题与教材P61问题3类似，从图象角度判断是否为某集合到另一集合的函数,需要注意 定义域的完整性、每一个实数对应唯一确定的值 、值域为对应集合的子集. 题型1 函数定义的理解 14 规律方法 此类判断函数图象的问题需要注意以下几点 （1）在定义域内每个实数都要有对应的函数值 ； （2）一个不能对应多个,即画一条与 轴垂直的直线,与函数图象至多只有一个交点； （3）函数值不能超出给定函数值的集合. 题型1 函数定义的理解 15 高中必刷题 主讲老师 4.函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 17 解析 函数需满足且,得且 ,所以 的定义域为 .故选D. 题型2 函数的定义域 18 归纳总结 求函数的定义域需注意如下两点 （1）0不作分母,0没有0次方； （2）偶次根号下被开方数需要大于或等于0. 题型2 函数的定义域 19 高中必刷题 主讲老师 5.[河北师大附中2024高一期中] 已知函数的定义域是，则函数 的定 义域是( ) A A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 21 解析 函数的定义域是,解得,且 , 函数的定义域是 ,故选A. 题型2 函数的定义域 22 归纳总结 求解抽象函数定义域问题的注意事项 （1）自变量始终是,定义域始终是指 的取值范围； （2）括号内范围不变,即,,的后面括号中的,, 的取值范围要保持一致. （3）若 函数的定义域为,则求出在上的值域即得的定义域；若函数 的定 义域为,则解不等式即可求出 的定义域. 题型2 函数的定义域 23 高中必刷题 主讲老师 6.[山西运城2023高一期中] 若函数的定义域为，则实数 的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 25 解析 因为的定义域为,所以 恒成立. 当 时,显然成立； 当时,有解得 . 综上可得,实数的取值范围为 .故选C. 题型2 函数的定义域 26 高中必刷题 主讲老师 7.[辽宁沈阳市郊联体2024高一期中] 已知函数，若，则 的值为( ) A A. B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 28 解析 由,得,解得 .故选A. 题型3 函数值与函数的值域 29 高中必刷题 主讲老师 8.[北京清华大学附中等三校2023高一期中] 下列函数中，值域为 的是( ) C A.， B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 31 解析 对于A,的值域为 ,A错误； 对于B,的值域为 ,B错误； 对于C,由得,即的定义域为 , 当 时, , ,C正确； 对于D,当时,,当且仅当时取等号, ,D错误.故选C. 题型3 函数值与函数的值域 32 高中必刷题 主讲老师 9.[浙江九校2024高一联考] 函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 34 解析 由可得 , 由于函数,所以 , 故 ,故选B. 题型3 函数值与函数的值域 35 思路导引 借助配凑法分离常数后,利用二次函数的性质并结合不等式的性质求解值域. 题型3 函数值与函数的值域 高中必刷题 主讲老师 10.[山西太原外国语学校等2024高一联考] 函数 的值域是( ) A A. B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 38 解析 令,得,故函数的定义域为 , 所以 .故选A. 题型3 函数值与函数的值域 39 归纳总结 求函数值域的常用方法 ①观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点” 和“最低点” ,观察求得函数的值域. ②配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,再结合二 次函数的性质求函数的值域. ③换元法:对含有根号的函数,可以通过对函数解析式的适当换元（注意新元的取值范围）,将复杂 的函数转化为简单的函数,进而利用基本函数的取值范围求函数的值域. ④分离常数法:先将形如且 的函数解析式分离常数,变形过程为 ,再结合的取值范围确定 的取值范围,从而确定函数的值域. ⑤基本不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次函数结构的函数, 一般通过变形使之具备 “一正、二定、三相等”的条件,利用基本不等式法求值域. 题型3 函数值与函数的值域 40 高中必刷题 主讲老师 11.[河南南阳一中2023月考] 已知函数的定义域与值域均为，则实数 的值为( ) A A. B. C. D.1 题型3 函数值与函数的值域 42 解析 的解集为, 方程的解为或,且 , , , . 又 函数的值域为, , .故选A. 题型3 函数值与函数的值域 43 规律方法 已知函数的值域求参数问题的解题思路 （1）注意调整思维方向,根据值域的含义,将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题; （2）根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围. 题型3 函数值与函数的值域 44 高中必刷题 主讲老师 12.下列函数中，与函数 有相同图象的是( ) D A. B. C. D. 题型4 相同函数 46 解析 一个函数与函数有相同图象时,这两个函数应是同一个函数. 的定义域 为,定义域不相同,故不是同一个函数；的定义域为 ,定义域不相同,故不 是同一个函数；的定义域为,定义域不相同,故不是同一个函数； 的定义域为 ,定义域相同,且, ,函数对应关系也相同,故是同一个函数.故选D. 题型4 相同函数 47 高中必刷题 主讲老师 13.[广东珠海四校2024高一期中联考] 下列选项中表示同一函数的是( ) D A.与 B.与 C.与 D.与 题型4 相同函数 49 解析 ,与, 定义域不同,故A错误； ,与, 定义域不同,故B错误； 与 的对应关系不同,故C错误； ,与, 的定义域和对应关系均相同,为同一函数,故D 正确. 故选D. 题型4 相同函数 50 高中必刷题 主讲老师 14.[广州大学附属中学2023高一月考] 已知集合, ，下列对应 关系能够构成从到 的函数的是( ) A A. B. C. D. 题型5 函数对应关系的表示 52 解析 对于,对于任意,在 中都存在唯一确定的元 素与之对应,满足函数定义,A正确； 对于,当时,在 中无元素与之对应,不满足函数定义,B错误； 对于,当时,在 中无元素与之对应,不满足函数定义,C错误； 对于,当时,在 中无元素与之对应,不满足函数定义,D错误. 故选 A. 题型5 函数对应关系的表示 53 规律方法 判断所给对应关系 是否构成函数的方法 ①观察两个数集, 是否非空； ②验证对应关系下,集合中的任意性,集合中 的唯一性. 题型5 函数对应关系的表示 54 高中必刷题 主讲老师 15.[广东深圳2024高一期中] 若函数，则 ( ) B A. B.0 C.1 D.3 解析 ,令,得 .故选B. 题型5 函数对应关系的表示 56 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 主讲老师 16.有如下对应关系： （1），，，， ； （2），0，，， ； （3），， ； （4），， ； （5），，， . 其中能构成从集合到集合 的函数的有____________.（填序号） （1）（4） 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 58 解析 （1）由函数的定义知,满足题意； （2）当时, 中不存在元素与之对应,不满足题意； （3）当时, 没有意义，不满足题意； （4）由函数的定义知,满足题意； （5）集合 不是数集,故不满足题意. 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 59 易错警示 判断集合, 之间的对应关系是否为函数时必须满足： （1）,必须是非空数集,且集合中任一元素在集合 中有且只有一个元素与之对应； （2）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系. 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 60 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 主讲老师 17.[山东枣庄三中2024高一月考] 函数的定义域为，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 62 解析 因为函数的定义域为 , 所以关于的方程 无实数解, 当时, 显然无解,符合题意； 当时,则,解得 . 综上可得 .故选D. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 63 易错警示 本题关于的函数的定义域为等价于方程 无实数解,由于二次项系数 含参数,一定要分和 两种情况讨论. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 64 易错点3 忽略函数的定义域而致错 主讲老师 18.[北京清华附中2024高一期中] 函数, 的值域为( ) A A. B. C. D. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 66 解析 因为图象的对称轴为直线,所以当时,取得最小值.当 时, ,当时,,因此函数,的值域为 ,故选A. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 67 易错警示 求解二次函数在给定区间的值域问题,应结合二次函数的图象或者对称轴与区间的关系 确定函数的最值,进而确定值域. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 68 易错点4 混淆自变量的判定而致错 主讲老师 19.[重庆一中2023高一期中] 函数的定义域为，则函数 的定义域为 ________. 易错点4 混淆自变量的判定而致错 70 解析 因为的定义域为,所以,即的定义域为 . 因为,所以,所以函数的定义域为 . 易错警示 抽象函数的自变量始终是 ,不要把中间变量和自变量混淆了. 易错点4 混淆自变量的判定而致错 71 20.已知函数的定义域为，则函数 的定义域为___________________. 解析 已知函数的定义域为,所以函数的定义域为.在函数 中, ,,所以或,所以函数的定义域为 , , . 易错点4 混淆自变量的判定而致错 72 易错警示 若的定义域为,则解不等式即可求出 的定义域； ②若的定义域为,则求出在上的值域即得 的定义域. 易错点4 混淆自变量的判定而致错 73 3.1 3.1.1 函数的概念 刷提升 74 高中必刷题 主讲老师 1.已知集合，，则从到的函数 有( ) D A.8个 B.6个 C.7个 D.9个 76 解析 集合中有两个元素,若在集合B中都对应相同的元素,则有3种情况： , ；,；, . 若在集合B中都对应不同的元素,则有6种情况：,；, ； ,；,；,；, .所以从A到B的 函数 有9个.故选D. 77 高中必刷题 主讲老师 2.[广东广州2024高一期中] 函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 79 解析 由题意知解得且 , 故函数的定义域为 .故选C. 80 高中必刷题 主讲老师 3.函数的定义域为，则函数 的定义域为( ) A A. B. C. D. 82 解析 由函数的定义域为,可知函数的定义域为,即 . 则函数满足即解得 . 所以函数的定义域为 .故选A. 83 高中必刷题 主讲老师 4.[安徽合肥一中2024高一期中] 函数 的值域为( ) A A. B. C. D. 85 解析 由题意,函数 , 令,则,可得 , 故的值域为 .故选A. 86 规律方法 求分式型函数的值域常用技巧——分离常数、裂项,此题在裂项之后再结合不等式的性 质求函数的值域. 87 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[安徽合肥八中等校2023高一期中联考] 若某函数的定义域与其值域的交集是 ， 则称该函数为“交汇函数”.下列函数是“ 交汇函数”的是( ) AB A. B. C. D. 89 解析 由“交汇函数”的定义可知“ 交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为 . 对于选项A,的定义域,值域,则 ,A正确； 对于选项B,的定义域,令,则 , 值域,则 ,B正确； 对于选项C,,,, ,定义域 ,值域,则,C错误；对于选项D, 的定义域 ,由题可得, , ,即, ,即值域,则 ,D错误.故 选 . 90 归纳总结 求函数的定义域,主要包括:偶次根式中被开方数不小于0、分母不为0、自变量的实际意 义等；求函数的值域实际上就是求函数的最值问题（如无最值则为无穷大或无穷小）,但要注意值 域是否连续. 91 高中必刷题 主讲老师 6.[浙江嘉兴四校2024高一联考] 已知函数的定义域为，满足 ， 当时，总有，则 的值是( ) B A. B. C. D. 93 解析 在等式中,令可得,令 ,可得 , 因为当时,总有,所以 , 所以,解得 . 94 高中必刷题 主讲老师 7.已知函数，则 ____. 解析 令,则 , 将其代入中得,即,则 . 96 多种解法 令,解得,则 . 97 高中必刷题 主讲老师 8.[江西景德镇2024高一月考] 若函数的定义域为，则实数____，实数 的 取值范围为________. 解析 因为函数的定义域为则 而函数的定义域为,所以,,即, . 99 高中必刷题 主讲老师 9.[河北衡水中学2023高一期中] 已知函数 . （1）若函数的定义域为，求实数 的取值范围； 【解】因为函数的定义域为,所以在 上恒成立. 当时, ,不符合题意； 当时,要使在上恒成立,即在 上恒成立,只需 解得,所以实数的取值范围为 . 101 （2）若函数的值域为，求实数 的取值范围. [答案] 当时, ,符合题意； 当时,要使函数的值域为,只需解得 .综上 所述,实数的取值范围为 . 102 名师点拨 定义域为等价于根号下被开方数大于或等于0在上恒成立,值域为 等价于根号 下被开方数可以取遍非负数,再结合图象和判别式求参数的取值范围. 103 高中必刷题 主讲老师 10.[山东临沂2024高一段考] 已知函数 . （1）求与，与 的值. 【解】 , ； , . 105 （2）由（1）中求得的结果，你能发现与 有什么关系？证明你的发现. [答案] 由（1）中求得的结果,归纳推理可得 . 证明： . 106 （3）求 的值. [答案] 因为 , 所以 . 107 归纳总结 类似第（3）问求很多函数值之和的问题,往往不是一一代入求值,多观察所求函数值对 应自变量的关系,找规律后再求和. 108 高中必刷题 主讲老师 11.[2023全国高中数学联赛北京赛区预赛] 已知集合,映射 ,且满足对任意 ,有,则这样的“ ”一共有____个. 13 110 解析 分情况讨论： ①当 时，满足的情况有 ②当 时，满足的情况有 111 ③当 时，满足的情况有 故这样的“ ”一共有13个. 112 $$