第2章 一元二次函数、方程和不等式 素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 2 第二章素养检测 刷速度 2 高中必刷题 主讲老师 建议用时：90分钟 1.[广东广州广雅中学2024高一期中] 下列说法错误的是( ) B A.若，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若,，则 4 解析 因为,且,所以 ,故A正确； 当,时,满足,,此时,不满足 ,故B错误； 因为,所以,又,所以 ,故C正确； 若,,则,即 ,故D正确. 故选B. 5 高中必刷题 主讲老师 2.不等式 的解集为( ) B A. B.或 C.或 D. 7 解析 不等式可化为,即,解得或 .故 所求不等式的解集为或 .故选B. 8 高中必刷题 主讲老师 3.已知，是两个实数，且，有如下三个式子： ， ， .其中恒成立的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10 解析 不恒成立； 恒成立； ③当,时,,故 不恒成立.故选B. 11 高中必刷题 主讲老师 4.[江苏南京金陵中学2024高一期中] 已知“”的必要不充分条件是“ 或 ”，则实数 的最大值为( ) D A. B.0 C.1 D.2 13 解析 解,可得或.由题意可得, 且等号不同时 成立，解得,则实数 的最大值为2.故选D. 14 高中必刷题 主讲老师 5.[山西运城2024高一月考] 若两个正实数，满足，且不等式 有解， 则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.或 16 解析 ,当且仅当 , 时等号成立.要使得不等式有解,只需 有解即可, 解得或 ,故选D. 17 高中必刷题 主讲老师 6.[湖北黄冈2024高一段考] 已知命题“， ”为真命题， 则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 19 解析 因为命题“, ”为真命题, 所以命题“, ”为真命题, 所以时, . 因为 , 所以当时,,当且仅当 时取得等号. 所以时,,即实数的取值范围是 . 故选C. 20 高中必刷题 主讲老师 7.已知，，且，则 的最大值为( ) C A.2 B. C. D. 22 解析 ,,配凑得 , 两边同时除以4得,即,令, ,则 ,,, , 当且仅当,即,也即, 时等号成立.故选C. 23 高中必刷题 主讲老师 8.记不等式，的解集分别为，， 中有且只有两个正 整数解，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 25 解析 由可得或,所以或 . 因为中有且只有两个正整数解,所以 ,对于方程 ,判别式 ,所以方程的两根分别为, , 所以 . 因为中有且只有两个正整数解,所以当时,解得 ,此时 , ,不符合题意； 当时,则 即解得 所以. 综上所述,实数的取值范围为 .故选B. 26 高中必刷题 主讲老师 9.[浙江金华、台州七校2024高一联考] 下列命题叙述正确的是( ) CD A.，当时， B.，当时， C.，当时， D.，当时， 28 解析 对于A,取,,,满足,且,此时,, ,故A错误； 对于B,取,,,满足, , 此时,,则 ,故B错误； 对于C,因为,当时,, , 所以,则 ,故C正确； 对于D,存在,,,,,满足 ,故D正确. 故选 . 29 高中必刷题 主讲老师 10.[重庆南开中学2023高一期中] 已知关于的不等式的解集为 或 ,则( ) AC A. B.点 在第二象限 C.的最大值为 D.关于的不等式的解集为或 31 解析 原不等式等价于 因为解集为或,所以且, ,故A正确. 因为,,所以,所以点 在第三象限,故B错误. , 因为 , 所以,当且仅当,即时取等号,故C正确. 由 得 ,即,解得,因此解集为 ,故D错误. 32 高中必刷题 主讲老师 11.[黑龙江哈尔滨一中2023高一月考] 已知,,且 ,则( ) CD A.的取值范围是 B.的取值范围是 C. D.的最小值是 34 解析 因为,,且,所以,当且仅当 时取 等号,注意到,,则解得,即,所以的取值范围为 , 故A错误； 又,当且仅当时取等号,解得,又 , 所以 ,故B错误； 由,得,所以,所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 或时取等号,由于,故等号无法取到,故 ,故C正确； 35 , 当且仅当,即时取等号,此时取得最小值,故D正确.故选 . 36 高中必刷题 主讲老师 12.已知关于的不等式在上有解，则实数 的取值范围是________________. 解析 因为关于的不等式在上有解, 的最大 值为4,所以,解得 . 38 高中必刷题 主讲老师 13.[山西太原2024高一期中] 将基本不等式 推广可得正确结论 ，当且仅当 时，等号成立.利用此结论解决问题：已 知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是___ 时，旋 转形成的圆柱体积最大，其最大值是______ . 6 解析 设矩形相邻两边的长分别为, , 则,且 , 设以长度为 的边为圆柱的高, 则圆柱的体积 , 当且仅当,即, 时取等号, 所以当矩形的长是时,圆柱的体积最大,为 . 40 高中必刷题 主讲老师 14.已知,,，，当 取最小值时， 恒成立，则实数 的取值范围是____________________. 或 解析 因为 ,所以 ,当且仅当,即 时,等号成立. 当时,,,所以当时, 取得最大 值4.所以由恒成立可得,解得或,故实数 的取值 范围是或 . 42 高中必刷题 主讲老师 15.（本小题满分13分）[辽宁部分学校2024高一期中联考] （1）设，比较与 的大小关系并证明. 【解】 .证明如下： 由 , 因为,所以,, , 所以,所以 . 44 （2）已知，，，求 的最小值. [答案] 因为,,且 , 所以,同理 , 所以 , 当且仅当时等号成立,所以 的最小值为9. 45 高中必刷题 主讲老师 16.（本小题满分15分）[河南洛阳2024高一期中] 已知函数， . （1）若方程有两根，且两根为,，求 的取值范围； 【解】方程有两根,可得,解得或 , 且, , 则 . 由或,可得,所以的取值范围为 . 47 （2）已知，关于的不等式的解集为，若 ，求实 数 的取值范围. [答案] 由 , 可得 解得,即实数的取值范围是 . 48 高中必刷题 主讲老师 17.（本小题满分15分）[山东普通高中2024高一联考] 某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会 有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3 米，底面面积为16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校 植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开 招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，底面每平方米400元.设水池宽为 米. （1）当宽为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价. 【解】设甲工程队的总造价为 元,则 , 当且仅当,即 时等号成立. 即当宽为 时,甲工程队的报价最低,最低为14 400元. 50 （2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元 （整体报价中含固定 费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数 的取值范围. [答案] 由题意可得,对 恒成立. 即 . 令 , 因为,所以 . 令, , 则在上随 的增大而增大, 且时, , 所以,即实数的取值范围为 . 51 高中必刷题 主讲老师 18.（本小题满分17分）[北京朝阳区和平街第一中学2023高一月考] 已知函数 . （1）若关于的不等式的解集为全体实数，求实数 的取值范围； 【解】①当时,不等式可化为,解得 ,故不成立； ②当时,的解集为全体实数 , 解得 . 综上所述,实数的取值范围为 }. 53 （2）若关于的方程的两根为，，且，，求实数 的取值范围. [答案] 关于的方程的两根为,,且, , 即 54 又, , 解得或或 . 故实数的取值范围为或或 . 55 名师点拨 此题将,的条件转化为 而不能直接用 , ,因为后者与原来的条件并不等价. 56 高中必刷题 主讲老师 19.（本小题满分17分）[湖南长沙一中2023高一阶段检测] 若实数，， 满足 ，则称比更远离 . （1）若比更远离1，求实数 的取值范围； 【解】由题意可得,即,解得 , 所以实数的取值范围为 . 58 （2）判断是比更远离 的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件），并加以证明； 【解】是比更远离 的充分不必要条件,证明： ①已知,则,可得,即 , 所以是比更远离 的充分条件. ②已知比更远离,则,举例,,,满足 , 但不满足,所以不是比更远离的必要条件. 综上,是比 更远 离 的充分不必要条件. 59 （3）已知，，若，证明:比更远离 . 【证明】因为, , , 当且仅当即 时,等号成立. 因为,由（2）可知比更远离 ,即得证. 60 $$