2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 2.3 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 刷基础 2 高中必刷题 主讲老师 1.[江苏苏州中学2024高一期中] “”是“ ”的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 4 解析 由,解得 , 因为,,故“”是“ ” 的必要不充分条件.故选A. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 5 高中必刷题 主讲老师 2.下面四个不等式中解集为 的是( ) C A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 7 解析 利用“ ”判断,在不等式 中,对应一元二次方程的判别式 , 该不等式的解集为 ,其他可类似判断.故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 8 归纳总结 解一元二次不等式的一般步骤 ①通过对不等式变形,使二次项系数大于零； ②计算对应一元二次方程的判别式； ③求出相应的方程的根,或根据判别式说明方程没有实根； ④根据对应二次函数图象与 轴的位置关系写出不等式的解集. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 9 高中必刷题 主讲老师 3. 不等式 的解集为____________________________. 或 解析 由得或 ； 由得 . 或 . 原不等式的解集为或 . 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 11 链接教材 本题由教材P53第1题衍变而来，注意解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要 写成集合的形式. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 12 高中必刷题 主讲老师 4.[陕西咸阳实验中学2023高一月考] 关于的不等式的解集是 的子集，则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C.或 D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 14 解析 当,即时,的解集为 , ,符合条件. 当,即时,不等式的解集为 , 所以,所以解得 . 当,即时,不等式的解集为 , 所以,所以解得 . 综上, .故选D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 15 高中必刷题 主讲老师 5.[湖北黄冈普通高中2024高一联考] 设集合 ，集合 ,，若中恰有两个整数，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 17 解析 由题知,方程的两根异号,且两根之积为 . 设 , ①若中恰有两个整数为2,3,则有解得 ； ②若中恰有两个整数为,2,则有且 此时a无实数解 ； ③若中有两个整数为,,则有 又，故此时a无实数解. 综上可得 .故选B. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 18 高中必刷题 主讲老师 6.关于的不等式 的解集为________________. 解析 原不等式即为 . ①当时,,解得,故不等式的解集为 ； ②当时,,解原不等式可得,此时原不等式的解集为 ；③当 时,,解原不等式可得或,此时,原不等式的解集为或 ； 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 20 ④当时,原不等式即为,解得,此时,原不等式的解集为 ； ⑤当时,,解原不等式可得或,此时,原不等式的解集为 . 综上所述,当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为或 ； 当时,原不等式的解集为 ； 当时,原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 21 规律方法 对含参数的二次不等式的讨论顺序为：第一步讨论二次项系数是否为0；第二步讨论二 次函数图象的开口方向；第三步讨论一元二次方程根的个数；第四步讨论根的大小；第五步结合 草图写出解集. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 22 高中必刷题 主讲老师 7.[河南2023高一选调考试] 已知，且关于的不等式 的解集为 或，其中，则 的最大值为( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 题型3 三个“二次”之间的关系 24 解析 由的解集为,可得,又, 是方程 的两根,且,解得 . 由根与系数的关系知解得,,所以 ,当且 仅当时等号成立,即.因为,所以 的最大值为0.故选A. 题型3 三个“二次”之间的关系 25 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）[湖北鄂东南省级示范校2024高一联考] 已知关于的不等式 的解集 为 ，则( ) ABD A.函数 有最大值 B. C. D.的解集为或 题型3 三个“二次”之间的关系 27 解析 因为不等式的解集为 ,所以 , , 函数 的图象开口向下,有最大值,A正确； 又,函数值 ,即B正确； 又,3是关于的二次方程的两根,则 所以,,则,C错误；不等式即为 , 即, 解得（舍去）或,所以或 ,D正确. 故选 . 题型3 三个“二次”之间的关系 28 高中必刷题 主讲老师 9.[辽宁省实验中学2023高一期中] 已知全集为，集合 , ，则 ( ) C A. B. C. D. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 30 解析 因为,所以,所以,且,解得 ,故 . 又,即,解得,故 . 又,故 .故选C. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 31 特别注意 解分式不等式时,若不能确定分母恒正或恒负,则不可将分母直接乘到另外一边,需要将其 转化为二次不等式再解决,同时注意分母不为0. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 32 高中必刷题 主讲老师 10.[云南师大附中2024高一月考] 若关于的不等式的解集是 ， 则关于的不等式 的解集是( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 34 解析 由题意可得,,即, , 则有,即,解得 或,即解集为或 .故选B. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 35 高中必刷题 主讲老师 11.[安徽安庆2023高一月考] 不等式 的解集为_______________________________. 或或 解析 由,得 令,解得,,, , 采用“穿针引线法”,如图所示, 由图可得 的解集为或或 . 即的解集为或或 . 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 37 归纳总结 对于高次不等式可利用穿针引线法进行求解,求解的步骤如下 （1）对不等式进行移项并分解因式,使得不等式右侧为0且含 的最高次项系数为正,例如本题中 需化为 ； （2）解出不等式对应方程的所有根并在数轴上依次标出； （3）以数轴为标准,从最右根的右上方往左下画线,依据“奇穿偶不穿”原则依次穿过各根；（4） 根据不等号方向选取轴上方或轴下方的部分（注意在 轴上的点的选取）,即可得出不等式的解 集. 题型4 分式不等式及高次不等式的解法 38 高中必刷题 主讲老师 12. [辽宁葫芦岛协作校2024高一联考] 若关于的不等式的解集是 ， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C.或 D.或 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 40 解析 当时,恒成立,则 符合题意； 当时,由题意可得解得 . 综上,实数的取值范围是 . 故选B. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 41 链接教材 这道题目是由教材上的P58第6题改编得到的,基本的解题思路是对 分类讨论,利用一元 二次不等式的解集与判别式的关系即可得出. 规律方法 一元二次型不等式恒成立的解题方法 （1）不等式对任意实数恒成立等价于或 （2）不等式对任意实数恒成立等价于或 题中若明确说是一元二次不等式,则；若未明确说是一元二次不等式,则要考虑 的情况. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 42 高中必刷题 主讲老师 13.（多选）已知关于的不等式 ，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确 的是( ) BD A.不等式的解集可以是 B.不等式的解集可以是 C.不等式的解集可以是 D.不等式的解集可以是 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 44 解析 选项A,假设结论成立,则 无实数解,故选项A错误； 选项B,当,时,不等式恒成立,则解集是 ,故选项B正确； 选项C,当时,,则解集不可能为 ,故选项C错误； 选项D,假设结论成立,则 解得符合题意,故选项D正确.故选 . 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 45 高中必刷题 主讲老师 14.[浙江杭州学军中学2024高一月考] 若关于的不等式 在集合 上有解，则实数 的最小值为( ) B A.9 B.5 C.6 D. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 47 解析 因为不等式在集合上有解,所以 （点悟：,移项后,可看作不等式两边同时除以不等号的方向不变）在集合 上 有解, 所以 , 又因为,当且仅当,即 时取等号, 所以,所以,即实数 的最小值为5,故选B. 题型5 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 48 高中必刷题 主讲老师 15.[广东佛山多校2024高一期中联考] 某市有块三角形荒地，如图所示， ,米，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地 ，其中 ,,点分别在线段,,上.若要求绿地的面积不少于7 500平方米，则 的长 度（单位：米）范围是( ) B A. B. C. D. 题型6 一元二次不等式的实际应用 50 解析 在中, ,, 为等腰直角三角形, 设米,则米, 米, 依题意有,解得 . 即的长度（单位：米）范围是 . 故选B. 题型6 一元二次不等式的实际应用 51 归纳总结 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 ①理解题意,搞清量与量之间的关系； ②建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； ③解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 题型6 一元二次不等式的实际应用 52 高中必刷题 主讲老师 16.[陕西部分学校2024高一联考] 某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租 价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高 元 ，则被租出的礼服会减少 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超 过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( ) C A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 题型6 一元二次不等式的实际应用 54 解析 依题意,每天有 套礼服被租出, 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 （元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元, 所以 , 即,解得.因为且,所以 , 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选C. 题型6 一元二次不等式的实际应用 55 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 主讲老师 17.若集合 ，则实数 的取值范围是______________. 解析 ①若,则不成立,此时不等式 的解集为空集； ②若,则解得.综上,实数的取值范围是 . 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 57 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 主讲老师 18.若不等式对任意实数均成立，则实数 的取值范围是_______________. 解析 ①当时, 恒成立,满足条件. ②当时,则,解得 . 综上,实数的取值范围是 . 易错警示在中学阶段,“判别式”是与“二次”联系在 一起的,对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断.在处理与 相关的问题时,要注 意对 系数的讨论. 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 59 易错点2 随意消项致错 主讲老师 19.解不等式： . 【解】原不等式可化为或,解得或或 . 所以原不等式的解集为或或 . 易错点2 随意消项致错 61 易错警示 易错解为,因为,所以 ,所以 或 . 故原不等式的解集为或 . 错误是由于随意消项造成的,事实上,当 时,原不等式亦成立. 易错点2 随意消项致错 62 易错点3 认为分式不等式与二次不等式等价致错 主讲老师 20.解不等式： . 【解】原不等式可化为 解得,所以原不等式的解集为 . 易错点3 认为分式不等式与二次不等式等价致错 64 易错警示 认为分式不等式与二次不等式等价,没有考虑分母不能为0是造成错误的主要原因. 易错点3 认为分式不等式与二次不等式等价致错 2.3 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 刷能力 66 高中必刷题 主讲老师 建议用时：30分钟 1.[辽宁省实验中学2024高一期中] 已知集合，集合 ， 则 ( ) D A. B. C. D. 68 解析 , , . 故选D. 69 高中必刷题 主讲老师 2.[吉林省实验中学2024高一月考] 不等式 的解集为( ) D A.或 B. C. D. 71 解析 由得,所以 , 解得,所以不等式的解集为 .故选D. 72 高中必刷题 主讲老师 3.在上定义运算，则满足的实数 的取值范围为( ) B A. B. C.或 D. 74 解析 ,,即 ,解得 .故选B. 75 高中必刷题 主讲老师 4.[江苏徐州高级中学2024高一期中] 已知关于的不等式的解集是 或 ，则不等式 的解集是( ) B A. B. C. D. 77 解析 关于的不等式的解集是或 , 和3是方程的两个实数根,且 . 则解得 所以不等式等价于,即 , 解得 . 所以不等式的解集是 ,故选B. 78 高中必刷题 主讲老师 5.[安徽合肥2023高一期中] 不等式 <m></m> 的解集为 <m></m> ，则实数 <m></m> 的取值范 围是( ) A A. B. C. 或 D. 80 解析 原不等式整理可得 . 当 时， ，不等式恒成立； 设 ，当 时函数为二次函数， 要恒小于0，则二次函数图 象开口向下且与 轴没有交点，即需 解得 . 综上, .故选A. 81 【规律方法】不等式对任意实数 恒成立，就是不等式的解集为 ， 对于一元二次不等式 ，它的解集为 的条件为 对于一元二次不等式 ，它的解集为 的条件为 对于一元二次不等式 ，它的解集为 的条件为 82 高中必刷题 主讲老师 6.[湖北武汉部分学校2024高一期中] 已知关于的不等式 恰有四个整数解， 则实数 的取值范围是( ) C A. B. C.或 D.或 84 解析 不等式,可化为 . 当时,不等式 的解集为空集,不符合题意； 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 ; 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 . 综上可得,实数的取值范围是或 .故选C. 85 高中必刷题 主讲老师 7.[江西南昌一中2024高一期中] 若两个正实数，满足，且不等式 有 解，则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.或 87 解析 不等式有解, , ,, , , 当且仅当,即, 时,等号成立, , , 或 , 实数的取值范围是或 .故选D. 88 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）已知关于的不等式的解集是，其中 ， 则下列结论中正确的是( ) ACD A. B. C. D. 90 解析 由题设,不等式,即的解为 , ,则, ,则A,D正确； 原不等式可化为,令 ,由题意可知 函数图象开口向下,与轴两交点的横坐标分别为和1,与直线 两交 点的横坐标分别为,,且,作出大致图象如图所示, 由图知 ,,故B错误,C正确.故选 . 91 高中必刷题 主讲老师 9.[广东湛江2023高一月考] 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 的内 接矩形花园（阴影部分），则其一边长（单位: ）的取值范围是________________. 解析 设矩形的另一边长为,由三角形相似得,且,,所以 . 又矩形的面积,所以,解得,所以其一边长 的取值范围是 . 93 特别注意 实际问题中一定要注意隐含条件,如本题中, . 高中必刷题 主讲老师 10.[江苏无锡天一中学2024高一期中] 已知,，若时，关于 的不等式 恒成立，则 的最小值为_____. 解析 由,可知函数中随的增大而增大,且当时,；当 时, . 由在 时恒成立, 则当时, 恒成立； 当时, 恒成立. 故有时,,则有 , 则有,当且仅当 时等号成立. 96 高中必刷题 主讲老师 11.[2024中国科学技术大学创新班考试] 求所有的实数，使对任意 恒成立. 【解】①若方程有实数解，则.此时 ，则 有，则，又易知该不等式在 时不成 立，故该情况不满足题意. ②若方程不存在实数解，则恒成立，此时 ，解得 ,则原不等式等价于或 . 当时，有， ， 98 ； 当时，有 ， ， . 综上所述，所求实数的取值范围为 . 99 $$