1.2 集合间的基本关系-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 1.2 1.2 集合间的基本关系 刷基础 2 高中必刷题 主讲老师 1.（多选）下列说法中，正确的有( ) ABD A.是菱形 是平行四边形} B.若，，则 C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D.若不属于集合的元素一定不属于集合，则 题型1 子集、真子集的概念 4 解析 菱形一定是平行四边形,故选项A正确； 真子集具有传递性,故选项B正确； 若一个集合是空集,则没有真子集,故选项C错误； 由图易知选项D正确.故选 . 题型1 子集、真子集的概念 5 高中必刷题 主讲老师 2.设集合，, ，则它们之间最准确的关系是( ) C A. B. C. D. 题型1 子集、真子集的概念 7 解析 由集合A得,,则 . 由集合B得, , 则…,-,,,,,,,… . 所以 ,故选C. 题型1 子集、真子集的概念 8 归纳总结 判断集合间的关系的技巧 （1）对于离散的数集和点集可以采用列举法写出一部分元素,观察两集合的关系； （2）对于连续数集可以用数轴分析其关系； （3）对于较为抽象的其他集合可以检验其中一个集合的元素是否满足另外一个集合的性质,从而 判断该集合是否包含于另外一个集合. 题型1 子集、真子集的概念 9 高中必刷题 主讲老师 3.[湖北重点中学2024高一联考] 集合，,,且，则集合 的真子集的个数为( ) C A.5 B.15 C.31 D.32 题型1 子集、真子集的概念 11 解析 由,,,且 , 得,,,, ,集合B中含有5个元素, 所以集合B的真子集个数为 .故选C. 题型1 子集、真子集的概念 12 二级结论 若集合中有个元素,则子集个数为,非空子集个数为,真子集个数为 ,非 空真子集个数为 . 题型1 子集、真子集的概念 13 高中必刷题 主讲老师 4.已知集合,，,},则满足条件 的集 合 的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 子集、真子集的概念 15 解析 由题得,.因为 ,所以根据子集和真子集的定义,集合C必须含 有元素2,5,所以或或 .故选C. 题型1 子集、真子集的概念 16 多种解法 因为中有2个元素,中有4个元素,且,则集合有 （个）. 二级结论 若集合中有个元素,集合中有个元素,且 . 当时,集合有 个； 当时,集合有 个； 当时,集合有 个； 当时,集合有 个. 题型1 子集、真子集的概念 17 高中必刷题 主讲老师 5.[云南昆明2024高一月考] 设集合,，,,，若，则 ( ) B A.2 B.1 C. D. 题型2 根据集合间的关系求参数 19 解析 因为,,,,,且 , 所以或 , 当时,,则,,,此时不满足 , 所以 舍去； 当时,,则,,,, ,符合题意. 综上, .故选B. 题型2 根据集合间的关系求参数 20 高中必刷题 主讲老师 6. [江苏苏州2024高一月考] 已知集合 ， .若，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型2 根据集合间的关系求参数 22 解析 当 时,满足,此时,解得 ； 当 时,由得解得 . 综上所述,实数的取值范围为 . 故选C. 题型2 根据集合间的关系求参数 23 链接教材 本题由教材P9第5题衍变而来解出题需注意根据此题给出的包含关系,需要分别讨论 和 的情况. 题型2 根据集合间的关系求参数 24 高中必刷题 主讲老师 7.[河北师大附中2024高一月考] 下面选项中的两个集合相等的是( ) C A., B.,, C., D. , 题型3 集合相等与空集 26 解析 对于A,两个集合都是点集,但两个集合的元素不相同,所以不是相等集合,故A错误； 对于B,集合表示数集,有2个元素,分别是1和0,集合是点集,只有1个元素,为 ,所以不是相等 集合,故B错误； 对于C,,得,即 ,故C正确； 对于D,集合是空集,但集合是非空集,里面有1个元素 , 所以不是相等集合,故D错误.故选C. 特别注意 注意区分数集与点集,分辨集合元素的无序性和有序点对的有序性. 题型3 集合相等与空集 27 高中必刷题 主讲老师 8.给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则 . 其中正确的说法有( ) A A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型3 集合相等与空集 29 解析 由于任何一个集合都是它本身的子集,则空集的子集还是空集,故①不正确； 因为空集的子集还是空集,所以空集的子集只有一个,故②不正确； 因为空集的子集还是空集,所以空集没有真子集,故③不正确； 由于,则或 ,故④不正确. 综上,正确的说法有0个.故选A. 题型3 集合相等与空集 30 高中必刷题 主讲老师 9.[黑龙江大庆实验中学2024高一月考] 若含有三个实数的集合既可表示成 ，又可表示成 ,,，则 ___. 1 题型3 集合相等与空集 32 解析 由,,以及集合元素的性质可知且,则, , ,则,， . 题型3 集合相等与空集 33 归纳总结 两集合相等的常见考法及解法 （1）若两个集合相等,则所含元素完全相 同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形. （2）若两个集合中元素均有无限多个,则要看两集合的代表元素是否一致,再看代表元素满足的条 件是否一致.若均一致,则两集合相等. （3）证明集合与相等的常用思路是证“且 ”. 题型3 集合相等与空集 34 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 主讲老师 10.（多选）[山东滨州2023高一月考] 下列表述正确的是( ) BC A. B. C. D. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 36 解析 A中,两个集合之间是包含关系,故A错误； B中,,是相等的集合,所以 ,故B正确； C中,空集是任何集合的子集,故C正确； D中,空集与一个非空集合不相等,故D错误.故选 . 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 37 易错警示（1）元素与集合的关系为属于、不属于；集合与集合的关系为包含、不包含. （2）集合相等也是集合包含的一种情况. （3）空集和 并不相等. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 38 易错点2 忽视对空集的讨论而致错 主讲老师 11.[河南安阳2024高二月考] 设集合，集合 ，若 ，则实数 取值集合的真子集的个数为( ) C A.2 B.3 C.7 D.8 易错点2 忽视对空集的讨论而致错 40 解析 由 , 得 , 解得或 , 所以 . 当时, ,满足 ； 当时,,因为,所以或,解得或 . 综上,实数取值的集合为 , 所以实数取值集合的真子集的个数为 ,故选C. 易错点2 忽视对空集的讨论而致错 41 易错警示 求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时,应考虑该集合为空集的特殊情况,本题 求解的易错之处是忽视集合 为空集的特殊情况而导致漏解. 易错点2 忽视对空集的讨论而致错 42 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 主讲老师 12.已知集合，.若，则实数 的取值范围为 ______________；若，则实数 的取值范围为_____________. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 44 解析 ,集合, , 解得, 实数的取值范围是 . 若,则当 时, , 得 ； 当 时,,且 无解. 故实数的取值范围是 . 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 45 易错警示 在根据集合间的关系求参数时,需要注意端点处的值是否取等号,最有效的方法是假设可 以取等号,如果满足就可以取等号,不满足则取不到等号. 本题第1空因为 ,故不需要考虑 的情况；第2空根据 求参时, 还要考虑 的情况. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 46 1.2 1.2 集合间的基本关系 刷提升 47 高中必刷题 主讲老师 1.（多选）下列选项中正确的是( ) CD A.{质数}{奇数} B.集合与集合 没有相同的子集 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若，，则 49 解析 2是质数,但它不是奇数, 所以{质数} {奇数}错误,所以A错误； 集合与集合有相同的子集 ,所以B错误； 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以C正确； 若,,则,所以D正确.故选 . 50 高中必刷题 主讲老师 2.[福建南平2024高一月考] 下列关系式错误的是( ) D A.,, B.,, C. D. 52 解析 对于A,由集合间的关系和集合中元素的无序性知,, ,故A正确； 对于B,由集合中元素的无序性知,, ,故B正确； 对于C,0是集合的元素,所以 ,故C正确； 对于D, 是集合 的子集而非元素,故D错误. 故选D. 53 高中必刷题 主讲老师 3.设集合,.若,则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 55 解析 由题化简得集合,结合数轴可知,要使,则只要即可,即实数 的取值 范围是 .故选D. 56 归纳总结 根据集合间基本关系求参数时,应根据集合的元素种类（数集、点集）,转化为对应方程 （组）或不等式（组）,再求出参数的值或取值范围.转化过程可借助数轴、 图、函数图象等. 57 高中必刷题 主讲老师 4.已知集合,，,，则对集合, 之间的关系表述最准确 的为( ) C A. B. C. D. 59 解析 因为,所以为正偶数,又也表示正偶数,所以,故.因为,且 ,所 以 .故选C. 60 高中必刷题 主讲老师 5.[河南二十名校2024高一联考] 已知集合,,，则满足 , 的集合 的个数为( ) A A.16 B.14 C.8 D.2 62 解析 由集合,, , 可得集合A中的元素有,,,,, , 所以集合,,,的任何一个子集,添加元素, 后都可以作为集 合B, 所以符合条件的集合B共有 个. 故选A. 63 高中必刷题 主讲老师 6.[吉林吉化一中2024高一月考] 已知集合,, ， ，则下列,, 的关系正确的是( ) B A. B. C. D. 65 解析 由,,, , 而为奇数,为整数,又,所以 .故选B. 66 高中必刷题 主讲老师 7.[山西大同2024高一期中] 非空数集,,, , 的所有元素的算术平均数记为 ，即.若非空数集满足下列两个条件：（1） ；（2） ，则称为的一个“保均值子集”.据此推理，集合 的“保均值子集”有 ( ) C A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 68 解析 非空数集中,所有元素的算术平均数 , 在所有子集中选出元素的算术平均数为5的子集即可, 所以集合A的“保均值子集”有,,,,,, ,共7个.故选C. 69 高中必刷题 主讲老师 8.设均为实数，若集合,, 的所有非空真子集的元素之和为12，则 ___. 4 71 解析 集合,,的所有非空真子集为,,,,,,,, .由题意可得 ,解得 . 72 高中必刷题 主讲老师 9.[湖北孝感高级中学2024高一调研] 已知整数集合关于的方程 有整 数解，集合满足条件：；②若，则.则所有这样的集合 的个数为____. 31 74 解析 由题意可得.设关于的方程的两个根分别为, ,则 所以方程 的整数解只能是36的约数. 当方程的解为,36时, ； 当方程的解为,18时, ； 当方程的解为,12时,；当方程的解为,9时,；当方程的解为,6时, ； 当方程的解为1,时, ； 75 当方程的解为2,时, ； 当方程的解为3,时, ； 当方程的解为4,时, . 故集合,,,,0,5,9,16, . 由集合满足条件：；②若,则, 得集合 中互为相反数的两个元素同属 于集合或同不属于集合,因为集合 中有4对相反数和元素0, 所以这样的非空集合共有 个. 76 思路导引 根据集合{关于的方程 有整数解},利用一元二次方程根与系数 的关系,可求出集合,进而根据已知中集合满足的两个条件,可得互为相反数的两个元素同属于 或同不属于,进而得到满足条件的集合 的个数. 77 高中必刷题 主讲老师 10.已知集合, . （1）若是的子集，求实数 的值； 【解】由题意得, . 若是的子集,则, , 所以 解得 . 79 （2）若是的子集，求实数 的取值范围. [答案] ①若为空集,则,解得 ； ②若为单元素集合,则,解得 , 将代入方程,得,即, ,符合要求； ③若为双元素集合,则,,则由（1）可知 . 综上所述,实数的取值范围为或 . 80 思路导引（1）由题意得中含有两个元素,若,且中最多有两个元素,则 ； （2）由,对集合分为空集、为单元素集合、 为双元素集合三种情况讨论. 81 高中必刷题 主讲老师 11.[2023全国高中数学联赛北京赛区预赛] 是集合,2, , 的子集，满足任意两个元素的 平方和不是9的倍数，则的最大值是________（这里表示 的元素个数）. 1 350 83 解析 ，，，，，，，， ， 的平方是9的倍数的数有3个：3，6，9， 的平方除以9的余数分别是1，4，0，7，7， 0，4，1，0， 任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7, ,,,,,,,, , ,,1,4,7的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 任意两个数的平方和是 9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的倍数， 余1, 的平方是9的倍数的数有674个，的最大值为 . 84 $$