1.1 集合的概念-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (人教A版)

数学 必修第一册 RJA 1 1.1 1.1 集合的概念 刷基础 2 高中必刷题 主讲老师 1.[天津南开区2024高一质量检测] 下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2024年入学的全体高一年级新生; 的所有近似值;③某个班级中学习成绩较好的所有 学生;④不等式 的所有正整数解. B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 集合的含义与元素的特征 4 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定,即是否能找到一个明确的 标准,确定任意一个对象是不是给定集合中的元素. 题型1 集合的含义与元素的特征 5 解析 对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生,对象确定,能构成集合, 故①正确； 对于②： 的所有近似值,根据精确度不一样得到的近似值不一样,因此对象不确定,故不能构成集 合,故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的,故这些学生对象不确定,不能构成集合,故③错误； 对于④：不等式 的所有正整数解有1,2,3,能构成集合,故④正确. 故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 6 高中必刷题 主讲老师 2.[四川成都树德中学2024高一期中] 集合,中实数 的取值范围是( ) D A.或 B.且 C.或 D.且 题型1 集合的含义与元素的特征 8 解析 由集合中元素的互异性可知,,解得且 , 所以实数的取值范围为且 . 故选D. 题型1 集合的含义与元素的特征 9 高中必刷题 主讲老师 3.由实数,,,,, 所组成的集合，最多可含有的元素个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 名师点拨 集合中的元素满足互异性,相同的元素只能算一个. 题型1 集合的含义与元素的特征 11 解析 由题意,,,可分别化为,,,所以由实数,,,,, 所组 成的集合,最多可含有3个元素,分别为,,,此时且 .故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 12 高中必刷题 主讲老师 4.[广东广州育才中学2024高一期中] 下列关系式中，表达正确的个数为( ) ；②；③；④ . A A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 元素与集合的关系 14 解析 对于①, ,①错误； 对于②, ,②正确； 对于③, ,③错误； 对于④, ,④错误. 故正确的个数为1.故选A. 题型2 元素与集合的关系 15 高中必刷题 主讲老师 5.[辽宁重点高中协作校2024高一期中] 已知集合,,，且是 中的一个元 素，则 ( ) A A. B.或3 C.3 D.或 题型2 元素与集合的关系 17 解析 集合,,,且 . ①当时,,此时,,集合 中的元素不满足互异性,故不符合题意,舍 去； ②当时,（舍）或 , 若,则,此时集合,,,符合题意. 综上所述, .故选A. 题型2 元素与集合的关系 18 高中必刷题 主讲老师 6.（多选）[山西省实验中学2023高一月考] 已知，，为非零实数，代数式 的值所组成的集合是 ，则下列判断正确的是( ) CD A. B. C. D. 题型2 元素与集合的关系 20 解析 ,,同为正数时,代数式的值为4,所以；当,, 中只有一个负数或有两个负数时,代数 式的值为0；当,,同为负数时,代数式的值为.故选 . 题型2 元素与集合的关系 21 高中必刷题 主讲老师 7.（多选）若集合,, ，则( ) ABD A. B. C. D. 题型2 元素与集合的关系 23 解析 对于选项A,,存在,或, 使其成立,故选项A正确. 对于选项B,,存在, 使其成立,故选项B正确. 对于选项C,由,可得, , 若,则,可得, ,不成立； 若,则,可得, ,不成立； 若,则, ,不成立； 若,则, ,不成立. 所以不存在整数,使 成立,故选项C不正确. 对于选项D,,此时存在,或,使其成立,故选项D正确.故选 . 题型2 元素与集合的关系 24 高中必刷题 主讲老师 8.已知集合，且,, . （1）判断是否为 中元素； 【解】因为,此时,,不满足,所以 不是 集合 中元素. 题型2 元素与集合的关系 26 （2）设，求证： ； 【证明】因为,所以可设,, ,所以 .因为, 都是整 数,且,所以 . 题型2 元素与集合的关系 27 （3）证明：若，则 是偶数. 【证明】因为,所以可设,所以 , 由,可得.因为,所以为偶数,即 为偶数. 题型2 元素与集合的关系 28 规律方法 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法:对于一些没有直接给出元素的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特 征即可. 题型2 元素与集合的关系 29 高中必刷题 主讲老师 9.[广东佛山2024高一月考] 方程组 的解用集合表示为( ) C A., B.或 C. D. 题型3 集合的表示方法 31 名师点拨 此类题考查集合元素类型的辨析,正确解出方程组,方程组的解是有序实数对,其解集是由 有序实数对构成的集合,容易出现概念混淆,把解集的形式弄错. 题型3 集合的表示方法 32 解析 由解得 所以方程组的解集是或 .故选C. 题型3 集合的表示方法 33 高中必刷题 主讲老师 10.已知集合，,，则集合 中元素个数为( ) A A.5 B.6 C.8 D.9 题型3 集合的表示方法 35 解析 集合,,,则当时, ； 当时,或 ; 当时,或 . 所以,,0,1, ,集合B中有5个元素.故选A. 题型3 集合的表示方法 36 高中必刷题 主讲老师 11.[重庆南开中学2024高一期中] 下列选项中集合, 表示同一集合的是( ) A A.， B.， C.， D.， 题型3 集合的表示方法 38 解析 A：根据集合元素的无序性,可得 ,故A正确； B：和 是不同的元素,故B错误； C：因为中的元素是有序实数对,而 中的元素是实数,所以C错误； D：因为中有两个元素,即4,3,而中有一个元素,即 ,所以D错误. 故选A. 题型3 集合的表示方法 39 高中必刷题 主讲老师 12.[江苏南京四校2024高一期中] 已知集合，若集合 中只有一个元素， 则实数 的取值的集合是________. , 题型3 集合的表示方法 41 名师点拨 当时,利用判别式即可求解 的值. 题型3 集合的表示方法 解析 当时,由方程,解得,此时集合 中只有一个元素； 当时,因为集合中只有一个元素,所以,解得 . 综上,实数的取值的集合为, . 题型3 集合的表示方法 43 高中必刷题 主讲老师 13.[河南商丘名校2024高一期中] 集合,, 中的元素个数为___. 6 题型3 集合的表示方法 45 解析 因为,即,又 ， 所以的所有可能取值为,,,分别代入可得,, ,1,2,4, 所以集合中共有6个元素. 题型3 集合的表示方法 46 高中必刷题 主讲老师 14. 选择适当的方法表示下列集合. （1） 中的所有字母组成的集合； 【解】列举法：分别列举出每个字母得{,,,,, }. （2）所有正偶数组成的集合； [答案] 描述法：正偶数可以写成正整数的2倍,所以描述法表示为, . （3）二元二次方程组 的解集； [答案] 列举法：求出该方程组的解,为或所以列举法表示为, . （4）所有正三角形组成的集合. [答案] 描述法：是正三角形 . 题型3 集合的表示方法 48 链接教材 本题目与教材P6第4题类似，选择集合表示方法需要注意： ①元素较少的有限集采用列举法更好,列举时注意元素的互异性； ②文字描述的无限集用描述法更好,注意写清楚代表元素； ③方程组的解集是点集,元素是有序实数对. 题型3 集合的表示方法 49 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 主讲老师 15.集合,,，若，则实数 ___. 2 易错警示 本题是含参数的集合问题,根据题意求出参数的值后，要注意代入检验参数的值是否满 足集合中元素的互异性.本题的易错之处是忽视检验 时是否满足集合中元素的互异性. 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 51 解析 因为,所以或 . 若,则或,当时, ,不满足元素的互异性,舍去； 当时, ,满足题意. 若,则,此时,不满足元素的互异性,舍去.综上, . 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 52 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 主讲老师 16.[江西部分学校2024高一联考] 若集合 ，则( ) B A. B. C. D. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 54 解析 由已知 , 令,,解得, , 又,则,化简得 .故选B. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 55 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 主讲老师 17.（多选）[福建泉州2024高一期中] 给出下列说法，其中正确的是( ) AD A.集合用列举法表示为， B.实数集可以表示为为所有实数或{ } C.方程组的解组成的集合为 D.方程的所有解组成的集合为 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 57 易错警示 注意区分点集和数集,常用集合,, 等外面不需要再加大括号. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 解析 对于A,解,得或或,而,因此列举法表示为 ,A正确； 对于B,符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义,而“ ”已表示所有的实数构成的集合,则实数 集可以表示为为实数或 ,B不正确； 对于C,方程组的解是有序实数对,而 表示两个等式组成的集合,C不正 确；对于D,由得且,则所有解组成的集合为 ,D正确.故 选 . 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 59 易错点3 不理解自定义的集合（运算）而致错 主讲老师 18.[山东淄博2024高一月考] 定义集合,，若， ，则 中元素的个数是___. 8 易错警示 若集合中的元素是自定义的,对自定义的正确理解是解题的关键. 易错点3 不理解自定义的集合（运算）而致错 61 解析 因为定义集合, , 又,,,,,,,, , 所以集合 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个. 易错点3 不理解自定义的集合（运算）而致错 62 高中必刷题 主讲老师 19.[全国高中数学联赛2019吉林预赛] 若集合，, ，则集 合 中所有元素的和为( ) B A. B. C. D. 解析 由题意可得,,则集合B中所有元素的和为 .故选B. 64 高中必刷题 主讲老师 20.[全国高中数学联赛2021浙江预赛] 给定实数集合， ，定义运算 ,,.若,2,4, ,，，则 中的 所有元素之和为_________. 29 970 解析 由 ,可知所有元素之和为 . 66 $$