2.3 有理数的乘方（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024新教材）

2.3有理数的乘方 【考点1 有理数幂的概念理解】 【考点2 有理数的乘方运算】 【考点3 有理数四则混合运算】 【考点4 程序流程图与有理数计算】 【考点5 算“24”点】 【考点6含乘方的有理数混合运算】 【考点7科学记数法】 【考点8近似数】 【考点9有理数四则混合运算的实际应用】 知识点1：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点2：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【考点1 有理数幂的概念理解】 【典例1】在中底数是 ，指数是 ． 【变式1-1】在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 【变式1-2】表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【变式1-3】算式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【考点2 有理数的乘方运算】 【典例2】计算的结果是 ． 【变式2-1】的值是（　　） A． B．3 C．9 D． 【变式2-2】下列四组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】下列各对数中，相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点3 有理数四则混合运算】 【典例3】计算： (1) (2) 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【变式3-2】计算 (1) (2) 【考点4 程序流程图与有理数计算】 【典例4】按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ． 【变式4-1】小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是 ． 【变式4-2】在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为 ． 【考点5 算“24”点】 【典例5】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【变式5-1】“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，，请列出符合要求的算式： ． 【变式5-2】“点”的游戏规则是：用“、、、”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是．例如：给出，，，这四个数，可以列式．以、、、这四个数用“、、、”四种运算符号列出算式为 ．（列出一种情况即可） 【考点6含乘方的有理数混合运算】 【典礼6】计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算： 【变式6-3】计算：． 知识点3：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注意： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点7科学记数法】 【典例7】2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】据中国铁路昆明局集团有限公司消息，截至2023年12月26日，丽香铁路开通运营满一个月，累计发送旅客超180000人次．数据180000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，将470000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 【考点8近似数】 【典例8】近似数是精确到（    ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 【变式8-1】将近似数1290000保留2个有效数字并用科学记数法表示为 . 【变式8-2】用四舍五入法把精确到为 ． 【变式8-3】用四舍五入法将精确到百分位约为 ． 【考点9有理数四则混合运算的实际应用】 【典例9】疫情后，武汉这座英雄的城市历经劫难与涅槃，一度成为国内旅游的热门打卡地，其中“藏身”于东湖风景区的东湖绿道非常受欢迎，它全长101.98公里，是国内首条城区内5A级旅游景区绿道．武汉一部门对东湖绿道某周工作日的客流变化量进行了不完全统计，数据如下（正数表示客流量比前一天增加，负数表示客流量比前一天下降）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 人数（单位：万人） (1)请计算比较这5天中，客流量最多的是哪一天？最少的是哪一天？ (2)若前一周周日的客流量为22万人，假设本周工作日游客每人每天平均消费100元，请问这5天的游客消费总额为多少万元？ 【变式9-1】某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 6 2 进出次数 3 1 3 3 2 (1)请计算这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加了或减少了多少？ (2)根据实际情况，现有两种运费方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【变式9-2】某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负．他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表，第10次射击成绩为9.6环． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 0.3 0.1 0.1 0 0.2 0.4 0.2 (1)第10次射击成绩的相对环数应记为____环； (2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第____次射击；（填序号） (3)计算这10次射击的平均成绩． 【变式9-3】风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 1．2024年2月，中国基站总数达3509000个，用户达八亿，两项数据都是世界第一！中国预计将在2025年实现商用．将3509000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B．6 C． D．8 3．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 4．下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．下列说法正确的是（    ） A．近似数6与表示的意义相同 B．4.320万精确到千分位 C．小华身高1.7米是一个准确数 D．将7.996精确到百分位得近似数8.00 6．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 7．计算：． 8．比较大小： （填“”、“”或“”）． 9．按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为 ． 10．计算： (1)； (2) 11．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 12．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3有理数的乘方 【考点1 有理数幂的概念理解】 【考点2 有理数的乘方运算】 【考点3 有理数四则混合运算】 【考点4 程序流程图与有理数计算】 【考点5 算“24”点】 【考点6含乘方的有理数混合运算】 【考点7科学记数法】 【考点8近似数】 【考点9有理数四则混合运算的实际应用】 知识点1：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点2：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【考点1 有理数幂的概念理解】 【典例1】在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 【变式1-1】在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，中，叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂． 【详解】在中，底数是，指数是，幂是． 故答案为：；； 【变式1-2】表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 【变式1-3】算式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法及乘方运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据有理数的加法及乘方可进行求解． 【详解】解：由题意得； 故选C． 【考点2 有理数的乘方运算】 【典例2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先计算，同时根据乘方意义把改写成，然后利用乘法结合律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2-1】的值是（　　） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的计算，有理数的乘方运算，注意符号是解题关键．根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式2-2】下列四组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 先根据乘方运算的法则、绝对值的法则进行计算，再根据相反数的定义逐一判定即可． 【详解】解：A、，，是相反数，故A符合题意； B、，，不是相反数，故B不符合题意； C、，，不是相反数，故C不符合题意； D、，，不是相反数，故D不符合题意． 故选：A． 【变式2-3】下列各对数中，相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的计算，大小比较，根据乘方的意义，计算，比较大小即可． 【详解】A. ，，不相等，不符合题意；     B. ，，不相等，不符合题意；     C. ，，不相等，不符合题意；     D. ，，相等，符合题意； 故选D． 【考点3 有理数四则混合运算】 【典例3】计算： (1) (2) 【答案】(1)21 (2)-19 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先去括号，再按照混合运算法则进行计算即可； （2）先算出乘方，再去括号，最后进行混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-2】计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先进行括号里面的运算，再根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （）先算乘方，再算乘法，最后相加减即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ， ． 【考点4 程序流程图与有理数计算】 【典例4】按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数计算．根据题意代入数值按照程序图计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴，，故继续计算， ，，故输出， 故答案为：． 【变式4-1】小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数的混合运算，把5代入计算程序中，根据图中流程列出式子，计算，即可确定输出的数，解题关键是掌握有理数的混合运算法则． 【详解】解：把5代入计算程序中得： ， ， 输出的数是6， 故答案为：6． 【变式4-2】在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24…，则第2023次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第4次开始，每2次 1组，每组按照3，6的顺序循环的规律是解题的关键． 【详解】解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第4次开始，每2次 1组，每组按照3，6的顺序循环， ， ∴第2023次为第1010组第二个， ∴第2023次输出的结果为3， 故答案为：3． 【考点5 算“24”点】 【典例5】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 【变式5-1】“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，，请列出符合要求的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则列式即可． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】“点”的游戏规则是：用“、、、”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是．例如：给出，，，这四个数，可以列式．以、、、这四个数用“、、、”四种运算符号列出算式为 ．（列出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点6含乘方的有理数混合运算】 【典礼6】计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 【变式6-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算绝对值、有理数的乘方，再计算有理数的乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式6-2】计算： 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和乘除，然后计算加减． 【详解】 ． 【变式6-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和括号内，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 知识点3：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注意： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点7科学记数法】 【典例7】2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的方法是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，原数，原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式7-1】据中国铁路昆明局集团有限公司消息，截至2023年12月26日，丽香铁路开通运营满一个月，累计发送旅客超180000人次．数据180000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 【变式7-2】我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，将470000000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 【变式7-3】新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：万=． 故答案为：． 【考点8近似数】 【典例8】近似数是精确到（    ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法和近似数的知识，解题关键是将科学记数法表示的近似数还原成数字形式．精确度由近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定，将科学记数法表示的近似数还原成数字形式，再确定精确到哪位即可． 【详解】解：，最后一位有效数字0在55000中处于百位， 所以，近似数是精确到百位． 故选：C． 【变式8-1】将近似数1290000保留2个有效数字并用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题考查科学记数法与有效数字．关键是掌握用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 用科学记数法（，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中从左边第一个不为零的数字开始就是有效数字，由此即可得到答案． 【详解】． 故答案为：． 【变式8-2】用四舍五入法把精确到为 ． 【答案】 【分析】此题考查近似数和有效数字，把万分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：精确到为； 故答案为：． 【变式8-3】用四舍五入法将精确到百分位约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位约为． 故答案为：． 【考点9有理数四则混合运算的实际应用】 【典例9】疫情后，武汉这座英雄的城市历经劫难与涅槃，一度成为国内旅游的热门打卡地，其中“藏身”于东湖风景区的东湖绿道非常受欢迎，它全长101.98公里，是国内首条城区内5A级旅游景区绿道．武汉一部门对东湖绿道某周工作日的客流变化量进行了不完全统计，数据如下（正数表示客流量比前一天增加，负数表示客流量比前一天下降）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 人数（单位：万人） (1)请计算比较这5天中，客流量最多的是哪一天？最少的是哪一天？ (2)若前一周周日的客流量为22万人，假设本周工作日游客每人每天平均消费100元，请问这5天的游客消费总额为多少万元？ 【答案】(1)客流量最多的一天是周五，最少的一天是周三 (2)5500万元 【分析】（1）以前一周日为标准，根据本周5个工作日每天比前一天客流量增减数量，求出每天的游客量，比较5天的游客量，即得； （2）根据22与5的积加上5天中每天游客增减的总和，得到5天的游客总数，根据游客每人每天平均消费100元乘以5天的游客总数，得到这5天的游客消费总额． 【详解】（1）以前一周日的游客量为标准，本周5个工作日每天的游客量（万人）： 周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； ∵， ∴客流量最多的一天是周五，最少的一天是周三； （2）本周5天工作日游客总量， （万人）， 这5天的游客消费总额为，（万元）， 答：这5天的游客消费总额为5500万元． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解决问题的关键是熟练掌握题意列出算式，有理数的加法法则和乘法法则． 【变式9-1】某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 6 2 进出次数 3 1 3 3 2 (1)请计算这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加了或减少了多少？ (2)根据实际情况，现有两种运费方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【答案】(1)比原来减少了，减少了7吨 (2)选择方案二比较合适 【分析】（1）根据表格中的数据列出算式，计算即可； （2）表示出两种方案中的费用，比较即可． 【详解】（1）根据题意，得：（吨）． 答：这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了7吨； （2）方案一：（元）； 方案二：（元）． ∵， ∴选择方案二比较合适． 【点睛】本题考查有理数混合运算的应用，准确计算是解题的关键． 【变式9-2】某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负．他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表，第10次射击成绩为9.6环． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 0.3 0.1 0.1 0 0.2 0.4 0.2 (1)第10次射击成绩的相对环数应记为____环； (2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第____次射击；（填序号） (3)计算这10次射击的平均成绩． 【答案】(1) (2)③ (3)10.02环 【分析】（1）计算即可得出答案； （2）这10次射击中，相对环数的绝对值最大的那一次与10环偏差最大； （3）求出10次射击的总成绩，即可计算． 【详解】（1）解：∵， ∴第10次射击成绩的相对环数应记为环， 故答案为：； （2）解：根据表中的数据可知，， ， ， ， ， ， ∵， ∴这10次射击中，与10环偏差最大的是第③次射击， 故答案为：③； （3）解：∵（环）， ∴（环）， ∴这10次射击的平均成绩是10.02环． 【点睛】本题主要考查正负数的概念，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握正负数表示的实际意义． 【变式9-3】风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； (2)该厂工人这一周的工资总额是14505元． 【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）用记录中的最大数减去最小数即可； （2）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【详解】（1）解：（只， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； （2）解：（元， 答：该厂工人这一周的工资总额是14505元． 1．2024年2月，中国基站总数达3509000个，用户达八亿，两项数据都是世界第一！中国预计将在2025年实现商用．将3509000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，掌握把一个大于10的数表示成的形式(大于或等于1且小于是正整数)是关键． 把一个大于10的数表示成的形式（大于或等于1且小于是正整数）；的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，一个负数的立方等于它的绝对值的立方的相反数． 【详解】解：， 故选C． 3．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 4．下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 5．下列说法正确的是（    ） A．近似数6与表示的意义相同 B．4.320万精确到千分位 C．小华身高1.7米是一个准确数 D．将7.996精确到百分位得近似数8.00 【答案】D 【分析】本题考查了近似数的精确度问题，熟记并理解精确度的概念是解题关键． 根据近似数的精确度的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、近似数6与表示的意义不同，说法错误； B、4.320万精确到十位，说法错误； C、小华身高1.7米是一个近似数，说法错误； D、将7.996精确到百分位得近似数8.00，说法正确． 故选：D． 6．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查有理数的新定义运算，程序流程图与有理数计算．根据新定义的运算法则，分别计算出当时，第一到九次运算的结果，发现循环规律即可解答，找到循环规律是解此题的关键． 【详解】解：当时，历次运算的结果是： ，，，，，，，，…… 运算结果为 从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， 第2024次“F运算”后的结果是4， 故选B． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及乘方运算、绝对值及有理数加减乘除混合运算，先计算乘方及绝对值，再计算乘除法，最后利用有理数的加减运算求解即可得到答案，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 8．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、乘方运算、有理数的大小比较，先计算，再比较大小即可，正确计算、比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， 故答案为：． 9．按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为 ． 【答案】5 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确理解程序图列出算式进行计算是解题关键．根据程序图由，列出算式进行运算求解即可． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：5． 10．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据有理数混合运算的计算法则进行计算． （1）先对乘方进行计算；再按照有理数的混合运算的计算法则进行计算； （2）先对绝对值进行计算；再按照有理数的混合运算的计算法则进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【详解】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 12．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$