2.2 有理数的乘除法（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024新教材）

2.2有理数的乘除法 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【考点3 倒数】 【考点4 有理数的除法运算】 【考点5 有理数乘除混合运算】 【考点6有理数乘除混合运算的应用】 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点2：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B．5 C．1 D． 【变式1-2】计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-3】已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； 【变式2-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【考点3有理数乘法运算定律】 【典例3】能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 【变式3-1】简便运算 【变式3-2】下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【变式3-3】用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 知识点3： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点4 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【考点4 倒数】 【典例4】已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【变式4-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【变式4-3】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求的值 【考点5 有理数的除法运算】 【典例5】计算：； 【变式5-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)； (7) ； (8)； (9)； (10)． 【变式5-2】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 【考点6 有理数乘除混合运算】 【典例6】计算： (1) (2)； 【变式6-1】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【变式6-2】计算： (1) (2) 【变式6-3】计算： (1) ． (2)． (3)． (4)． 1．的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，数轴上，两点表示的数分别为，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 5．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（   ） （1）；（2）；（3） ；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若定义一种新运算，规定，则 ． 7．计算： (1)． (2) 8．利用简便方法计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．计算： (1) (2)； (3)； (4)． 11．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 12．出租车司机小张某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小张的行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？ (2)若每千米的营运额为5元，则小张这天下午的总营运额为多少元？ (3)在(2)的条件下，如果营运成本为每千米1.5元，那么这天下午小张盈利 元． 13．某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是每周的生产情况(超产为正，减产为负)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知后三天共生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)该厂实行计件工资，每生产一辆车可得元，若当天超额完成，则超过部分每辆奖励元；若当天没有完成生产计划，每少生产一辆则扣元，那么这一周工厂工人的工资总额是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2有理数的乘除法 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【考点3 倒数】 【考点4 有理数的除法运算】 【考点5 有理数乘除混合运算】 【考点6有理数乘除混合运算的应用】 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点2：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式1-2】计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-3】已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．由有理数的乘法法则，判断出，异号，再用有理数加法法则即可得出结论． 【详解】解： ， ，异号， ， 正数的绝对值较大， 故选：D． 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确掌握有理数乘法的计算法则是解题的关键． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)0 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数乘法的简便运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据有理数乘法运算中乘法的交换律和结合律进行简便运算； （2）根据有理数乘法法则中任何数乘以0都得0． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数乘法法则“同号得正、异号得负”、多个因数相乘时符号规律“奇负偶正”、任何数乘以0都得0是解题的关键． 【变式2-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键． 【考点3有理数乘法运算定律】 【典例3】能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的运算： （1）分数连乘，能约分的要先约分． （2）利用乘法的分配律． （3）括号里面的分数的分母恰好和括号外面的整数约分，则利用乘法的分配律计算． （4）将看成，这样就可以利用乘法的分配律计算． （5）将看成，这样利用乘法的分配律，正好可以和分数约分． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【变式3-1】简便运算 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把提出来，即原式整理得，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： 【变式3-2】下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)7623 (3)8686 (4)48 【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-3】用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)101 (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律是关键； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据乘法分配律可以解答本题； （3）根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 知识点3： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点4 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【考点4 倒数】 【典例4】已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【答案】(1)，，，； (2)或 【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，，互为相反数，得到，根据，互为倒数，得到，根据的绝对值等于，所以，是数轴上原点表示的数，所以； （2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将、、、代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 的绝对值等于， ， 是数轴上原点表示的数， ； （2）解：①当时， ∴， ②当时， ∴， 的值为或． 【变式4-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【详解】解： ∴的倒数为， 故选：C． 【变式4-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】或 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相等，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题可知， 当时，原式； 当时，原式． ∴原式的值为或． 【点睛】本题考查相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义以及代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式4-3】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求的值 【答案】或 【分析】根据，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求出，，，分两种情况代入原式计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时，， 当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的加减混合运算，掌握混合运算的顺序，相反数、倒数、绝对值性质的熟练应用是解题关键． 【考点5 有理数的除法运算】 【典例5】计算：； 【答案】21 【分析】先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查有理数的乘法和除法，解题关键在于掌握运算法则． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5)5 (6) (7) (8) (9)27 (10) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； （9）解：原式 ； （10）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①②③根据有理数的除法运算法则计算即可； ④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【点睛】本题考查有理数的除法，有理数的乘法．有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，注意：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0；特别注意有多个数相除时，一般先将除法转化为乘法再进行运算．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．理解和掌握有理数除法、乘法法则是解题的关键． 【考点6 有理数乘除混合运算】 【典例6】计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 【变式6-1】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2)180 (3) (4) 【分析】（1）把原式化为，再利用乘法的分配律进行计算即可； （2）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算即可； （3）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算乘法即可； （4）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算乘法即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； （4） ； 【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，熟记乘除混合运算的运算顺序是解本题的关键． 【变式6-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和交换律进行计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再利用有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘除法法则和交换律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式6-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)16 (2) (3)1 (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了乘除的混合运算，解题的关键是熟记混合运算顺序与乘除运算法则． 1．的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求一个数的倒数，根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：D． 2．如图，数轴上，两点表示的数分别为，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负．根据点、两点表示的数，得出，，再逐项分析即可求解． 【详解】解：根据数轴可得：，， 即，， ∵，∴，A选项不符合题意； ∵，，∴，B选项符合题意； ∵，，∴，C选项不符合题意； ∵，∴，D选项不符合题意； 故选：B． 3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的除法运算，根据数轴确定的大小，可把绝对值进行化简，再计算从而可得答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ， 故选B． 4．计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可 【详解】解： ． 故选：A． 5．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（   ） （1）；（2）；（3） ；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查数轴，倒数，相反数和绝对值，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题．利用数形结合是解题的关键． 根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出，，根据有理数的乘法可判断（1）正确；根据相反数的定义可判断（2）；根据倒数的定义可判断（3）；根据绝对值的定义可判断（4）． 【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得，， ∴（1），正确； （2），正确； （3），错误； （4），正确． 故正确的3个， 故选：C． 6．若定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义情境下的有理数的四则混合运算，先根据新定义列式在，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 7．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解： 原式 （2） 原式 8．利用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算等知识． （1）逆用分配律进行计算即可求解； （2）逆用分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 11．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 【答案】3或7 【分析】根据题意得：，，，代入计算即可求解． 【详解】由已知可得，，，； 当时， 当时， 【点睛】本题考查相反数、倒数的概念、求一个数的绝对值，解题的关键是明确． 12．出租车司机小张某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小张的行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？ (2)若每千米的营运额为5元，则小张这天下午的总营运额为多少元？ (3)在(2)的条件下，如果营运成本为每千米1.5元，那么这天下午小张盈利 元． 【答案】(1)他离出发地点3千米 (2)小张这天下午的总营运额为575元 (3)402.5 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．解题是读懂题意，正确的列出算式． （1）将所有数据相加，根据和的情况进行分析即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的营运额即可； （3）用总路程乘以每千米的盈利计算即可． 【详解】（1）解：（千米）， 当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点3千米； （2）（千米）， 小张这天下午的总营运额为：（元； （3）由（2）知，小张这天下午的总营运路程为115千米， 这天下午小张盈利为：（元． 13．某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是每周的生产情况(超产为正，减产为负)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知后三天共生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)该厂实行计件工资，每生产一辆车可得元，若当天超额完成，则超过部分每辆奖励元；若当天没有完成生产计划，每少生产一辆则扣元，那么这一周工厂工人的工资总额是多少？ 【答案】(1)辆 (2)辆 (3)元 【分析】本题考查正数和负数，有理数运算在实际生活中的应用， （1）根据记录可知，后三天共生产了辆自行车； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了辆自行车； （3）先计算2100辆的工资，然后再计算奖罚工资最后相加即可． 【详解】（1）解：辆； 故后三天共生产辆． （2）辆 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆； （3）元． 答：这一周工厂工人的工资总额是元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$