专题16 反比例函数与相似三角形综合的两种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题16 反比例函数与相似三角形综合的两种考法 目录 【考法一、相似三角形存在性问题】 1 【考法二、相似应用】 4 【课后训练】 7 【考法一、相似三角形存在性问题】 例1．（相似三角形）综合应用 如图，反比例函数的图象过点和两点． (1)求反比例函数的解析式． (2)点是反比例函数的图象上在点左侧的一个动点，连接，，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点． ①若，求点的坐标和直线的解析式； ②在①的条件下，在y轴上是否存在一点，使以C，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（位似）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，D是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，连接，当与相似时，求点D的纵坐标． 变式1．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根． (1)求点B、C的坐标； (2)点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值； (3)在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积； (3)P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标． 【考法二、相似应用】 例．（A字型）如图，平面直角坐标系中，过点的直线与反比例函数的图象交于点A． (1)若点A的横坐标1，求直线AP的函数表达式； (2)在（1）的条件下，点B为第一象限的反比例函数图象上一点，且在直线PA上方，若，求点B的坐标； (3)过点P的另一条直线与反比例函数的图象交于M，N两点，点M在第一象限，若，求点N的坐标． 例2．（K字型）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．    (1)求直线的函数表达式； (2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值； (3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标． 变式1．【感知】 如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交x轴于点E，轴交y轴于点F，则______；_______；与的位置关系：_______． 【探究】 数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线同一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由． ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】 如图3，已知点A、B在反比例函数的图像上，且，B是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点A作轴，过点B作轴，垂足分别分为E，F，若四边形的面积为20，求点B的坐标． 【拓展】 如图4，函数的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线分别交于y轴、x轴于点C、E，连接分别交y轴、x轴于点M、N．若，则______． 变式2．如图，已知反比例函数的图象经过A，B两点，直线与x轴交于点C，且点，． (1)求m的值； (2)分别求点B和点C的坐标及的面积； (3)将直线AB向上平移后，与反比例函数的图象交于点，（点在点的上方），与x轴交于点，与y轴交于点P，连接，，若，且，求的面积． 【课后训练】 1．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 2．如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）． (1)当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式． 3．如图一：在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，已知，． (1)求直线和双曲线的解析式及点B的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)如图二，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N．将直线向下平移a个单位长度，与双曲线在第一象限交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，判定四边形的形状，并说明理由． 4．矩形中，，，分别以为轴、轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，是边上一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)当点运动到边的中点时，求点的坐标； (2)连接，试探究：随着点的运动，的正切值是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由； (3)如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，求此时点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求和的值，及点坐标； (2)将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值； (3)若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 反比例函数与相似三角形综合的两种考法 目录 【考法一、相似三角形存在性问题】 1 【考法二、相似应用】 18 【课后训练】 35 【考法一、相似三角形存在性问题】 例1．（相似三角形）综合应用 如图，反比例函数的图象过点和两点． (1)求反比例函数的解析式． (2)点是反比例函数的图象上在点左侧的一个动点，连接，，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点． ①若，求点的坐标和直线的解析式； ②在①的条件下，在y轴上是否存在一点，使以C，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为，；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）将点和两点代入，即可求解； （2）设直线的解析式为，将点代入可求解析式，①设点的坐标为，过点作轴，与交于点，可得，由三角形的面积得，求得点的坐标为，由两条平行直线相等可设直线的解析式为，从而可求解析式；②在直线中，可求得点，，设点的坐标为，（ⅰ）当时，，由相似的性质得，即可求解；（ⅱ）当时，，由相似的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点和两点， ， 解得， 反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）知，点的坐标为，设直线的解析式为， 则， ． 直线的解析式为． ①设点的坐标为，如图1，过点作轴，与交于点． 则点的坐标为， ， ， ， 解得（舍去），， 点的坐标为． 直线， 设直线的解析式为． 把点代入直线中， 得， 解得， 直线的解析式为． ②在直线中， 令，得， 令，得， 解得， 点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为， 由题意可知，， （ⅰ）如图2，当时，． ，，， ， 即， ， 点的坐标为． （ⅱ）如图3，当时，． ， 即， ， ． 点的坐标为； 综上所述，在轴上存在一点的坐标为或，使以C，E，P为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形相似的判定及性质，掌握解法及性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键． 例2．（位似）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，D是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，连接，当与相似时，求点D的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质； （1）先把代入求出一次函数解析式，再求出交点，最后代入反比例函数解析式即可． （2）当的面积等于面积的2倍时即可得到，表示出、坐标，再计算即可； （3）表示出、、坐标，根据与相似计算即可，注意分情况讨论． 【详解】（1）把代入得到， 解得， ∴一次函数解析式为， ∴ 把代入得到， ∴， 把代入得到， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图， ∵过点向轴作垂线与一次函数图象交于点， ∴设，则点纵坐标为， ∴，解得 ∴， ∵的面积等于面积的2倍 ∴， ∴， 解得， ∴ （3）设，由（2）可得，，其中 当时，当轴时，此时， ∴， ∴ 当时，，此时 解得 ∴， ∴， 当时，，此时 解得 ∴， ∴， 同理，当轴时，此时， ∴， ∴ 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，作于，于，则 ∴ 此时， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 解得 ∴， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，， ∴， 解得 ∴， ∴， 综上所述，当与相似时，求点D的纵坐标为，，． 变式1．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根． (1)求点B、C的坐标； (2)点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值； (3)在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为点的坐标为； (2)； (3)P点的坐标为或． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）证明，求得，再求得点的坐标为，据此即可求解； （3）先求得直线的解析式，设P点坐标为，分①和②两种情况讨论，利用相似三角形的性质分别列式计算即可求解． 【详解】（1）解：解方程， 解得或， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为； （2）解：，， ， 又点的纵坐标是3， ，， ， ， ， 又∵在中，， ， 又， ， ， ， 又∵四边形为矩形， ， ， 点的坐标为， 将代入到双曲线方程中得 ∴解得 （3）解：存在，理由如下， 由题意得：，， 在中，， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设P点坐标为， ①， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， ， 点坐标为； ②， 则， ， ， ，解得或， 又因为P点在直线的右侧，， 点坐标为， 综上所述：P点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合运用，涉及到求函数解析式、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程、勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积； (3)P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）解方程组求得，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得直线的解析式为，解方程组得到，则直线的解析式为，于是得到P． 【详解】（1）解：令，则， ∴点A的坐标为， 将代入得，， ∴， ∴， 将代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线与x轴交于N， 把代入得：， 解得：， ∴， 令， 解得：（舍去）或， 把代入得：， ∴， ∴． （3）解：设直线l与y轴交于M，过点B作轴于点K，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线l的表达式为：，把，代入得： ， 解得：， 则直线l的解析式为， ∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D， 令， 解得：（舍去）或， ∴， 画出图形如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的一次项系数相等， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点D在直线与双曲线的另一个交点， 则联立两个函数表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去） ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立上式和直线l的表达式得：， 解得：， 把代入得：， 则点． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 【考法二、相似应用】 例．（A字型）如图，平面直角坐标系中，过点的直线与反比例函数的图象交于点A． (1)若点A的横坐标1，求直线AP的函数表达式； (2)在（1）的条件下，点B为第一象限的反比例函数图象上一点，且在直线PA上方，若，求点B的坐标； (3)过点P的另一条直线与反比例函数的图象交于M，N两点，点M在第一象限，若，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求得直线AP的函数表达式； （2）设，过点B作平行于y轴交于点E，设，根据列方程求得，解方程即可得解； （3）设，过点M作轴，轴交于点K，过点N作交于点H．根据且得，再由点M在上列方程，解此方程即可得解． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为1，点A在上， ∴ ∵点和点在上， ∴ ∴ ∴ （2）解：设，过点B作平行于y轴交于点E． ∵点E在上， ∴设 ∵ ∴ ∴   ∴ ∴ ∴ ∴或 ∵点B在直线PA上方， ∴ （3）解：设，过点M作轴，轴交于点K，过点N作交于点H． ∴， ∴， ∵且 ∴， ∴ ∵点M在上， ∴ 整理得， ∴， ∴或， ∴或 【点睛】本题是主要考查了反比例函数综合应用，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定以及性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 例2．（K字型）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．    (1)求直线的函数表达式； (2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值； (3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据反比例函数的图象分别与，交于点，，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可； （2）连接交于点，求得直线的解析式为，则，根据翻折的性质可得，，，根据点、分别为、的中点，建立方程，解方程求解即可； （3）①如图，过点作于点，过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质求得，，根据即可求得的坐标，②如图，过点作于点，过点作于点，方法同①，根据即可求得的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与，交于点，， ，，，， 设直线的函数表达式为， 则，解得：， 直线的函数表达式为； （2）如图，连接交于点，    反比例函数的图象交于点，交于点， ，，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， ， 将沿所在直线翻折得到， ，， ， 点、分别为、的中点， ，解得：； （3）①如图，过点作于点，过点作于点，    ，，点为线段中点 ，，， 在中，， 由旋转得：， ，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， ； ②如图，过点作于点，过点作于点，    ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 变式1．【感知】 如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交x轴于点E，轴交y轴于点F，则______；_______；与的位置关系：_______． 【探究】 数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线同一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由． ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】 如图3，已知点A、B在反比例函数的图像上，且，B是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点A作轴，过点B作轴，垂足分别分为E，F，若四边形的面积为20，求点B的坐标． 【拓展】 如图4，函数的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线分别交于y轴、x轴于点C、E，连接分别交y轴、x轴于点M、N．若，则______． 【答案】【感知】1，1，；【探究】①，理由见解析；②；理由见解析；【运用】 【拓展】 【感知】反比例函数上有两点，，轴交x轴于点E，轴交y轴于点F，分别求出，，再分别过点A、B作EF的延长线的垂线，即、，垂足为M、N得到，利用三角形面积相等得到，即可得到四边形AMNB为平行四边形，最后利用平行四边形的性质求解；【探究】①设点A的坐标为，点B的坐标为，进而得到，，利用三角形面积求解；②分别过点A、B作EF的垂线，即、，得到，结合三角形面积相等求得，进而得到四边形AMNB为平行四边形，再根据平行四边形的面积求解；【运用】连接AF、BE，易求出点A的坐标，根据点是反比例函数的图象上，求出，结合面积求解；【拓展】过点A作轴，利用全等三角形的性质来求解． 【详解】解：∵反比例函数上有两点，，轴交x轴于点E，轴交y轴于点F， ∴，， ∴． 分别过点A、B作EF的延长线的垂线，即、，垂足为M、N， 则， ∴． ∵， ∴， ∴四边形AMNB为平行四边形， ∴； 故答案为：1，1，； 【探究】解：①． 理由如下： 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴，， ∵轴交y轴于点E，轴交x轴于点F， ∴，， ∴， ， ∴； ②． 理由如下： 分别过点A、B作EF的垂线，即、，垂足为M、N， 则， ∴． ∵， ∴， ∴四边形AMNB为平行四边形， ∴； 【运用】解：连接AF、BE． ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴． 设点， ∵点B是反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， 轴， ∴，． ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， ∴； 【拓展】解：过点A作轴，如下图． 则，，，， ，． ∵， ∴， ∴． ∵反比例函数的图像与过原点O的直线相交于B、D两点， ∴点D，B关于点O对称，∴，∴， ∴． ∵，∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判断和性质．理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 变式2．如图，已知反比例函数的图象经过A，B两点，直线与x轴交于点C，且点，． (1)求m的值； (2)分别求点B和点C的坐标及的面积； (3)将直线AB向上平移后，与反比例函数的图象交于点，（点在点的上方），与x轴交于点，与y轴交于点P，连接，，若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为 【分析】（1）将代入，求出m的值即可； （2）过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，证明，得出，求出，求出点，用待定系数法求出直线的解析式，再求出，即可得出答案； （3）过点作轴于点M，作轴于点Q，过点作轴于点N，证明，得出，证明，得出，证明，求出，根据点在反比例函数的图象上，得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴； （2）解：如图1，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点B的纵坐标为2， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过点作轴于点M，作轴于点Q，过点作轴于点N， ∵，轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，∴， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练正确三角形相似的判定和性质． 【课后训练】 1．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题考查相似三角形的性质，反比例函数与几何综合； （1）令，则；，则，进而即可求解； （2）由相似三角形的性质得，从而得的解析式为：，设，进而即可求解； （3）分①当M、N在直线的左侧时，②当M、N在直线的右侧时，两种情况画出图形，利于相似三角形的性质，表示出M、N的坐标即可求解 【详解】（1）解：令中，，则；，则， ∴A，B两点的坐标分别是：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∵，相似比为2， ∴， 设，则， ∴，即， ∴该反比例函数的表达式：； （3）解：①当M、N在直线的左侧时， ∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴M、N关于直线对称， ∴点P在直线上， 设，（）， ∵相似比为5， ∴， ∴，即， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴，解得：（舍去）或， ∴； ②同理：当M、N在直线的右侧时，设，（）， ， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴，解得：（舍去）或， ∴， 综上所述：或 2．如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）． (1)当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】根据点坐标求出点坐标，代入表达式即可；（2）根据点坐标表示线段长度，证明即可；（3）过点作轴的垂线，构造一线三直角模型，根据相似列比例式，解出比例式即可． 【详解】（1）解：点D是FG中点 点D（4，）， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得： 即反比例函数的表达式为： 当时，解得： 即此时点C的横坐标是2 （2）解：设点D（4，），C（，）， 则 则 同理可得： ∴ （3）解：过点C作于点N， 设， 则， 即点C、D的坐标分别为（，3）、（4，） 则① ∵∠CHD＝90° ∴， ∴ ∴ ∴② 联立①②并解得： 则点D（4，） 将点D的坐标代入反比例函数表达式得： 故反比例函数的表达式为： 【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合，相关知识点有：相似三角形的判定与性质，待定系数法求表达式等，找到相似三角形是解题关键． 3．如图一：在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，已知，． (1)求直线和双曲线的解析式及点B的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)如图二，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N．将直线向下平移a个单位长度，与双曲线在第一象限交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)或 (3)正方形，理由见解析 【分析】（1）把点代入求出b，代入求出k，再把代入即可求出m； （2）根据两函数交点坐标，结合函数图象可得出不等式的解集； （3）先求出平移后的直线解析式，用含有的式子表示点D，E的坐标，过点C 作轴于点，证明，求出，得到点C的坐标，代入反比例解析式并求出的值，得到点D，E坐标，进一步得出结论 【详解】（1）在函数图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为：； 在函数图象上， ∴， ∴ ∴； 在直线上， ∴， ∴， ∴ （2）∵直线与双曲线交于，，且当或时 直线的图象在双曲线在上方，， ∴不等式的解集为：或； （3）四边形是正方形，理由如下： 对于直线， 当时，，当时，， ∴ 把直线向下平移个单位后的解析式为， 当时，，当时，， ∴，； 过点C 作轴于点，如图， 则有：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 又点在上， ∴ 解得，或（会去） ∴ ∴，，， ∴四边形是正方形 【点睛】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，正方形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题． 4．矩形中，，，分别以为轴、轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，是边上一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)当点运动到边的中点时，求点的坐标； (2)连接，试探究：随着点的运动，的正切值是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由； (3)如图2，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，求此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)的正切值不发生变化，为 (3)点的坐标为 【分析】（1）根据题意可得到点的坐标为，从而即可得到反比例函数的解析式为，当时，求出的值，即可得到点的坐标； （2）设点的坐标为，则，则反比例函数的解析式为：，从而可以求出点的坐标为，进而求出，最后根据正切的定义，即可求得答案； （3）设点的坐标为，则，由（2）同理可得点的坐标为，由翻折的性质可得，，，作交轴于点，通过证明，可得到，最后通过勾股定理计算即可解答． 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， 当点运动到边的中点时，点的坐标为， 此时， 反比例函数的解析式为：， 当时，， 解得， 点的坐标为； （2）解：的正切值不发生变化，为， 理由：设点的坐标为， 则， 反比例函数的解析式为：， 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ； （3）解：设点的坐标为，则， 由（2）同理可得点的坐标为， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， 作交轴于点，如图所示， ， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，添加恰当的辅助线，是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求和的值，及点坐标； (2)将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值； (3)若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定； （1）先求点坐标，再求反比例函数的解析式，通过求点坐标即可； （2）由题可知平移后的函数解析式为，则，再由，列出方程，求出的值即可； （3）先判断是直角三角形，且，则，当时，过点作，则，先求出直线的解析式为，设点关于直线的对称点为，根据对称的性质确定，再由，求出，直线与反比例函数的交点即为点． 【详解】（1）解：将代入 ∴ 解得： ∴， 将代入，得 ∴反比例函数解析式为 联立 解得：或 ∴ （2）由题可知平移后的函数解析式为 当时，， 当时， ∴， 又， ∵，则 ∴ 解得： （3）∵点在反比例函数图象上， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 当时，过点作， ， ， 直线的解析式为， 又， 设直线的解析式为，代入 解得： 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为，， 的中点为， 的中点在直线上， ， ， ， ， 解得（舍去）或， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立 解得 舍或 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$