专题13 反比例函数中K几何意义的六种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题13 反比例函数中K几何意义的六种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、一点一垂线模型】 4 【考法二、一点两垂线模型】 7 【考法三、两曲一平行模型】 9 【考法四、两点一垂线模型】 13 【考法五、两点两垂线模型】 15 【考法六、两点和外一点模型】 18 【课后训练】 22 【知识点归纳】 1. 一点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积等于|k|． 【示例】 2.一点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|． 【示例】 3. 两曲一平行模型 模型讲解】 两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 【示例】 【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 考点4 两点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 【示例】 5. 两点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|． 示例】 6. 两点和外一点模型 【模型讲解】 反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上，用减法． 【示例】 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD． 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，则S△OAM＝S四边形MEFB， 则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 【考法一、一点一垂线模型】 例．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OA，如图， ∵轴， ∴OC∥AB， ∴ 而 ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由题意直接根据反比例函数k值的几何意义解答即可，即求出三角形面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为E，轴，垂足为D， ∵P为的中点， ∴，, ∵反比例函数的图象经过点A、P， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】3 【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质确定k的值． 【详解】连接OC，如图， ∵轴于点A，C是线段AB的中点， ∴，而，∴，而，∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【考法二、一点两垂线模型】 例．如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 【答案】 【分析】因为P点在反比例函数的图像上，故点P的横、纵坐标之积是k，而点P的横、纵坐标的绝对值又对应矩形的长OM、宽ON，由已知条件“矩形的面积为3”，即OM·ON=3，从而建立k的方程，求出k的值即可得到该反比例函数的解析式． 【详解】解：设P的坐标是， ∵P在上，∴， 又矩形的面积为3，∴，即， 由于点P在第二象限，故， ， ∴，即， ∴， ∴该反比例函数的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式中比例系数k的几何意义．要求反比例函数解析式，关键是确定比例系数k．一般而言，只须把函数图像上的一个已知点的坐标代入所设函数解析式中，即可求出k．但有时候只需知道该点横、纵坐标之积即可．因为由函数解析式变形可知：．本题借助“矩形的面积为3”这一条件间接给出了点P的横、纵坐标之积，这是解题的关键．通过本题我们可以总结得出反比例函数比例系数的几何意义：一般地，对于反比例函数上的任意一点，它与坐标轴围成的矩形面积就等于． 变式1．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为 ． 【答案】y=﹣． 【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案． 解：过A点向x轴作垂线，如图： 根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4， 又∵函数图象在二、四象限，∴k=﹣4， 即函数解析式为：y=﹣．故答案为y=﹣． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 变式2．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝ ． 【答案】4 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 【考法三、两曲一平行模型】 例．如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　） A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣ C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2 【答案】A 【分析】设A的坐标为（x，），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点， ∴设A的坐标为（x，）， ∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝（n＜0）上， ∴B的坐标为（，），C的坐标为（x，）， ∴AB=，AC=， ∵△ABC的面积为， ∴， ∴=9， ∴， ∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】连接、，根据反比例函数的性质可得，，根据C是y轴上任意一点，轴，可得， 结合，问题得解． 【详解】连接、，如图， 根据题意有：，， ∵C是y轴上任意一点，轴， ∴， ∵，∴，∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义． 变式2．如图，点A在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点A作轴于．连接，与相交于点，若，则的值为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】过点B作轴于E，延长线段，交y轴于F，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，根据平行线分线段成比例定理证得，即，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点B作轴于E，延长线段，交y轴于F， ∵轴，∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，∴， ∵点A在双曲线上，∴，同理， ∵，∴ ，∴，∴， ∴，∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键． 【考法四、两点一垂线模型】 例．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为：，再根据坐标系中两点关于原点对称的性质，得点B坐标；过点做交延长线于点，根据直角坐标系的性质，得的值，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，设点A坐标为：，且 ∵A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，∴点B坐标为： ∵过点A作AC⊥x轴于点C，∴点C坐标为：，∴ 如图，过点做交延长线于点 根据题意得： ，∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解． 变式1．如图，直y=mx与双曲线交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（　　） A．1 B．m﹣1 C．2 D．m 【答案】A 【分析】利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知． 【详解】解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心对称，∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等， ∴△AMO和△BMO的面积相等，且为， ∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1，又因为点A在第一象限内， 所以可知反比例函数的系数k为1． 故选A． 【点睛】本题利用了反比例函数的图象在一、三象限和而确定出k的值． 变式2．如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（    ） A．－10 B．－9 C．－6 D．－4 【答案】B 【分析】先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA＝OB，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC，设设B（t，−t），则 A（−t，t），利用勾股定理表示出OA＝，OC＝，接着利用三角形面积公式得到××（t+t）＝15，解出t得到A（−，2），进而可求出k的值． 【详解】解：∵直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点， ∴点A与点B关于原点对称，OA＝OB， ∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC， 设B（t，−t），则 A（−t，t），∴OA＝，∴OC＝， ∵S△ABC＝15，∴××（t+t）＝15，解得t＝，∴A（−，2）， 把A（−，2）代入y＝，得k＝−×2＝−9． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的中心对称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质． 【考法五、两点两垂线模型】 例．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知． 【详解】解：∵OA=OB，ON=OM， ∴四边形AMBN是平行四边形， ∵S四边形AMBN＝1， ∴S△ABM＝， 设点A的坐标为（x，y）， ∴B的坐标为（−x，−y）， ∴×2x×y＝， ∴xy＝， ∴k＝xy＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键． 变式1．如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ． 【答案】4 【分析】设A（a，），则C（a，），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得结果． 【详解】解：设A（a，），则C（a，）， ∵CA＝2， ∴2， 解得a＝1， ∴A（1，3），C（1，1）， ∴B（3，1）， 作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D， ∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE， ∴S△ABO＝S梯形ABED（1＋3）（3﹣1）＝4； 故答案为：4. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S△ABO=S梯形ABED是解题的关键． 变式2．如图，是反比例函数图象上一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，点，且分别交反比例函数图象于点，点，连结，，若图中阴影部分的面积为4，则的值为 ． 【答案】7 【分析】连接CD，作轴，垂足为E，设，得到D，C，E的坐标，分别表示出△OCD和△DPC的面积，根据，即可得到k值． 【详解】解：连接CD，作轴，垂足为E， 设，则，，， ∴，，， ∴． ． ∴， ∴，∴．故答案为：7． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 【考法六、两点和外一点模型】 例．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝ ．    【答案】 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出点B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【详解】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为(a，b)， ∵BD＝3AD， ∴D(，b)， ∵点D，E在反比例函数的图象上， ∴＝k，∴E(a，)， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE ＝ab﹣•﹣•﹣••（b﹣）＝9， ∴ab﹣﹣＋＝9，∴ab＋k＝24， ∵＝k，∴k＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用函数图像过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型． 变式1．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，再根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】 连接OA、OB， 轴，和同底边AB， ， ， 反比例函数和的图象交于点和点， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论是解题的关键． 变式2．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案； （2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可； （3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案. 【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上， 则 设直线为： 则 所以直线为： （2） 轴， ． 所以反比例函数为： （3）设 而为的中点， 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键. 【课后训练】 1．反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（  ） A．k>0 B．y 随x的增大而增大 C．若矩形 OABC的面积为2，则 D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质以及系数k的几何意义进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确； D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误． 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质． 2．如图，面积为2的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数图象恰好经过点A，则k的值为（　　）    A．﹣2 B．2 C． D．﹣ 【答案】D 【分析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：作AD⊥OB于D，    ∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°， ∴OA＝OB， ∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA， ∴△AOD∽△BOA， ∴， ∴S△AOD＝S△BOA＝×2＝， ∵S△AOD＝|k|， ∴|k|＝， ∵反比例函数y＝图象在二、四象限， ∴k＝﹣， 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是是解答此题的关键． 3．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD//x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以平行四边形ABCD的面积=矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面积=|−k|，则|−k|=6，利用反比例函数图象得到−k<0，即k>0，于是有k=6． 【详解】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//x轴，∴四边形ADOE为矩形， ∴，而 =|−k|， ∴|−k|=6，而−k<0，即k>0，∴k=6． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 4．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先根据反比例函数k的几何意义可得△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为3，最后求出k1﹣k2的值即可． 【详解】解：由反比例函数k的几何意义可得：△AOP的面积为，△BOP的面积为， ∴△AOB的面积为， ∴3， ∴k1﹣k2＝6. 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，掌握反比例函数中k表示相关三角形的面积成为解答本题的关键． 5．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则 ． 【答案】3 【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，从而可得的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意得：点与点关于原点对称， ， ，边上的高为2， 轴， ， 则， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质（对称性）是解题关键． 6．点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 【答案】6 【分析】首先根据平行四边形的性质得出，从而有，然后根据k的几何意义求解即可． 【详解】如图， ∵点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D， ． ∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形， ， ∴A，B关于原点对称， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝ ． 【答案】-4 【分析】通过平行四边形的性质得到△AOD的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义得到． 【详解】解：由双曲线的对称性得OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∵AD∥y轴， ∴， ∴， 解得k＝-4或k＝4（舍）， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是根据题干得到△AOD的面积． 8．如图，直线交双曲线于、，交轴于点为线段的中点，过点作轴于，连结.若，则的值为 ． 【答案】 【分析】过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，得到BM是△AHC的中位线，进而得到AH=2BM，再由△AOH面积等于△OBM面积得到OH=HM=MC，进而得到△OAC的面积为，由此即可求解． 【详解】解：过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，如下图所示， 由B是线段AC的中点知，BM是△AHC的中位线， ∴MH=MC，AH=2BM， 又S△OBM=×OM×BM=k，S△OAH=×OH×AH=k， 由AH=2BM得到OH=OM， 由此H、M将线段OC平分成三份， ∴， 解得：k=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数图像及性质，反比例函数中k的几何意义等，熟练掌握反比例函数的图形性质是解决本题的关键． 9．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，过点作垂直轴于点，连结.若的面积为2. （1）求的值； （2）直接写出：①点坐标____________；点坐标_____________；②当时，的取值范围__________________； （3）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①，；②或；（3）存在，坐标为或，或. 【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值； （2）联立两函数即可求出坐标，根据图像可写出范围. （3）设点坐标为连结、，再根据勾股定理解答即可. 【详解】解：（1）由题意知：点与点关于原点对称，点为中点， 所以 又   所以 所以    （2）已知两函数交于A，B两点， 故 ①点坐标，点坐标 ②根据图像可得即是反比例函数在正比例函数下方的范围：或. （3）设点坐标为连结、；　 ∴ 或 或 当或或时， 三角形为直角三角形，解得或或 所以点坐标为或，或 【点睛】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 反比例函数中K几何意义的六种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、一点一垂线模型】 4 【考法二、一点两垂线模型】 5 【考法三、两曲一平行模型】 6 【考法四、两点一垂线模型】 7 【考法五、两点两垂线模型】 8 【考法六、两点和外一点模型】 9 【课后训练】 10 【知识点归纳】 1. 一点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积等于|k|． 【示例】 2.一点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|． 【示例】 3. 两曲一平行模型 模型讲解】 两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 【示例】 【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 考点4 两点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 【示例】 5. 两点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|． 示例】 6. 两点和外一点模型 【模型讲解】 反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上，用减法． 【示例】 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD． 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，则S△OAM＝S四边形MEFB， 则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 【考法一、一点一垂线模型】 例．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 变式1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ． 【考法二、一点两垂线模型】 例．如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 变式1．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为 ． 变式2．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝ ． 【考法三、两曲一平行模型】 例．如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　） A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣ C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2 变式1．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D．3 变式2．如图，点A在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点A作轴于．连接，与相交于点，若，则的值为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【考法四、两点一垂线模型】 例．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．如图，直y=mx与双曲线交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（　　） A．1 B．m﹣1 C．2 D．m 变式2．如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（    ） A．－10 B．－9 C．－6 D．－4 【考法五、两点两垂线模型】 例．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 变式1．如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ． 变式2．如图，是反比例函数图象上一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，点，且分别交反比例函数图象于点，点，连结，，若图中阴影部分的面积为4，则的值为 ． 【考法六、两点和外一点模型】 例．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝ ．    变式1．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为 ． 变式2．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 【课后训练】 1．反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（  ） A．k>0 B．y 随x的增大而增大 C．若矩形 OABC的面积为2，则 D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1 2．如图，面积为2的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数图象恰好经过点A，则k的值为（　　）    A．﹣2 B．2 C． D．﹣ 3．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．-6 4．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 5．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则 ． 6．点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝ ． 8．如图，直线交双曲线于、，交轴于点为线段的中点，过点作轴于，连结.若，则的值为 ． 9．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，过点作垂直轴于点，连结.若的面积为2. （1）求的值； （2）直接写出：①点坐标____________；点坐标_____________；②当时，的取值范围__________________； （3）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$