专题12 相似三角形压轴小题专项训练（40道）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题12 相似三角形压轴小题专项训练（40道） 一、填空题 1．如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过作 于，于，由平分，可知，可得四边形是正方形，，设，则，证明，则，即，解得，，由勾股定理得． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，， 平分， ， ， 四边形是正方形， 设，则， ， ， ，即， 解得：， ， 由勾股定理得：， 故答案为：． 2．如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为、，的延长线经过点，与相交于点．若，且点平分，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质、矩形的性质是解题的关键． 根据折叠的性质、矩形的性质结合题意推出△，根据全等三角形的性质得到，，设，则，设，则，根据矩形的性质推出△，根据相似三角形的性质推出，根据勾股定理推出，据此求解即可． 【详解】解：由折叠性质及矩形的性质得，， 点平分， ， 又， ， ，， 设， 点是中点， ， 根据折叠的性质得，， 设，则， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， 故答案为：． 3．如图，在正方形中，，，交于点，在边上，且，于，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．过作交的延长线于，过作于，先求出，证和相似得，由此得，证和相似得，由此得，，则，再证为的中位线，则，，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作交的延长线于，过点作于，如下图所示：   四边形为正方形，， ，， 在中，，，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ， 即， ， ，， ， 又， ， ， 即， ，， ， 点为正方形对角线的交点， ， ，， ， 为的中位线， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 故答案为： 4．如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去），即， 故答案为：． 5．如图，在中，，，点是斜边边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了中位线的定义，三角函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据题意，延长至点，使，连接，，由相似三角形性质和勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 点是中点，点是中点， 是的中位线， ， 作，垂足为， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在上取点，使， 则， ， ， 在 中，， ， ， ． 如图所示，同理可求，． 综上所述：线段的长为或． 故答案为：或． 6．如图，在中，，，，点是边上的一点，是线段的垂直平分线且分别交、于点、． （1）若，则 ； （2）若经过的某一顶点，则 ． 【答案】 2.5 或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）设与相交于点，先利用勾股定理求出，然后再利用字模型相似三角形证明，即可得，然后进行计算即可解答； （2）分两种情况：当经过点时，当经过点时，画出图形然后进行计算即可解答． 【详解】解：（1）如图：设与相交于点， ，，， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ， 故答案为：2.5； （2）分两种情况： 当经过点时，连接， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 当经过点时，连接， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ，， ，综上所述：的长为或， 故答案为：或． 7．如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在中，，，，点是上的动点，以为斜边作等腰直角，点和点位于的两侧，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】以为斜边在右侧作等腰直角三角形，边与交于点，连接并延长与交于点，作于点，连接，与为等腰直角三角形，可得，于是，因此，所以，所以在直线上运动，当时，最短，即为的长，然后求解即可获得答案． 【详解】解：如图，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，边与交于点，连接并延长与交于点，作于点，连接， ∵与为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为上的动点， ∴在直线上运动，当时，最短，即为的长， 在与中，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练构造等腰直角三角形是解题的关键． 9．如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质．过点作于，先证，得，设，则，则，由，得，再表示出,最后用即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，， ， ， ， 将沿折叠得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、折叠问题等知识，过点M作于点H，则，证明四边形是矩形，求出 ，，证明，则，即可得到的长，作直线，作于点T，得到,根据垂线段最短，当点落在点T时，即于重合时，取得最小值，即为的长，延长交直线于点R，设与相交于点Q，证明四边形是平行四边形，则，于点Q，证明，得到，即可得到的长，得到答案． 【详解】解：过点M作于点H，则， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上， ∴，设垂足为点S， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，, 作直线，作于点T， ∵，， ∴, 根据垂线段最短，当点落在点T时，即于重合时，取得最小值，即为的长，延长交直线于点R，设与相交于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∴，于点Q， ∵， ∴, ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即线段的最小值为 故答案为：， 11．如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，合理的作出辅助线是解决问题的关键．连接，作于点，证得，可得，，，进而可得，同理可得，求得，，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：连接，作于点，   ，点是边的中点，过点作边的垂线， ，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 同理可得， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，，取的三等分点，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．过点E作交的延长线于点M，先证明，再求出，根据点为的三等分点，可得，再利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】如图，过点E作交的延长线于点M， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 又∵点为的三等分点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 13．如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 【答案】 【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作， ∵平分，则到的距离相等， 设到的距离为，到的距离为， ∴， ∴； 故答案为：． ∵平分， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得 设，则，，则 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴的周长是 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．如图，点E是正方形中边上一点，把沿直线翻折得到（点B的对应点为F），射线交于点H，交直线于点G，连接，若，，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】连接，求出证明是等腰直角三角形，得出得，得，过点C作，得再证明是等腰直角三角形，求得，从而可求出的长 【详解】解：连接，如图， 由折叠得，， ∴ ∵ ∴ ∴ ； ∴ 由折叠得， ∴直线垂直平分 ∴， ∴ 又 ∴， 又 ∴ ∴， ∴ 过点C作于点P， ∵ ∴ 又 ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：2 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键 15．如图，在中，，点D是边的中点，点P是延长线上一点，连接，过点A作于点E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点D作交的延长线于点F．证明，则，即，可求，由勾股定理得，即，可求满足要求的解为，则，如图，连接，由是等腰直角三角形，点D为边的中点，可得，，由，可得．由，可得，，证明，则，是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，则．根据，计算求解即可． 【详解】解: 如图，过点D作交的延长线于点F． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴， 如图，连接， ∵是等腰直角三角形，点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16．如图，中，，，点为线段上一动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作，且，连接，则为等腰直角三角形，作于，证明，得到，证明，结合勾股定理得出，，，过于，于，则，得出四边形是矩形，证明得出，从而推出四边形是正方形，推出，求出，再由当时，有最小值，此时，即可得解． 【详解】解：如图，作，且，连接，则为等腰直角三角形，作于， 、为等腰直角三角形 ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， 过于，于，则， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 当时，有最小值，此时， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 17．如图，矩形中，，，是边上一动点，过点作对角线的垂线，分别交于点、交直线于点，则点在运动过程中，的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】过点作交于，过点作，使，连接，，推出的最小值为的长度，为定值，再分别求出、的长度即可． 【详解】解：过点作交于，过点作，使，连接，，如下图， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 即取最小值为的长度， ∵四边形是矩形，，， ∴，，,，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴, ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 18．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质与判定，延长到点，使得，连接，，由三角形的中位线定理得，当、、依次在同一直线上时的值最大，据此求得的最大值便可求得的最大值． 【详解】解：延长到点，使得，连接，，如图， 四边形是菱形， ，， ， ， 为等边三角形， ， 点是的中点， ， 当取最大值时，的值就最大， 由题意知，点在以为圆心，以为半径的圆上， 当、、依次在同一直线上时，的值最大，如图， 由旋转性质知，， 的最大值为 ， 故答案为：． 19．如图，矩形，点P是边上一点，连接，将沿折叠得，连接并延长交于点M，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】设与交于点Q，根据折叠的性质有：，，再证明，可得，再利用，可得，问题随之得解． 【详解】设与交于点Q，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质有：，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用求出，是解答本题的关键． 20．如图，在中，，，，是延长线上的点，连接，过点作，交于点，连接，若，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键．过点作于，证得，根据等腰三角形性质得，则是的中位线，从而得，则，在中，由勾股定理可求出，进而可得的长． 【详解】解：过点作于，如下图所示： ， 为等腰三角形， ， ，， ， ， ， ， 中，，，， ， 是的中位线， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故答案为： 21．如图，在四边形中，，，平分且与垂直，E为的中点．当与的差最大时，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、矩形及正方形的判定与性质，过点A作于点G，分别过点E、A、D作，垂足分别为N、P、H，证出当面积最大时，与的差最大，进而求出此时的长即可． 【详解】解：过点A作于点G， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 分别过点E、A、D作，垂足分别为N、P、H， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 当面积最大时，与的差最大， 此时， 当，四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22．已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点N，先根据证明，得到，设，则，根据平行线的性质可证明，得到得到，解出，从而得出，进而得出结果即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点N， ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， 整理得：， 或（小于零舍掉）， ，即， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键． 23．如图，在中，，，，D、E是内两点，满足平分，平分，，且，则的面积为 ．    【答案】80 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 做辅助线如图，利用勾股定理逆定理证明，利用面积法求出，证明，，设，，利用相似三角形的性质构建方程组求出，，再求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作直线交与，交与，过点作于，交于．   ，，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 同理：， 设，， 则，， ， ， ， ， 解得，， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 24．在四边形中，，点E为对角线的中点，连接并延长交线段于点F，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点D作交于T，过点A作于H，延长交于G，证明，得到；再证明都是等腰直角三角形，得到，设，则，；证明，得到，进一步证明，得到，则，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作交于T，过点A作于H，延长交于G， ∵， ∴， ∵点E为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 设，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形与相似三角形． 25．如图，在矩形纸片中，点E在边上（不与点B，点C重合），连接，将沿直线折叠，使得点B落在点F处，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键． 连接交于点，证明出，进而证明出，可得，由，可设，用表示出，利用，得到，即可求出答案． 【详解】解：连接交于点，如图， ∵由折叠得到， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， ∴可设， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 26．如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， ， 点为中点， ， ， ， ，即， 设，则， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，， ， 又， ， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 故答案为：． 27．如图，将菱形的边翻折到，使C的对应点落在对角线上，再将边翻折到，使B的对应点与的外心重合，连结．则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】连接，则，由菱形性质，则点A、在线段的垂直平分线上，即三点在同一直线上，即在菱形的对角线上，设交于点O，则，设菱形的边长为a；易证，由相似三角形的性质得，从而可求得，则与的面积比为，从而可求得比值． 【详解】解：如图，连接， 为的外心， ， 四边形是菱形， ， 点A、在线段的垂直平分线上，即三点在同一直线上， 在菱形的对角线上； 设交于点O，菱形的边长为a； 四边形是菱形， ，，， ； ， ， ， ， ； 即， 由已知得， ， 解得（负值已舍去）， ， ，， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解一元二次方程，外心的性质，关键是证明三点共线． 28．如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，延长到，使，连接，证明，则，，证明，则，可求，，证明，则，即，可求，由，可求． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，，∴， 解得，， 故答案为：． 29．如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，，三点在同一条直线上时，的长度为 ． （2）若点落在线段上时，的长度为 ． 【答案】 2或1 【分析】（1）由勾股定理可得，由折叠的性质可得'，，，求出'，在中由勾股定理可求解； （2）过点作于，过点作于，由可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图， ，， ，， 以为轴将进行翻折，得到， ，，， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：； （2）如图，过点作于，过点作于， 以为轴将进行翻折，得到， ，， ， ， 四边形是矩形， ，，， '， 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 当与点重合时，，则 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．如图，已知矩形中，，点E、F、P分别在线段、、上，交于点M，，，，过点B作交于点G，试求的长度 ． 【答案】4 【分析】取中点R，连接，在上截取，使，连接，先证明四边形是平行四边形，得到，则，从而得，，，继而得到，再，得到，然后设，则，，则有，解得，即可求解． 【详解】解：取中点R，连接，在上截取，使，连接，如图， ∵， ∴， ∵矩形 ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点R是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则，， ∴ ∴，即． 故答案为：4． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造等腰直角三角形或相似三角形是解题的关键． 31．如图，在中，，，D是上一点，，点M在上，点N在上，将沿折叠，点A恰好与点D重合，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过M作于G，过N作于H，设，，证明，是等腰直角三角形，得出，，利用勾股定理求出，，证明，可得出，整理得，求出x、y的值，可求出、，然后利勾股定理求解即可． 【详解】解：过M作于G，过N作于H， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 设，， ∵，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点A恰好与点D重合， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或（舍去） ∴ ∴ 故答案为：． 32．如图，在 中，，，D，E在边上，，，，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，设，则，，然后在中，利用直角三角形的边角关系可得，，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出的长，最后证明，利用相似三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， 设， ，， ，， ，， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：． 33．如图，在中，，是的中点，在的延长线上，作射线交的延长于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的判定和性质，求得，过点作的平行线交于点，证明求得，再证明，即可解答，熟练利用相似三角形的相似比是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， ， ， 是的中点， ， 如图，过点作的平行线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 34．如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，将沿折叠得到，交于点G．若，，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，证明出，得出，再设，得到，证出，得到，最后利用，列方程求出，即可解决问题． 【详解】解：过点作于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，， ， ， 又， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，能够作出过点作于的辅助线是解题的关键． 35．如图，四边形中，，连接，，且平分，．则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质；过点作交的延长线于点，过点作于点，由勾股定理可得的长，根据面积法可得的长，再根据角平分线的性质和相似三角形的性质可得的长，最后由勾股定理可得答案． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ，，，， ， 即 ， 平分， ， ， ， 又， ， 平分， ， ，， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 36．如图，在矩形中，E为上一点，F为上一点，连接，交于点H，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交延长线于点M，过点C作交延长线于点N，交于点G，设，得到，，证明，，推出，再证明，得到，进而得到，由，建立方程求解，进而可得结果． 【详解】解：延长交延长线于点M，过点C作交延长线于点N，交于点G， 设， ，, ， ∴，则， ， ，即 ， ， 即， （负值舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键． 37．如图， 将长方形沿折叠后展开， 折痕，点P为边上一点，再将纸片分别沿，折叠，点A 的对称点与点 D的对称点重合于点 F，折痕 ，交于点E， 若， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和相似三角形的判定和性质，有折叠得，，，，则点P为的中点，可证明，有，利用平行可证得，有，设，则，即可求得，，，结合即可求得答案． 【详解】解：根据折叠得，，，，， 则点P为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，即， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 38．如图，在中，，点D为边的中点，点E在边上，，将沿BE折叠至，当时，则 ．      【答案】/ 【分析】过点D作于点H，于点F，设与交于点M，由题意易得，则有，然后设，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点D作于点H，交于点F，设与交于点M，如图所示：      ∵，∴， ∵点为中点， ∴，， ∴点F是的中点， ∵，∴， 由折叠的性质可得：， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负根舍去），即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线性质，熟练掌握平行线所截线段成比例、勾股性质、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 39．如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据点H在射线上，，有以下两种情况：①当点H在线段上时，过点A作交延长线于F，则，过点D作于M，证四边形为矩形得，证，推出，再证，由此可得的值；②当点H在的延长线上时，过点A作交延长线于F，同理可得的值． 【详解】解：∵点H在射线上，， ∴有以下两种情况： ①当点H在线段上时，过点A作交延长线于F，过点D作于M，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，∴，∴； ②当点H在的延长线上时，过点A作交延长线于F，如图2所示： 则， 同理可证：，，， ∴，，， ∴，∴， ∴，故答案为：或． 40．如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行线的判定，勾股定理，分别过点D，点E作，垂足分别为，根据易证，得到，由点是上的中点，得到，即可求出，根据易证，得到，由点是中点，得到，即可求出，根据易证，得到，即可求出，从而求出，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，分别过点D，点E作，垂足分别为， ， ， ， 点是上的中点， ， ，， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 相似三角形压轴小题专项训练（40道） 一、填空题 1．如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为 ． 2．如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为、，的延长线经过点，与相交于点．若，且点平分，则的长为 ．    3．如图，在正方形中，，，交于点，在边上，且，于，连接，则的长为 ．    4．如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 5．如图，在中，，，点是斜边边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，，则线段的长为 ． 6．如图，在中，，，，点是边上的一点，是线段的垂直平分线且分别交、于点、． （1）若，则 ； （2）若经过的某一顶点，则 ． 7．如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 8．如图，在中，，，，点是上的动点，以为斜边作等腰直角，点和点位于的两侧，连接，则的最小值是 ． 9．如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ． 10．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为 ；连接，线段的最小值为 ． 11．如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则 ．    12．如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，，取的三等分点，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为 ． 13．如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 14．如图，点E是正方形中边上一点，把沿直线翻折得到（点B的对应点为F），射线交于点H，交直线于点G，连接，若，，则线段的长为 ． 15．如图，在中，，点D是边的中点，点P是延长线上一点，连接，过点A作于点E，连接，若，则的长为 ． 16．如图，中，，，点为线段上一动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角，连接，则的最小值是 ． 17．如图，矩形中，，，是边上一动点，过点作对角线的垂线，分别交于点、交直线于点，则点在运动过程中，的最小值是 ． 18．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 19．如图，矩形，点P是边上一点，连接，将沿折叠得，连接并延长交于点M，若，，，则的长为 ． 20．如图，在中，，，，是延长线上的点，连接，过点作，交于点，连接，若，则 ． 21．如图，在四边形中，，，平分且与垂直，E为的中点．当与的差最大时，则的长为 ． 22．已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 23．如图，在中，，，，D、E是内两点，满足平分，平分，，且，则的面积为 ．    24．在四边形中，，点E为对角线的中点，连接并延长交线段于点F，，则的长为 ． 25．如图，在矩形纸片中，点E在边上（不与点B，点C重合），连接，将沿直线折叠，使得点B落在点F处，若，，则 ． 26．如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ． 27．如图，将菱形的边翻折到，使C的对应点落在对角线上，再将边翻折到，使B的对应点与的外心重合，连结．则与的面积比为 ． 28．如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为 ． 29．如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，，三点在同一条直线上时，的长度为 ． （2）若点落在线段上时，的长度为 ． 30．如图，已知矩形中，，点E、F、P分别在线段、、上，交于点M，，，，过点B作交于点G，试求的长度 ． 31．如图，在中，，，D是上一点，，点M在上，点N在上，将沿折叠，点A恰好与点D重合，则折痕的长为 ． 32．如图，在 中，，，D，E在边上，，，，则的长是 ． 33．如图，在中，，是的中点，在的延长线上，作射线交的延长于点，若，，则线段的长为 ． 34．如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，将沿折叠得到，交于点G．若，，则 ． 35．如图，四边形中，，连接，，且平分，．则的长为 ． 36．如图，在矩形中，E为上一点，F为上一点，连接，交于点H，，则的值为 ． 37．如图， 将长方形沿折叠后展开， 折痕，点P为边上一点，再将纸片分别沿，折叠，点A 的对称点与点 D的对称点重合于点 F，折痕 ，交于点E， 若， 则 ． 38．如图，在中，，点D为边的中点，点E在边上，，将沿BE折叠至，当时，则 ．      39．如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则 ． 40．如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$