专题11 相似三角形基本模型的五种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题11 相似三角形基本模型的五种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、A字型】 2 【考法二、8字型】 4 【考法三、子母型】 6 【考法四、手拉手型】 7 【考法五、一线三等角型】 9 【课后训练】 10 【知识点归纳】 【1. 相似基本模型（A字型）】 【方法点拨】基础模型： A字型（平行） 反A字型（不平行） 【2. 相似基本模型（X字型）】 【方法点拨】基础模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） 【3. 相似基本模型（双垂直型）】 【方法点拨】直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD. 【4. 相似基本模型（手拉手型）】 【方法点拨】基础模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 【5. 相似基本模型（一线三等角型）】 【方法点拨】基础模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 【考法一、A字型】 例．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 变式1．中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 变式2．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ． 变式3．折纸过程中蕴含着很多数学知识，我们选取纸片的折叠问题进行探究： 操作1：如图1，将矩形纸片沿（是上一点）折叠，点落在点处，连接并延长交于点，过点折叠，折痕． 探究1：与之间的关系是_______，由此可得出线段之间的关系是_________． 操作2：取任意三角形纸片，将其沿折叠，使与重合，得折痕后展平，过点折叠，使折痕（如图2）． 探究2：请用图2证明之间的关系仍然成立（不另添加辅助线）． 领悟：此结论是三角形角平分线的一个重要性质． 应用：如图3，直线和相交于点，直线与轴交于点，是的平分线，交轴于点，求点的坐标． 【考法二、8字型】 例．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F （1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC； （2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长． （3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长． 变式1．如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 变式1．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 变式2．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【考法三、子母型】 例．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 变式1．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 变式2．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【考法四、手拉手型】 例．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 变式1．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 变式2．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 【考法五、一线三等角型】 例．[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC． （2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 变式1．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 变式2．在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 【课后训练】 1．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 2．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 3．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点． ①若，求的长； ②作，垂足为，求证：． 4．如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 5．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 6．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+＝0． （1）求点A、C的坐标； （2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值． 7．（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF； （2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长； （3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°． 8．在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 9．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 10．如图1，平行四边形的对角线，相交于点，边的垂直平分线交于点，连接，． （1）过点作交于点，求证：； （2）如图2，将沿翻折得到． ①求证：； ②若，，求的长度． 11．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，、在轴上，，，的角平分线交边于点．        (1)求点坐标； (2)如图2，一动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 相似三角形基本模型的五种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、A字型】 2 【考法二、8字型】 8 【考法三、子母型】 18 【考法四、手拉手型】 23 【考法五、一线三等角型】 29 【课后训练】 36 【知识点归纳】 【1. 相似基本模型（A字型）】 【方法点拨】基础模型： A字型（平行） 反A字型（不平行） 【2. 相似基本模型（X字型）】 【方法点拨】基础模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） 【3. 相似基本模型（双垂直型）】 【方法点拨】直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD. 【4. 相似基本模型（手拉手型）】 【方法点拨】基础模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 【5. 相似基本模型（一线三等角型）】 【方法点拨】基础模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 【考法一、A字型】 例．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 变式1．中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案； （2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm， ∵AC=20cm， ∴CP=（20-4t）cm， 在Rt△CPQ中， ， 即； ∴秒或秒 （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 变式2．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设PQ、AC交于点D，四边形PAQC是平行四边形，则PD=12PQ，即求PD的最小值即可，当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小，过点D作DE⊥BC于点E，当P、E重合时，PD最小，据此即可求得PQ的最小值． 【详解】解：如图，设PQ，AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E， ∴∠CED=90° ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴，， 当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小， ∴当P、E重合时，PD最小， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴∠CAB=∠CED，， 又∵∠DCE=∠BCA， ∴△CED∽△CAB， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、相似三角形的性质与判定等知识，求得DE的长是解题的关键． 变式3．折纸过程中蕴含着很多数学知识，我们选取纸片的折叠问题进行探究： 操作1：如图1，将矩形纸片沿（是上一点）折叠，点落在点处，连接并延长交于点，过点折叠，折痕． 探究1：与之间的关系是_______，由此可得出线段之间的关系是_________． 操作2：取任意三角形纸片，将其沿折叠，使与重合，得折痕后展平，过点折叠，使折痕（如图2）． 探究2：请用图2证明之间的关系仍然成立（不另添加辅助线）． 领悟：此结论是三角形角平分线的一个重要性质． 应用：如图3，直线和相交于点，直线与轴交于点，是的平分线，交轴于点，求点的坐标． 【答案】探究1：Rt△Rt△CEG，；探究2：仍然成立，证明见解析；应用：点C的坐标为(，0) 【分析】探究1：根据折叠的性质结合矩形的性质证明∠=∠ECG，即可证明Rt△Rt△CEG，从而证明； 探究2：由FG∥DC，推出△Rt△EDC，证得，根据折叠的性质结合平行线的性质证得GF=GC，再由FG∥DC，推出，即，从而证明； 应用：联立两解析式求得交点A的坐标(2，2)，再求得点B的坐标，两点之间的距离公式求得OA、AB的长，点C的坐标为(，0)，运用已经证明的结论代入数据即可求解． 【详解】探究1：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠D=90， ∵， ∴四边形EGCD是矩形， ∴EG=CD， 根据折叠的性质，得： ，∠=∠D=∠=90， ∵AD∥BC， ∴∠=∠ECG，∠EGC=∠=90， ∴Rt△Rt△CEG， ∴， ∴；即； 故答案为：Rt△Rt△CEG，； 探究2：结论仍然成立，证明如下： ∵FG∥DC， ∴△Rt△EDC， ∴，即①， 根据折叠的性质，得：∠=∠2， ∵FG∥DC， ∴∠=∠2， ∴∠=∠3， ∴GF=GC， ∵FG∥DC， ∴，即， 结合①得：； 应用：解方程组，得：， ∴交点A的坐标为：(2，2)， 令，则， 解得：， 点B的坐标为：(6，0)， 设点C的坐标为：(，0)， ∴OC=m，BC=6-m，OA=，AB=， ∵AC是∠OAB的平分线， ∴，则，解得：， ∴点C的坐标为：(，0)． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，坐标与图形，一次函数的交点问题，利用相似三角形的判定和性质证明三角形角平分线的一个重要性质并应用是解题的关键．分类讨论思想是解题的关键 【考法二、8字型】 例．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F （1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC； （2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长． （3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长． 【答案】（1）证明见讲解；（2）；（3） 【分析】（1）证明，即可得出； （2）在上取一点，使得，由（1）知，，得出，，，证出，，得出，进而得出答案； （3）在上取一点，使得，由（1）知，得出，，证出，，，，证明，得出，求出的长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ， ； （2）解：在上取一点，使得，如图2所示： 由（1）知，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：在上取一点，使得，如图3所示： 由（1）知， ，，，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ，， ，即，解得：（负值已舍去）， ，， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，能熟练证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 变式1．如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ，，， ，， ，， ，（舍），，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 变式1．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ， 即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 变式2．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②． 【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． （2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论； ②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论． 【详解】（1）证明：∵AC=AB， ∴∠ACB=∠B， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE， ∴∠BDE=∠ACD； （2）证明：如图1， ∵EG∥AC， ∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB， 由（1）知：∠DCA=∠BDE， ∵DC=DE， ∴△DCA≌△EDG（AAS）， ∴AD=EG， ∵∠B=∠ACB=∠BEG， ∴EG=BG=AD， ∴DG=AB， ∵DE=2DF，AF∥EG， ∴， ∴DG=2AD=2AG， ∴AB=DG=2AG； （3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G， 则有∠A=∠G， ∵AB=AC，CD=DE， ∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC， ∴∠ACD=∠EDG， 在△DCA和△EDG中， ∵， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG， ∵AC∥EG， ∴△ACB∽△GEB， ∴， ∵EG=AD，AC=AB， ∴AB•BE=AD•BC； ②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD， ∵AF∥EG， ∴， ∵DE=4DF， ∴， 设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a， ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠GBE=∠BEG， ∴BG=EG=4a， ∴BD=12a， ∵AH∥PD， ∴， 设PD=3h，AH=4h， ∵EG∥AC， ∴， 设BE=y，BC=4y， ∴S△ABC=BC•AH===8yh， S△DCE=CE•PD==yh， ∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强． 【考法三、子母型】 例．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论； （3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论； 【详解】（1）∵与互为母子三角形， ∴或2 故选：C （2）是的角平分线， ， ， ． 又， 与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解． 变式1．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 变式2．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析；(2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即，． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 【考法四、手拉手型】 例．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1；(2)；(3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 变式1．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 变式2．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质和旋转相似模型；解题关键是构造旋转相似模型转换线段关系． （1）根据三角形中位线可直接得出结论； （2）延长至点，使，连接、，根据旋转相似模型证明，即可得出结论； （3）根据当时，可得点在直线，点在直线，再由不同位置分两种情况讨论，结合（2）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）结论：， 理由∶如图2-1，延长至点，使，连接、， ∵点为的中点，∴ 由题意∶，∴， 由旋转知，∴ ， ∴，，∴ ∵，，∴ ，即：， ∴，∴，∴∴ （3）当时， ∵，即：， ∴， 又∵， ∴点在直线， 当点在线段上时，如图2-2， ∵，∴点在直线， ∵，，， ∴，， ∴，∴； 当点在线段延长线上时，如图2-2， 同理可证：点在直线，点在直线， ，， ∴，∴； 综上所述：的长为或． 【考法五、一线三等角型】 例．[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC． （2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 【答案】（1）详见解析；（2）4；[应用]AP= 【分析】（1）由三角形外角性质可得∠DPB=∠A+∠ADP，然后推出∠ADP=∠CPB即可证明相似； （2）由相似得到对应边成比例，建立方程即可求AP； [应用]同（1）的方法，先证明∠EPB=∠ACP，然后证明△APC∽△BEP，再由对应边成比例建立方程求AP. 【详解】（1）∵∠DPB=∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP， ∵∠A=∠DPC， ∴∠ADP=∠CPB ∵∠A=∠B ∴ （2） ∴ ∴ ∴AP=4. [应用]AP=，理由如下： ∵∠BPC=∠A+∠ACP ∴∠CPE+∠EPB=∠A+∠ACP ∵∠CPE=∠A ∴∠EPB=∠ACP 又∵AC=BC ∴∠A=∠B ∴△APC∽△BEP ∴ ∵CE=3EB ∴BE=BC=1 ∴ 解得AP= 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型的证明方法是关键. 变式1．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵，∴ ∴，∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 变式2．在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)相似，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，； （2）分别延长、交于点P，四边形是矩形，，，，四边形、四边形、四边形都是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，点G是的中点，，，，，； （3）由（2）可知，，，由折叠的性质可知，，，，，分情况讨论，①当点E在上时，，，，②当点E在的延长线上时，，，． 【详解】（1）解：与相似 证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ； （2）解：， 理由：如图，分别延长、交于点P，    ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ，，点G是的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ①当点E在上时，如图，    ， ， ， ②当点E在的延长线上时，如图，    ，， ． 综上所述，的长为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，相似的性质和判定，三角函数等知识点，属于压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理和 【课后训练】 1．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 【答案】． 【分析】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可． 【详解】解：过F作MN⊥BC， ∵BE=，BC=10， ∴BE=6， ∵翻折 ∴△ABE≌△AFE， ∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8， ∴∠AFN+∠EFM=90°， ∵∠AFN+∠FAN=90°， ∴∠FAN=∠EFM， ∴△AFN∽△FEM， ∴， 设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6， ∴FN=8-3x，EM=4x-6，∴，∴， 经检验：是原方程的根，∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似． 3．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点． ①若，求的长； ②作，垂足为，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析． 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质可得，然后根据平行线的判定可得，，最后根据平行四边形的判定即可得证； （2）①先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据（1）已求，从而可得，然后根据线段的和差即可得； ②先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，由此即可得证． 【详解】（1）∵是等边三角形 ∴， 在中， ∴ ∵点是线段的中点 ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形； （2）①如图，连接，交于点 ∵，∴，∴ ∵，，∴ ∵，∴； ②如图，作，垂足为 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 4．如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析；(2)，或， 【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题． （2）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中， ， ，， 平分， ，同理， ，， ， ． （2）与相似，， 中必有一个内角为 是锐角， ． ①当时， ， ， ， ，此时． ②当时，， ， 与相似， ，此时． 综上所述，，．，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 5．如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2． 【分析】（1）先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得； （3）设，从而可得，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）， ， 在和中，， ， ， ； （2）， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ， 点E是AC的中点， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， ； （3）设， 是等腰直角三角形， ， 点分别是的中点， ， 在中，， ， 由（1）知，， ，即， 解得， 在中，， ， 在和中，， ， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 6．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+＝0． （1）求点A、C的坐标； （2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值． 【答案】（1）点A（0，-2）、C的坐标（2，0）；（2）CD、OD、BD之间的数量关系是BD-OD=CD，见解析；（3）的值不变化；1． 【分析】（1）利用实数的非负性，确定m，n的值，根据点的位置，坐标的特点，确定坐标即可； （2）如图1，在BD上截取BE=OD，连接CE，根据∠ODB=∠OCB=90°，对顶角相等，确定∠DOC=∠EBC，从而证明△DOC≌△EBC，继而得到△DEC是等腰直角三角形，实现解题目标； （3）根据∠OMF=∠FAB=90°，∠OFM=∠AFB，得到∠MOF=∠NBA，∠OMF=∠BNA=90°， 得到△OMF∽△BNA，；∠ABF=∠NBA，∠BAF=∠BNA=90°， 得到△BAF∽△BNA，,继而得到,将两个比例式相加即可． 【详解】（1）∵+＝0， ∴m+2=0，n-2=0， ∴m= -2，n=2， ∴点A（0，-2）、C的坐标（2，0）； （2）如图1，在BD上截取BE=OD，连接CE，∵∠ODB=∠OCB=90°，∠1=∠2， ∴∠DOC=∠EBC， ∵四边形ABCD是矩形，且OC=OA=2， ∴四边形ABCD是正方形， ∴CO=CB， ∵BE=OD， ∴△DOC≌△EBC， ∴DC=CE，∠DCO=∠ECB， ∵∠OCE+∠ECB=90°， ∴∠OCE+∠DCO =90°， ∴△DEC是等腰直角三角形， ∴DE=CD， ∴BD-OD=CD； （3）的值不变化；1．理由如下： 如图2，∵∠OMF=∠FAB=90°，∠OFM=∠AFB， ∴∠MOF=∠NBA， ∵∠OMF=∠BNA=90°， ∴△OMF∽△BNA， ∴； ∵∠ABF=∠NBA，∠BAF=∠BNA=90°， ∴△BAF∽△BNA， ∴, ∴, ∴, ∵四边形OABC是正方形， ∴OA=AB， ∴,∴=1． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的全等，三角形的相似，熟练运用截长法和三角形相似是解题的关键． 7．（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF； （2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长； （3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）34° 【分析】（1）将ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG，由此可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，进而证明EAF≌GAF，由此即可证得结论； （2）根据翻折可设AG＝GE＝x，则BG＝5－x，利用勾股定理可得，由此解得，，在利用相似三角形的判定与性质即可求得答案； （3）连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m，根据等腰三角形的性质可得∠AFE＝，再通过相似三角形的判定与性质可得∠AQE＝∠AFE＝，最后根据三角形的内角和及平角的定义即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，将ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG， ∴∠ADF+∠ADG＝180°， ∴F，D，G三点共线， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAD＝45°， ∴∠DAG+∠FAD＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG， 在EAF与GAF中， ， ∴EAF≌GAF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵DG+FD＝FG， ∴BE＋FD＝EF； （2）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠A＝∠D＝90°， ∵BE＝3，EC＝2， ∴AB＝BC＝5， ∵翻折， ∴设AG＝GE＝x，则BG＝5－x， ∵在RtBGE中，， ∴， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴∠GEF＝∠A＝90°， ∴∠GEB＋∠FEC＝∠GEB＋∠BGE＝90°， ∴∠FEC＝∠BGE， 又∵∠B＝∠C， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴EF的长为； （3）解：如图，连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m， ∵EF＝EA， ∴∠EAF＝∠EFA＝， ∵∠FQA＝∠FEA，∠FOQ＝∠AOE， ∴， ∴， ∴， 又∵∠FOA＝∠QOE， ∴， ∴∠AQE＝∠AFE＝， ∵∠CFQ＝34°，∠C＝90°， ∴∠CQF＝90°－∠CFQ＝56°， ∵∠CQF＋∠FQA＋∠AQE＝180°， ∴56°＋m＋＝180°， 解得：m＝68°， ∵∠D＝90°， ∴∠QAD＝90°－∠AQE ＝90°－() ＝ ＝34°， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等相关知识，熟练运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 8．在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵，∴， ∴．∵，∴， ∴，∴， ∴，． ∵，∴． 又∵，∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 9．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 10．如图1，平行四边形的对角线，相交于点，边的垂直平分线交于点，连接，． （1）过点作交于点，求证：； （2）如图2，将沿翻折得到． ①求证：； ②若，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据题意证明，即可证明，在根据垂直平分可得，即可证的结果； （2）①过点作交于点，根据（1）中结论，然后证明即可； ②求证，则，据此解答即可． 【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴； （2）如图2，过点作交于点． ①证明：由（1）可知，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②解：∵， ∴， 由翻折可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴．（负根舍去） 经检验：是原方程的根，且符合题意， 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，能够根据已知条件证明相关三角形全等和相似是解题的关键． 11．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，、在轴上，，，的角平分线交边于点．        (1)求点坐标； (2)如图2，一动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，，当时，，当时，， (3) 【分析】（1）根据角平分线+平行模型证明，由勾股定理求出，即可得点； （2）由点，点求出，根据运动速度即可得出的表达式； （3）设点P横坐标为，则点P，得，，，根据相似和角平分线+平行模型得，在中，由求出，继而得出各点坐标值，求出直线、解析式，进而求出交点坐标. 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴点, ∴点, （2）∵，点， ∴， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， （3）解：延长、交于点，    ∵点、，设的解析式为 ∴ ∴直线的解析式为， 设点P横坐标为，则点P， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴, ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故，点， 故，点， 同理：直线的解析式为， ∵，点，同理：直线的解析式为， 联立直线、解析式得： ，解得：，∴点坐标为 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，角平分线定义，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线，转换线段比是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$