专题09 概率解答题的两种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题09 概率解答题的两种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、列表或者树状图法求概率】 1 【考法二、游戏公平性问题】 5 【课后训练】 7 【知识点归纳】 1.概率的意义：概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生． 2.概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 3.列表法或树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 4.频率与概率的关系：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【考法一、列表或者树状图法求概率】 例．某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： (1)求本次参加课后延时服务的学生人数； (2)把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数； (3)在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 变式1．近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题备受关注，相关人员对本地区15～65岁年龄段的500名市民进行了随机调查，在调查过程中对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：：没影响；：影响不大；：有影响，建议做无声运动；：影响很大，建议取缔；：不关心这个问题，将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．          请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：________，态度为所对应的圆心角的度数为________； （2）补全条形统计图； （3）若全区15～65岁年龄段有20万人，估计该地区对“广场舞”噪音干扰的态度为的市民人数； （4）若在这次调查的市民中，从态度为的市民中抽取一人的年龄恰好在年龄段15～35岁的概率是多少？ 变式2．在体育活动课中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行某体育项目的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表，请你根据表中的信息完成下列问题： 分　　组 频数 频率 第一组（不及格） 3 第二组（中） b 第三组（良） 7 第四组（优） 6 a (1)频数分布表中 ， ； (2)如果该校九年级共有学生900人，估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有多少人？ (3)已知第一组中有两个甲班学生，第二组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生对体育活动课提出建议，则所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率是多少？ 变式3．2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日至28日是第三十七届“中国水周”．某学校积极响应“世界水日•中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理，描述和分析，得到如下信息． 信息一： 甲小区3月份用水量频数分布表 用水量 频数（户） 4 9 10 5 2 信息二：甲，乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数 9.0 9.1 中位数 9.2 信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)______； (2)在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，的大小，并说明理由； (3)因任务安排，需在小组和小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有2名男生和名女生，小组有1名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 【考法二、游戏公平性问题】 例．某中学九年级共有6个班，要从中选出两个班代表学校参加一项重大活动，九（1）班是先进班，学校指定该班必须参加，另外再从九（2）班到九（6）班中选出一个班，九（4）班有同学建议用如下方法选班：从装有编号为1，2，3的三个白球的A袋中摸出一个球，再从装有编号也为1，2，3的三个红球的B袋中摸出一个球（两袋中球的大小、形状与质地完全一样），摸出的两个球编号之和是几就派几班参加． （1）请用列表或画树形图的方法列举出摸出的两球编号的所有可能出现的结果； （2）如果采用这一建议选班，对五个班是一样公平的吗？请说明理由． 变式1．小明、小华两位同学相约打羽毛球． (1)有款式完全相同的3个羽毛球拍，分别记为A，B，C．小明从中随机选取1个，则小明选中球拍A的概率为______． (2)为了决定谁先发球，两人一起设计了一个游戏：在一个口袋中装有四个小球，分别标有数字，球除数字外都相同，小明从口袋中随机摸出一球，记下数字后放回摇匀，小华再从中随机摸出一球，若两球上的数字之积小于或等于，则小明先发球，否则小华发球，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 变式2．2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______； (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？ 变式3．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90 90 b 38.7 九年级 90 c 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述a、b、c的值：_____，____，____； (2)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数． (3)为了激发学生对航天科技的兴趣，学校决定派一个年级去内蒙古展览馆参观航天成果展，特为八年级和九年级的学生设计了一个转盘游戏，各年级分别派一名代表摸奖，获胜年级参观展览．具体规则如下：其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给八年级，否则票给九年级（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平． 【课后训练】 1．为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次成绩和第二次成绩情况统计图．    (1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是________分，他两次活动的平均成绩是_______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； (2)若有400名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数． 2．校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格良好，优秀），下面给出了部分信息： 10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的七、八年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 89 a 26.6 八年级 90 b 90 30 抽取的八年级10名学生的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中“优秀”等级共有多少人？ (3)学校决定选取两名八年级成绩达到优秀的学生去参加比赛，其中有一名女生，请利用树状图或者表格求出参加比赛的人选恰好一男一女的概率是多少？ 3．睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时）    (1)本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． (2)请补全条形统计图． (3)被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 4．2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”，某学校开展了“浸润书香 典耀中华”中国四大古典名著图书漂流活动，小颖和小亮都想阅读《水浒传》，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁先阅读．游戏规则如下： 甲口袋装有编号为1，2，3的三个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4的四个球，两口袋中的球除编号外都相同．小颖先从甲口袋中随机摸出一个球，小亮再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之积为奇数，则小颖获胜；若两球编号之积为偶数，则小亮获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 5．某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，请回答下列问题： (1)请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数； (2)若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数； (3)小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 概率解答题的两种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、列表或者树状图法求概率】 1 【考法二、游戏公平性问题】 7 【课后训练】 11 【知识点归纳】 1.概率的意义：概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生． 2.概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 3.列表法或树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 4.频率与概率的关系：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【考法一、列表或者树状图法求概率】 例．某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： (1)求本次参加课后延时服务的学生人数； (2)把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数； (3)在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】(1)80 (2)图形见解析； (3)树状图见解析；所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图； （1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数． （2）用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求出的度数． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次参加课后延时服务的学生人数是（名）． （2）参加组的人数为（名）． 补全条形统计图如图所示． 扇形统计图中的的度数是． （3）设组的1名男生和1名女生分别记为组的1名男生和2名女生分别记为． 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有：，，，共3种， 所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为． 变式1．近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题备受关注，相关人员对本地区15～65岁年龄段的500名市民进行了随机调查，在调查过程中对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：：没影响；：影响不大；：有影响，建议做无声运动；：影响很大，建议取缔；：不关心这个问题，将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．          请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：________，态度为所对应的圆心角的度数为________； （2）补全条形统计图； （3）若全区15～65岁年龄段有20万人，估计该地区对“广场舞”噪音干扰的态度为的市民人数； （4）若在这次调查的市民中，从态度为的市民中抽取一人的年龄恰好在年龄段15～35岁的概率是多少？ 【答案】（1）32，115.2°；（2）见解析；（3）6.6万人；（4） 【详解】（1）32，115.2°； （2）补全条形统计图略． ． （3）该地区对“广场舞”噪音干扰的态度为的市民人数为（万人）； （4）从态度为的市民中抽取一人的年龄恰好在年龄段15～35岁的概率为． 变式2．在体育活动课中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行某体育项目的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表，请你根据表中的信息完成下列问题： 分　　组 频数 频率 第一组（不及格） 3 第二组（中） b 第三组（良） 7 第四组（优） 6 a (1)频数分布表中 ， ； (2)如果该校九年级共有学生900人，估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有多少人？ (3)已知第一组中有两个甲班学生，第二组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生对体育活动课提出建议，则所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率是多少？ 【答案】(1)，4 (2)估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有585人； (3)见解析； 【分析】（1）由频率之和为1得出a的值，根据第一组频数及频率得出总人数，再乘以第二组频率可得b的值； （2）总人数乘以样本中第三、四组频率之和可得； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好是甲班和乙班各一人的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：， ∵总人数为：（人）， ∴（人）； 故答案为：，4； （2）解：（人）， 答：估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有585人； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能结果，其中所选两人正好是甲班和乙班各一人的有5种， 所以所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 变式3．2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日至28日是第三十七届“中国水周”．某学校积极响应“世界水日•中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理，描述和分析，得到如下信息． 信息一： 甲小区3月份用水量频数分布表 用水量 频数（户） 4 9 10 5 2 信息二：甲，乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： 甲小区 乙小区 平均数 9.0 9.1 中位数 9.2 信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)______； (2)在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，的大小，并说明理由； (3)因任务安排，需在小组和小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有2名男生和名女生，小组有1名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 【答案】(1)；(2)；(3)抽取的两名同学都是男生的概率为． 【分析】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图， （1）根据中位数的定义进行计算即可． （2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可． （3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵随机抽取了30户居民，故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；根据条形统计图可知： 用水量在的有3户，用水量在的有11户， 故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数， ∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．∴乙小区3月份用水量的中位数是；故答案为：． （2）解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：；低于本小区平均用水量的户数为（户）， 故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为； 在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：；低于本小区平均用水量的户数为（户），故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，∵，∴． （3）解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有2种， ∴抽取的两名同学都是男生的概率为． 【考法二、游戏公平性问题】 例．某中学九年级共有6个班，要从中选出两个班代表学校参加一项重大活动，九（1）班是先进班，学校指定该班必须参加，另外再从九（2）班到九（6）班中选出一个班，九（4）班有同学建议用如下方法选班：从装有编号为1，2，3的三个白球的A袋中摸出一个球，再从装有编号也为1，2，3的三个红球的B袋中摸出一个球（两袋中球的大小、形状与质地完全一样），摸出的两个球编号之和是几就派几班参加． （1）请用列表或画树形图的方法列举出摸出的两球编号的所有可能出现的结果； （2）如果采用这一建议选班，对五个班是一样公平的吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）不公平，见解析. 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：（1）列表可得： （2）不公平： 因为观察图表可得：两个球编号之和为2的有1种情况；两个球编号之和为3的有2种情况；两个球编号之和为4的有3种；两个球编号之和为5的有2种；两个球编号之和为6的有1种；即各自被选中的概率不相等，所以不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 变式1．小明、小华两位同学相约打羽毛球． (1)有款式完全相同的3个羽毛球拍，分别记为A，B，C．小明从中随机选取1个，则小明选中球拍A的概率为______． (2)为了决定谁先发球，两人一起设计了一个游戏：在一个口袋中装有四个小球，分别标有数字，球除数字外都相同，小明从口袋中随机摸出一球，记下数字后放回摇匀，小华再从中随机摸出一球，若两球上的数字之积小于或等于，则小明先发球，否则小华发球，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】本题考查概率公式，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握用列表法和画树状图法求等可能事 件的概率的方法是解题的关键． （1）估计概率公式直接求出即可； （2）利用列表法或画树状图法求出小明先发球和小华先发球的概率，再比较概率大小即可． 【详解】（1）解：∵3个羽毛球拍，从中随机选取1个，有3种可能，小明选中球拍A有1种可能， ∴小明选中球拍A的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 一共有16种等可能的情况，其中两球上的数字之积小于或等于有6种可能的结果， ∴，， ∵， ∴这个游戏不公平． 变式2．2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______； (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？ 【答案】(1)；(2)这个游戏不公平 【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求出即可； （2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论． 【详解】（1）解：共10名志愿者，女生4人， 选到女生的概率是：；故答案为：． （2）解：根据题意画图如下： 共有12种情况，和为偶数的情况有4种， 牌面数字之和为偶数的概率是，甲参加的概率是，乙参加的概率是， 这个游戏不公平． 变式3．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90 90 b 38.7 九年级 90 c 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述a、b、c的值：_____，____，____； (2)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数． (3)为了激发学生对航天科技的兴趣，学校决定派一个年级去内蒙古展览馆参观航天成果展，特为八年级和九年级的学生设计了一个转盘游戏，各年级分别派一名代表摸奖，获胜年级参观展览．具体规则如下：其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给八年级，否则票给九年级（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平． 【答案】(1)40；96，；(2)980人；(3)游戏公平，见解析 【分析】（1）根据频数=样本容量×所占百分数，计算A，B的频数，后求得D的频数，再根据众数，中位数的定义计算解答． （2）利用样本估计总体的思想计算即可． （3）利用画树状图计算即可．本题考查了中位数，众数、样本估计，扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． 【详解】（1）A的频数为： (人)，B的频数为： (人)， C的频数为：6 (人)，∴D的频数为（人），∴，故a为40； 96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94，出现次数最多是数据是96，故b为96；根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数即，故答案为：40；96，． （2）根据题意，得：(人) ． （3）公平，根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，恰好是偶数可能性有6种， ∴八年级获胜的概率是，九年级获胜的概率是．概率相等，故游戏公平． 【课后训练】 1．为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次成绩和第二次成绩情况统计图．    (1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是________分，他两次活动的平均成绩是_______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； (2)若有400名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数． 【答案】(1)①90，87.5；②见解析 (2)180人 【分析】（1） ①根据图象直接得到，再求平均即可； ②符合题目要求的范围在直线的左边，直线的上面，圈出即可； （2）用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可． 【详解】（1）①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是， 故答案为：90，87.5； ②如图所示，符合题目要求的范围在直线的左边，直线的上面，图中圈出的就是所求；    （2）（人）， 答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为180人． 【点睛】本题考查了看图知识，求平均数，解题的关键是熟练掌握平均数等知识． 2．校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格良好，优秀），下面给出了部分信息： 10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的七、八年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 89 a 26.6 八年级 90 b 90 30 抽取的八年级10名学生的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中“优秀”等级共有多少人？ (3)学校决定选取两名八年级成绩达到优秀的学生去参加比赛，其中有一名女生，请利用树状图或者表格求出参加比赛的人选恰好一男一女的概率是多少？ 【答案】(1)95，90，20 (2)490人 (3) 【分析】本题考查了会从统计图中获取信息进行相关计算，众数、中位数的定义，平均数、众数、中位数、方差的特征以及求随机事件的概率，，正确获取信息，会根据数据的集中趋势特征数和离散程度的特征数进行分析决策是解题的关键． （1）根据已知条件可以分别求出八年级10名学生“优秀”和“良好”的人数，再根据众数和中位数的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可求解； （3）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好是一男一女所占的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为， ∴八年级“优秀”等级人数为：（人）， ∴八年级“良好”等级为：（人）， ∴八年级“合格”等级所占百分比为，∴， ∴八年级“合格”等级人数为：（人）， ∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中第5、6成绩的平均数，为（分）， 10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，∴； 故答案为：95，90，20； （2）估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有 （人）； （3）由（1）可知，八年级成绩达到优秀的学生有3人，其中有一名女生， 画树状图为： 共有6种等可能的结果数，恰好是一男一女的有4种情况， ∴恰好是一男一女的概率是． 3．睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时）    (1)本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． (2)请补全条形统计图． (3)被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)50；；(2)见解析；(3) 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）根据类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；用360度乘以类的人数占比即可求出类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数； （2）根据（1）所求，求出类的人数即可补全统计图； （3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）；；故答案为：50；； （2）解：类的人数为（人），补全条形统计图，如图，    （3）解：画树状图如下：    共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种．． 4．2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”，某学校开展了“浸润书香 典耀中华”中国四大古典名著图书漂流活动，小颖和小亮都想阅读《水浒传》，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁先阅读．游戏规则如下： 甲口袋装有编号为1，2，3的三个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4的四个球，两口袋中的球除编号外都相同．小颖先从甲口袋中随机摸出一个球，小亮再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之积为奇数，则小颖获胜；若两球编号之积为偶数，则小亮获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】不公平，列表见解析 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率、游戏公平性等知识点，正确列出所有可能的结果是解题的关键． 先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小颖获胜和小明获胜的概率，最后进行比较即可解答． 【详解】解：所有可能的结果如下：         乙 甲 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 ∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之积为奇数的有4种结果，两球编号之积为偶数的有8种结果， ∴，， ∵， ∴游戏对双方不公平． 5．某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，请回答下列问题： (1)请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数； (2)若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数； (3)小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率． 【答案】(1)补充条形统计图见解析；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为； (2)估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人； (3)甲乙两位同学选择相同课程的概率为：． 【分析】（1）根据选择“E”的人数及比例求出总人数，总人数乘以D占的比例求得“D”的人数，总人数减去其他类别的人数求得“A”的人数，据此即可将条形统计图补充完整，再用360度乘以“C”占的比例即为“手工制作”对应的扇形圆心角度数； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】（1）解：参与调查的总人数为：（人）， “D”的人数（人）， “A”的人数（人）， “手工制作”对应的扇形圆心角度数， 补充条形统计图如图： （2）解：（人）， 因此估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人； （3）解：画树状图如下：    由图可知，共有9种等可能的情况，其中两位同学选择相同课程的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同课程的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$