专题15 二元一次方程组应用压轴题的两种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题15 二元一次方程组应用压轴题的两种考法全梳理 目录 【考法一、整体代换求解】 1 【考法二、整数解问题】 6 【课后训练】 9 【考法一、方案设计问题】 例．天府七中组织初中年级共名学生到广元剑门关参加研学活动，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 【答案】(1)每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 (2)①共有2种租车方案，方案1：租小客车3辆，大客车10辆；方案2：租小客车12辆，大客车4辆；最省钱的租车方案是方案1租小客车3辆，大客车10辆，最少租金为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用,二元一次方程的应用： （1）设每辆小客车能坐人，每辆大客车能坐人，根据题意可得等量关系：辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，根据等量关系列出方程组，再解即可； （）①根据题意可得小客车辆运的人数大客车辆运的人数，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金元，大客车每辆租金元分别计算出租金即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 依题意得：， 解得：. 答：每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生． （2）解：①依题意得：， ∴， 又∵，均为正整数，∴或，∴共有2种租车方案， 方案1：租小客车3辆，大客车10辆； 方案2：租小客车12辆，大客车4辆． ②方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）． ∵， ∴最省钱的租车方案是方案1租小客车3辆，大客车10辆，最少租金为元． 变式1．根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖人，二等奖30人，三等奖人，且． （3）一等奖：1支水管和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务3 确定获奖人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则= ， 【答案】（1）一盒水气120元，一包笔记本80元；（2）购买水笔2盒，笔记本8包或者水笔4盒，笔记本5包或者水笔6盒，笔记本2包；（3）， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设一盒水笔元，一包笔记本元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买水笔盒，笔记本包，根据将880元全部用完，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）由题意可知，共需笔记本为本，水笔支，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，分别列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：（1）设一盒水笔元，一包笔记本元， 由题意得：， 解得：， 答：一盒水笔120元，一包笔记本80元； （2）设购买水笔盒，笔记本包， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 有3种购买方案： ①购买水笔2盒，笔记本8包； ②购买水笔4盒，笔记本5包； ③购买水笔6盒，笔记本2包； 答：将880元全部用完，可以购买购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包； （3）由题意可知，共需笔记本为本，水笔支， 方案①中，水笔为：(支，笔记本为：(本， 由题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 方案②中，水笔为：(支，笔记本为：(本， 由题意得：，解得：，符合题意； 方案③中，水笔为：(支，笔记本为：(本， 由题意得：，解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，，， 故答案为：18，62． 变式2．抚顺市某中学在今年11月份组织七年级学生去抚顺市素质教育基地进行实践活动学习，由胡主任和甲、乙两名同学到客车租赁公司洽谈租车事宜． (1)两同学向公司经理了解租车的价格．公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”胡主任说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”请你求出来． (2)公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，你知道七年级共有多少人去素质教育基地进行实践活动吗？ (3)胡主任在一旁听了他们的谈话说：考考你们七年数学学习的情况，“若从省钱角度考虑，还有别的方案吗？”如果是聪明的你，你该如何设计租车方案，请直接写出租车方案． 【答案】(1)45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元； (2)参加拓展训练的一共有240人； (3)租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元，根据“租2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆，根据总人数不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，进而可求出参加拓展训练的人数； （3）设租45座的客车辆，租60座的客车辆，根据总人数租用45座客车的辆数租用60座客车的辆数，即可得出，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求出费用更低的租车方案． 【详解】（1）设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元， 依题意，得：， 解得：， ． 答：45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元． （2）解：设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆， 依题意，得：， 解得：， ，即参加拓展训练的一共有240人． （3）解：设租45座的客车辆，租60座的客车辆， 依题意，得：，． ，均为正整数，，． 新方案：租用4辆45座的客车，1辆60座的客车 甲的费用：（元）；乙的费用：（元） 新方案的费用：（元） 租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低． 变式3．两江新区某校七年级550名学生乘坐渝约公交去照母山春游，已知满员时，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生90人；用1辆小客车和3辆大客车每次可运送学生145人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆的租金是220元，大客车每辆的租金是360元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送65名学生 (2)①一共有三种租车方案：租用小客车22辆，大客车0辆；租用小客车14辆，大客车5辆；租用小客车6辆，大客车10辆；②租用小客车22辆，大客车0辆的费用最少，最少为4840元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用； （1）设 1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可分别运送x名学生，y名学生，再根据用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生90人；用1辆小客车和3辆大客车每次可运送学生145人列出方程组求解即可； （2）①根据（1）所求得到方程，求出方程的非负整数解即可得到答案；②根据（2）①所求分别计算出三种方案的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设 1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可分别运送x名学生，y名学生， 由题意得，，解得， ∴1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可分别运送25名学生，40名学生， ∴1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送65名学生； （2）解：①由题意得，，∴， ∵a、b都为非负整数，∴也是非负整数，∴b一定是5的倍数， 当时，，当时，， 当时，，当时，，不符合题意； ∴一共有三种租车方案：租用小客车22辆，大客车0辆；租用小客车14辆，大客车5辆；租用小客车6辆，大客车10辆； ②租用小客车22辆，大客车0辆的费用为元； 租用小客车14辆，大客车5辆的费用为元； 租用小客车6辆，大客车10辆的费用为元； ∵， ∴租用小客车22辆，大客车0辆的费用最少，最少为4840元． 【考法二、分配问题】 例．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者； (2)36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，根据题中等量关系列出方程组即可；　 （2）设需调配36座客车辆，22座客车辆，根据题意列出二元一次方程， 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，依题意，得：，解得：； 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者． （2）解：设需调配36座客车辆，22座客车辆， 依题意，得：，∴， 又∵m，n均为正整数，∴；答：36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，根据题意列出方程组与方程是解题的关键． 变式1．某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车 (2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可； （2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 变式2．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆 (2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握建立方程组是解题关键． （1）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，根据“120吨物资”和“运费9600元”建立方程组，解方程组即可得； （2）设需要乙型车x辆，丙型车y辆，根据“甲、乙、丙型车共14辆”，“一次运完全部物资”建立关于x，y的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆； （2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆， 根据题意得， 解得， 此时总运费为（元）． 答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元． 变式3．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ，解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 【课后训练】 1．年我国多地道受连绵不断的阴雨天袭击，夏粮作为全年粮食生产的第一季，收割受到极大的影响．陕西省某县政府为了帮助村民抢收小麦，租来了每天能收割小麦亩的型收割机和每天能收割小麦亩的型收割机共台，全部型号的收割机一天能收割亩． (1)政府租来的型收割机和型收割机各有多少台? (2)该县某乡镇共有亩小麦，镇长向政府申请了援助．因调配问题，政府只能每天向该镇派遣同一型号的所有收割机进行援助．经过天的努力，该乡镇恰好收割了全部小麦．已知每台型收割机收费是元/天，每台型收割机收费是元/天．请计算援助该乡镇共花费了多少元? 【答案】(1)型有台，型有台 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题． （1）设型收割机有台，型收割机有台，再根据题意列方程即可求解； （2）由题意知，天收割了全部小麦，设型收割机收了天，型收割机收了 天，根据天数和小麦总数列二元一次方程组解出、的值即可计算总费用． 【详解】（1）解：设政府租来的型收割机有台，型收割机有台， 由题意可知：， 解得：，， 政府租来的型收割机有台，型收割机有台； （2）由题意知，天收割了全部小麦亩， 设型收割机收了天，型收割机收了天， ，解得：， 总费用：(元)， 援助该乡镇共花费了元． 2．某校准备组织九年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人； (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生 (2)最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人列出方程组求解即可； （2）①根据（1）所求可得方程，求出方程的非负整数解即可得到两种方案，求出两种方案的花费即可得到答案． 【详解】（1）解：设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生， 由题意得， 解得， 每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生； （2）解：由题意得，， ∴， ∵都是整数， ∴一定是整数， ∴y一定是4的倍数， ∴或， ∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆； 方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元）， ∵， ∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元． 3．甲、乙两家单位组织员工开展捐款活动，已知甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的． (1)甲、乙单位员工人均捐款数分别为多少元？ (2)现两家单位共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱1500元，B种物资每箱1200元，若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有哪几种购买方案？（两种物资均按整箱配送） 【答案】(1)甲、乙单位员工人均捐款数分别为100元，50元 (2)一共有两种方案；方案一：购买A种物资4箱，B种物资15箱；方案二：购买A种物资8箱，B种物资10箱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设甲、乙单位员工人均捐款数分别为x元，y元，根据一共捐款24000元，且乙单位的人均捐款数是甲单位的列出方程组求解即可； （2）设购买A、B两种物资分别m箱，n箱，则可得方程，进而得到，再根据m、n都是正整数，且n不小于10进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙单位员工人均捐款数分别为x元，y元， 由题意得， ， 解得， 答：甲、乙单位员工人均捐款数分别为100元，50元； （2）解：设购买A、B两种物资分别m箱，n箱， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是整数，即要是4的倍数， ∴当时，； 当时，； 当时，，此时不符合题意； ∴一共有两种方案；方案一：购买A种物资4箱，B种物资15箱；方案二：购买A种物资8箱，B种物资10箱． 4．回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到115元，单价为整数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②108或106元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的实际运用，求解的方法等知识是解题的关键． （1）根据题意，用代数式表示数量关系即可求解； （2）①根据题意列二元一次方程求解即可；②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，可得，根据三种鞋的单价均超过元，不到元，通过代入合适的数字计算即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 合计 上午的销售量 下午的销售量 合计 故答案为：，，，． （2）解：①依题意有：，解得； ②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，依题意有：，即，则， ∵三种鞋的单价均超过元，不到元， ∴，；，． ∴型鞋的单价可能为或元． 5．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车； (2)①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人． 【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可； （2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车， 根据题意得， 解之得． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车； （2）设调熟练工m人， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴当，2，3，4时，，6，4，2， 即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在于考虑人数是整数． 6．众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如表： 目的地车型 A地（元/辆） B地（元/辆） 大货车 900 1000 小货车 500 700 现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元． (1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ (2)求y与x的函数解析式，并求出x的取值范围； (3)因某种原因，大货车运往A地的运费每辆减少a元（），其他不变，怎样安排货车使得总运费最小． 【答案】(1)大货车有12辆，小货车8辆 (2)，，x为整数 (3)到A地的大货车安排10辆，到B地的大货车安排2辆，到B地的小货车安排8辆，总运费最小 【分析】（1）设装好物资的20辆货车中，大货车、小货车各有m与n辆，根据题意列出方程组即可求出答案． （2）根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系． （3）分三种情况讨论得到答案． 【详解】（1）设装好物资的20辆货车中，大货车、小货车各有m与n辆， 由题意可知：， 解得：， 答：大货车有12辆，小货车8辆； （2）到A地的大货车有x辆，则到A地的小货车有辆，到B地的大货车有辆，到B地的小货车有辆， ∴ ， 其中，x为整数； （3）根据题意得： ， 当时，y随x的增大而增大， ∴时，，y最小，即到A地的大货车安排2辆，到A地的小货车安排8辆，到B地的大货车安排10辆，总运费最小， 当时，运费都是15600， 当时，y随x的增大而减小， ∴时，时，运费最小，即到A地的大货车安排10辆，到B地的大货车安排2辆，到B地的小货车安排8辆，总运费最小． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确求出大货车、小货车各有12与8辆，并正确列出y与x的函数关系式，本题属于中等题型． 7．请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了______张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为______元． 任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 【答案】任务一：4，1011；任务二：小观一家用了4张型的消费券，6张型的消费券，3张型的消费券；任务三：付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券，见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （任务一）利用使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数），可求出使用型的消费券的张数，再利用此时减券前的消费金额最少使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数，即可求出此时减券前的最少消费金额； （任务二）设小观一家用了张型的消费券，张型的消费券，则用了张型的消费券，根据“小明一家用13张、、型的消费券消费，且消费金额减了390元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务三）设小观一家用了a张型的消费券，b张型的消费券，c张型的消费券，可得，当仅用A型和B型时，不符合题意； 当仅用A型和C型时，， 符合题意的为，付款为：；当仅用B型和C型时，，符合题意的为，付款为：，故付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券． 【详解】解：（任务一）根据题意得： （张， 此时减券前的消费金额最少为 （元． 故答案为：4，1011； （任务二）设小观一家用了张型的消费券，张型的消费券，则用了张型的消费券， 根据题意得：， 解得：， （张． 答：小观一家用了4张型的消费券，6张型的消费券，3张型的消费券； （任务三）设小观一家用了a张型的消费券，b张型的消费券，c张型的消费券， 由于小观一家4人， ∴， 当仅用A型和B型时，，即， 没有符合题意的整数a，b，故舍去； 当仅用A型和C型时，，则 符合题意的为，付款为：； 当仅用B型和C型时， 符合题意的为，付款为：； 由于， ∴付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 二元一次方程组应用压轴题的两种考法全梳理 目录 【考法一、整体代换求解】 1 【考法二、整数解问题】 3 【课后训练】 4 【考法一、方案设计问题】 例．天府七中组织初中年级共名学生到广元剑门关参加研学活动，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 变式1．根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖人，二等奖30人，三等奖人，且． （3）一等奖：1支水管和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务3 确定获奖人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则= ， 变式2．抚顺市某中学在今年11月份组织七年级学生去抚顺市素质教育基地进行实践活动学习，由胡主任和甲、乙两名同学到客车租赁公司洽谈租车事宜． (1)两同学向公司经理了解租车的价格．公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”胡主任说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”请你求出来． (2)公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，你知道七年级共有多少人去素质教育基地进行实践活动吗？ (3)胡主任在一旁听了他们的谈话说：考考你们七年数学学习的情况，“若从省钱角度考虑，还有别的方案吗？”如果是聪明的你，你该如何设计租车方案，请直接写出租车方案． 变式3．两江新区某校七年级550名学生乘坐渝约公交去照母山春游，已知满员时，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生90人；用1辆小客车和3辆大客车每次可运送学生145人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆的租金是220元，大客车每辆的租金是360元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【考法二、分配问题】 例．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 变式1．某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 变式2．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 变式3．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【课后训练】 1．年我国多地道受连绵不断的阴雨天袭击，夏粮作为全年粮食生产的第一季，收割受到极大的影响．陕西省某县政府为了帮助村民抢收小麦，租来了每天能收割小麦亩的型收割机和每天能收割小麦亩的型收割机共台，全部型号的收割机一天能收割亩． (1)政府租来的型收割机和型收割机各有多少台? (2)该县某乡镇共有亩小麦，镇长向政府申请了援助．因调配问题，政府只能每天向该镇派遣同一型号的所有收割机进行援助．经过天的努力，该乡镇恰好收割了全部小麦．已知每台型收割机收费是元/天，每台型收割机收费是元/天．请计算援助该乡镇共花费了多少元? 2．某校准备组织九年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人； (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 3．甲、乙两家单位组织员工开展捐款活动，已知甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的． (1)甲、乙单位员工人均捐款数分别为多少元？ (2)现两家单位共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱1500元，B种物资每箱1200元，若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有哪几种购买方案？（两种物资均按整箱配送） 4．回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到115元，单价为整数） 5．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 6．众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如表： 目的地车型 A地（元/辆） B地（元/辆） 大货车 900 1000 小货车 500 700 现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元． (1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ (2)求y与x的函数解析式，并求出x的取值范围； (3)因某种原因，大货车运往A地的运费每辆减少a元（），其他不变，怎样安排货车使得总运费最小． 7．请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了______张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为______元． 任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$