专题14 二元一次方程组特殊解的三种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题14 二元一次方程组特殊解的四种考法全梳理 目录 【考法一、整体代换求解】 1 【考法二、整数解问题】 4 【考法三、参数问题】 7 【考法四、构造二元一次方程组求解】 9 【课后训练】 11 【考法一、整体代换求解】 例1．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组，令，则可得关于s，t的二元一次方程组的解是，进而得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：令，则方程组即为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴关于s，t的二元一次方程组的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 例2．解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，设，利用换元法，加减消元法求出解即可． 【详解】解：设：，， 方程组变形为， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为：，即． 变式1．用换元法解二元一次方程组： (1)(2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，观察方程组， （1）中都含有，，考虑运用换元法解原方程组，理解换元的意义是正确解答的关键； （2）中都含，，考虑运用换元法解原方程组，理解换元的意义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：，设，，则， 解这个方程组得， 则，解这个方程组得， 原方程组的解为． （2）解：， 设，，则，解这个方程组得， 则，解这个方程组得，原方程组的解为． 变式2．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把方程组变形为得，从而可得结论 【详解】解：方程组可转化为， ∵方程组的解是， ∴，解得，， 方程组的解是， 故答案为： 【考法二、整数解问题】 例．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【答案】(1) (2)0或 (3)当时；当时 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程： （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴只有，满足题意， ∴方程的正整数解为； 故答案为： ； （2）解；∵为负整数，， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 故答案为：0或； （3）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴都是正整数， ∴当为正整数时，或或或； 当为正整数数，或， ∴只有当或时都是正整数， ∴或， ∴当时，；当时，。 变式1．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ） A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解是10和15的公约数是关键．先把m看成已知数，解出x，y的值，再根据x，y都是整数和m为正整数确定m的值即可. 【详解】解：， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵x，y为整数， ∴或， 解得或或或2， ∵m为正整数， ∴ ∴， 故选：A. 变式2．关于x，y的方程的正整数解的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程．熟练掌握解二元一次方程正整数解的概念是解题的关键． 将看做已知数，用含的代数式表示出，令，2，3，4，…，分别求出x的值，即可得到方程的正整数解． 【详解】解：∵，∴， ∴满足要求的值为1，3，5，对应的值为7，4，1； ∴关于x，y的方程的正整数解的个数是3， 故选：C． 变式3．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ） A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解是10和15的公约数是关键．先把m看成已知数，解出x，y的值，再根据x，y都是整数和m为正整数确定m的值即可. 【详解】解：， ①＋②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∵x，y为整数，∴或，解得或或或2， ∵m为正整数，∴，∴， 故选：A. 【考法三、参数问题】 例．如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0，这是解此题的关键． 通过消元得到关于的一元一次方程，当的系数为0时，方程无解，据此求解即可． 【详解】 由②得：③ 把③代入①，得， 整理，得 ， 当，即时，此方程无解，原方程组也无解， 故答案为：． 变式1．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程组中的两个方程利用加减法求出，可得，然后结合已知可得答案． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变， ∴， 故答案为：． 变式2．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，先利用加减消元法解方程组，求出，，再根据方程组有整数解，列出关于的方程，解方程求出即可．解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 【详解】解：， ①得：③， ②得：④， ③④得：，， 把代入②得：， 关于、的方程组有整数解， 或或或， 或或或，或3或或， 为正整数， 或3， 故答案为：1或3． 【考法四、构造二元一次方程组求解】 例．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以进一步化简： ；（一） ；（二） ；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简： （四） (1)请用不同的方法化简． ①参照（三）式化简；②参照（四）式化简． (2)若有理数、满足，求的值． 【答案】(1)；(2)1 【分析】（1）仿照例题化简即可； （2）先仿照例题进行化简，然后整理对应相等即可； 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：由条件可化简：，， 可化为：， 整理得：，，． 【点睛】本体考查了分式的化简，以及二元一次方程组的解法，材料的准确解读是解题关键． 变式1．设，是有理数，且，满足等式，则的平方根是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据合并同类项法则列出关于x与y的方程组，求解方程组得到，，代入计算即可求出的平方根． 【详解】解：，是有理数，且，满足等式， ， 解得：， ， 的平方根是， 故选A． 【点睛】本题考查了实数的运算，二元一次方程组的应用，代数式求值，平方根的定义，掌握实数的性质构造二元一次方程组是解题关键． 变式2．已知，，…，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则 ． 【答案】 【分析】先设有p个x取1，q个x取，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 【课后训练】 1．关于x，y的方程的正整数解的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程．熟练掌握解二元一次方程正整数解的概念是解题的关键． 将看做已知数，用含的代数式表示出，，2，3，4，…，分别求出x的值，即可得到方程的正整数解． 【详解】解：∵， ∴， ∴满足要求的值为1，3，5，对应的值为7，4，1； ∴关于x，y的方程的正整数解的个数是3， 故选：C． 2．已知a，b为有理数，满足，则的值为（    ） A． B．7 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算，将已知条件适当变形，利用，为有理数得到关于，的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：， ． ，为有理数， ， 解得：， ． 故选：B． 3．已知关于x，y的方程组的解是，又有关于x，y的方程组，则这个方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组．对比求解方程和已知方程，可以发现把括号内看作一个整体，它们的系数一一对应相同，由此得出，解方程组即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：； 故选C． 4．已知方程组有正整数解，则正整数m的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了含参二元一次方程组的解法，解方程组，用含m的代数式表示出y是解答本题的关键． 先解，用含m的代数式表示y的值，再根据方程组有正整数解求出m的值． 【详解】，得，，解得： ∵方程组有正整数解，m为正整数，∴或或 ∴或或，∴或或 ∴分别代入②得，或或（不符合题意，舍去） ∴正整数m的值是1或2． 故答案为：1或2． 5．已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．把两个方程的左右两边分别相加，再都除以4047即可求解． 【详解】解：，，得 ∴，故答案为：2． 6．计算：解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．利用换元法和加减消元法解方程组即可． 【详解】解：令， 原式可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ∴方程组的解为：． 7．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组： （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）解：在中，令，， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， ， 故答案为：． 8．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二元一次方程组特殊解的四种考法全梳理 目录 【考法一、整体代换求解】 1 【考法二、整数解问题】 2 【考法三、参数问题】 3 【考法四、构造二元一次方程组求解】 4 【课后训练】 5 【考法一、整体代换求解】 例1．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ． 例2．解方程组： 变式1．用换元法解二元一次方程组： (1)(2) 变式2．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【考法二、整数解问题】 例．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 变式1．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ） A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定 变式2．关于x，y的方程的正整数解的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ） A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定 【考法三、参数问题】 例．如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 变式1．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ． 变式2．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ． 【考法四、构造二元一次方程组求解】 例．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以进一步化简： ；（一） ；（二） ；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简： （四） (1)请用不同的方法化简． ①参照（三）式化简；②参照（四）式化简． (2)若有理数、满足，求的值． 变式1．设，是有理数，且，满足等式，则的平方根是（ ） A． B． C． D． 变式2．已知，，…，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则 ． 【课后训练】 1．关于x，y的方程的正整数解的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知a，b为有理数，满足，则的值为（    ） A． B．7 C．5 D． 3．已知关于x，y的方程组的解是，又有关于x，y的方程组，则这个方程组的解是（     ） A． B． C． D． 4．已知方程组有正整数解，则正整数m的值是 ． 5．已知二元一次方程组，则的值为 ． 6．计算：解方程组 7．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 8．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$