专题13 一次函数的应用三种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题13 一次函数的应用三种考法全梳理 目录 【考法一、分配方案问题】 1 【考法二、销售利润】 3 【考法三、行程问题】 5 【课后训练】 7 【考法一、分配方案问题】 例．某酒店新装修，计划购买A，B，C三种型号的餐桌共套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元，一套B型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求购买C型餐桌的套数是A型餐桌的3倍，设购买套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为元． （1）当时， ①求关于的函数关系式． ②若购买的B型餐桌套数不多于C型餐桌套数，求总费用的最小值，并写出此时具体的购买方案． （2）已知酒店实际购买三种餐桌的总费用为18万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数及相应的值． 变式1．要从甲、乙两仓库向A、B两工地运送水泥，已知甲仓库可运出80吨水泥，乙仓库可运出60吨水泥：A、B两工地分别需水泥50吨和90吨．两仓库到A、B两工地的距离和每吨每千米的运费如下表： 路程（千米） 运费（元/吨千米） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 20 15 1.2 1.2 B地 25 20 1 0.8 （1）设甲仓库运往A地水泥x吨，请填完整各仓库运出水泥吨数和运费表． 水泥（吨） 运费 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 x B地 （2）当甲仓库向A工地运送多少吨水泥时，总运费是2940元？ （3）当甲仓库向A、B两工地运送多少吨水泥时总运费最省？最省运费是多少？ 变式2．A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t．设从A城调往C乡肥料xt． （1）根据题意，填写下表： （2）设调运肥料的总运费y（单位：元）是x的函数，求y与x的函数解析式； （3）请根据（2）给出完成调运任务总费用最少的调运方案，并说明理由． 变式3．农作物秸秆处理是个大问题,焚烧,污染环境;不烧,没法种地．佳木斯市某民营造纸企业 通过项目建设、技术引进等多种手段,使秸秆经过加工可生产本色生活用纸和黄腐酸有机肥, 从而打造了一条绿色循环产业链,实现变废为宝．该企业计划用不少于万元,且不多于万元购进秸秆共万吨(购进数量为整万吨),其中类秸秆收购价格元/吨,加工 后获利元/吨,类秸秆收购价格元/吨,加工后获利元/吨． 该企业秸秆收购有哪几种方案? 该企业如何购进秸秆获得利润最大? 根据调查,由于产品绿色可降解,很受市民欢迎,因此该企业决定类秸秆的利润每吨增加元,而类秸秆的利润不变,在所有产品全部售出的条件下,该企业应该 如何购进秸秆,才能获得最大利润? 【考法二、销售利润】 例．年月份流感爆发，消毒液销量暴增，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按元/件进行补贴，设某月销售价为元/件，与之间满足关系式：，下表是某个月的销售记录，每月销售量（万件）与该月销售价（元/件）之间成一次函数关系（）． 月份 … 二月 三月 四月 五月 … 销售价x（元/件） … 6 7 … 该月销售量y（万件） … 30 20 14 5 … (1)求与的函数关系式； (2)当销售价为元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？ (3)当销售价定为多少时，该月纯收入最大？并求出最大值．（纯收入=利润+补贴） 变式1．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 变式2．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． (1)求出a，b的值； (2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 变式3．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． (1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 【考法三、行程问题】 例．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： (1)甲车的速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时，B、C两地间的距离为 千米； (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 变式1．公交车从地向地驶出，到达地后停止小汽车从地向地驶出，小车到达地后立马返回地．两车距地的路程（千米）和公交车离开地的时间（小时）如图所示，根据图象解决一下问题： (1)，两地相距 千米，公交车速度为 千米小时， ； (2)小车出发两小时与公交车相距多少千米？ (3)求小车出发几小时后，两车相距千米？ 变式2．有一笔直的公路连接两地，甲车从地驶往地，速度为，乙车从地驶往地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动． 途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往地． 设甲车行驶的时间为，甲、乙两车之间的距离为与之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题： (1)直接写出两地之间的距离为_________km； (2)求出点的横坐标； (3)当甲、乙两车相距80km时，请直接写出的值． 变式3．甲、乙两人从地前往地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发3后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为（单位：）、（单位：），都是甲出发时间（单位：）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为，乙的速度为．    (1)______，______； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图②中画出甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲出发时间（单位：）之间的函数图象． 【课后训练】 1．2019年是中国建国70周年，作为新时期的青少年，我们应该肩负起实现祖国伟大复兴的责任，为了培养学生的爱国主义情怀，我校学生和老师在5月下旬集体乘车去抗日战争纪念馆研学，已知学生的人数是老师人数的12倍多20人，学生和老师总人数有540人． （1）请求出去抗日战争纪念馆研学的学生和老师的人数各是多少？ （2）如果学校准备租赁型车和型车共14辆（其中型车最多7辆），已知型车每年最车可以载35人，型车每车最多可以载45人，共有几种租车方案？ （3）已知型车日租金为2000元，型车日租金为3000元，设租赁型大巴车辆，求出租赁总租金为元与的函数解析式，并求出最经济的租车方案． 2．为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/袋） m 售价（元/袋） 20 13 已知：用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同． （1）求m的值． （2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围． （3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种绿色袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种绿色袋装食品每袋优惠元出售，乙种绿色袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？ 3．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题： (1)甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是___________米/分钟； (2)求图①中的值； (3)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？ 4．如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒． (1)火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒； (2)当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标； (3)若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 5．【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 6．如图1，在梯形中，，点E在边上且．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于t的函数表这式并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 ； (3)结合函数图象，若直线与函数图象有1个交点，则t的取值范围是 ． 7．如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．直线与轴，轴分别交于，两点，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为秒．某同学设计了一个动画：线段为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段时，蓝色光带会变成红色．    (1)求直线的解析式； (2)①若直线随点向下平移，当时，蓝色光带是否变红？ ②点是直线上的一点，若点向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点的横坐标的取值范围； (3)当点，点与蓝色光带上的点三点共线时，直接写出与的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 一次函数的应用三种考法全梳理 目录 【考法一、分配方案问题】 1 【考法二、销售利润】 6 【考法三、行程问题】 12 【课后训练】 20 【考法一、分配方案问题】 例．某酒店新装修，计划购买A，B，C三种型号的餐桌共套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元，一套B型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求购买C型餐桌的套数是A型餐桌的3倍，设购买套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为元． （1）当时， ①求关于的函数关系式． ②若购买的B型餐桌套数不多于C型餐桌套数，求总费用的最小值，并写出此时具体的购买方案． （2）已知酒店实际购买三种餐桌的总费用为18万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数及相应的值． 【答案】（1）①，②A型餐桌23套，B型餐桌68套，C型餐桌69套，169200元；（2），m=1144 【分析】（1）①根据“总费用=A型餐桌的费用+B型餐桌的费用+C型餐桌的费用”即可求解；②根据题意列出不等式组，求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解； （2）根据总费用为180000元，列出方程，解方程求得，再由求得，根据题意求得m与n的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得当时，． 【详解】（1）①由题意可知． ②∵，． ∵， ∴y随的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，（元）， 此时具体的购买方案为：A型餐桌23套，B型餐桌68套，C型餐桌69套． （2）由题意可知，． ∴， ∵， ∴， 又由， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确列出函数的解析式及求得自变量的取值范围是解决问题的关键． 变式1．要从甲、乙两仓库向A、B两工地运送水泥，已知甲仓库可运出80吨水泥，乙仓库可运出60吨水泥：A、B两工地分别需水泥50吨和90吨．两仓库到A、B两工地的距离和每吨每千米的运费如下表： 路程（千米） 运费（元/吨千米） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 20 15 1.2 1.2 B地 25 20 1 0.8 （1）设甲仓库运往A地水泥x吨，请填完整各仓库运出水泥吨数和运费表． 水泥（吨） 运费 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 x B地 （2）当甲仓库向A工地运送多少吨水泥时，总运费是2940元？ （3）当甲仓库向A、B两工地运送多少吨水泥时总运费最省？最省运费是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）40吨；（3）当甲仓库往A、B两工地各运50吨和30吨水泥，乙仓库往A、B两工地各运0吨和60吨水泥时，总运费最省，且为2910元． 【分析】（1）由甲库运往A地水泥x吨，根据题意可求得乙库运往B地水泥（10+x）吨，以及相应运费，即可填表； （2）将表格中所有运费相加，令其等于2940，求解即可； （3）根据表格求得总运费关于x的函数关系式，再求最值． 【详解】解：（1）填表如下： （2）由题意可得： ， 解得：x=40； （3）由题意可得： 总运费==-3x+3060， ∵-3＜0， ∴总运费随x的增大而减小， ∵0≤x≤50， ∴当x=50时，总运费最小， 即当甲仓库往A、B两工地各运50吨和30吨水泥，乙仓库往A、B两工地各运0吨和60吨水泥时，总运费最省， 最省总运费=2910． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解． 变式2．A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t．设从A城调往C乡肥料xt． （1）根据题意，填写下表： （2）设调运肥料的总运费y（单位：元）是x的函数，求y与x的函数解析式； （3）请根据（2）给出完成调运任务总费用最少的调运方案，并说明理由． 【答案】（1）200﹣x，240﹣x，60+x；（2）y=4x+10040（0≤x≤200）；（3）从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元． 【分析】（1）A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200-x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240-x）吨和（60+x）吨，由此填表即可； （2）根据（1）中所求以及每吨运费从而可得出y与x大的函数关系； （3）x可取0至200之间的任何数，利用函数增减性求出即可． 【详解】解：（1）根据题意，填写下表如下： 调入地 水量/万吨 调出地 C D A x 200﹣x B 240﹣x 60+x 总计 240 260 ∵从B城运往C乡为（240-x）吨， ∴从B城运往D乡为：300-（240-x）=60+x（吨）； （2）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨． 由总运费与各运输量的关系可知， 反映y与x之间的函数关系为：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）， 化简得：y=4x+10040， ∵A城有200吨肥料，B城有300吨肥料，C乡需要240吨肥料， ∴从A城运往C乡的肥料量，最少为0吨，最多为200吨， ∴0≤x≤200， ∴y=4x+10040（0≤x≤200）； （3）由解析式可知： ∵4>0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=0时，y有最小值10040． 因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元． 【点睛】此题主要考查了一次函数应用，根据已知得出A城和B城运往各地的肥料吨数是解题关键． 变式3．农作物秸秆处理是个大问题,焚烧,污染环境;不烧,没法种地．佳木斯市某民营造纸企业 通过项目建设、技术引进等多种手段,使秸秆经过加工可生产本色生活用纸和黄腐酸有机肥, 从而打造了一条绿色循环产业链,实现变废为宝．该企业计划用不少于万元,且不多于万元购进秸秆共万吨(购进数量为整万吨),其中类秸秆收购价格元/吨,加工 后获利元/吨,类秸秆收购价格元/吨,加工后获利元/吨． 该企业秸秆收购有哪几种方案? 该企业如何购进秸秆获得利润最大? 根据调查,由于产品绿色可降解,很受市民欢迎,因此该企业决定类秸秆的利润每吨增加元,而类秸秆的利润不变,在所有产品全部售出的条件下,该企业应该 如何购进秸秆,才能获得最大利润? 【答案】(1) 共有四种收购方案，见解析；(2) 类秸秆收购万吨时,利润最大；(3) A类秸秆收购万吨,则类秸秆收购万吨，利润最大 【分析】（1）设A类秸秆收购了x万吨，根据题意列出不等式组，解得x的取值范围，从而得出方案； （2）设总利润为元，根据题意得出W关于x的表达式，并求出W的最大值即可； （3）根据题意列出W的表达式，结合x的范围讨论，得出收购方案. 【详解】解:（1）设A类秸秆收购了x万吨， 则类秸秆收购了万吨，根据题意， 得， 解得：， 为正整数， 共有四种收购方案: 方案一:类秸秆收购万吨,则 类秸秆收购万吨； 方案二:类秸秆收购万吨,则 类秸秆收购万吨； 方案三:类秸秆收购15万吨,则 类秸秆收购万吨； 方案四: 类秸秆收购16万吨,则 类秸秆收购万吨； （2）设总利润为元，根据题意， 得， ，随减小而增大， 当时，最大， 当类秸秆收购万吨，类秸秆收购万吨时，利润最大； （3）根据题意，得， 则获得最大利润的购进方案: 当时，， A类秸秆收购万吨，则类秸秆收购万吨； 当时，四种方案获利相同； 当时，， A类秸秆收购万吨，则类秸秆收购万吨． 【点睛】本题考查了一次函数的应用—方案分配，解题的关键是理清数量关系，列出相应表达式. 【考法二、销售利润】 例．年月份流感爆发，消毒液销量暴增，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按元/件进行补贴，设某月销售价为元/件，与之间满足关系式：，下表是某个月的销售记录，每月销售量（万件）与该月销售价（元/件）之间成一次函数关系（）． 月份 … 二月 三月 四月 五月 … 销售价x（元/件） … 6 7 … 该月销售量y（万件） … 30 20 14 5 … (1)求与的函数关系式； (2)当销售价为元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？ (3)当销售价定为多少时，该月纯收入最大？并求出最大值．（纯收入=利润+补贴） 【答案】(1) (2) (3)当销售价定为元/件时，该月纯收入最大，最大值为万元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）将代入求出的值，代入与的函数关系式求出该月的销售量，再利用乘以该月的销售量即可得； （3）设该月纯收入为万元，先根据纯收入的计算公式求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：（1）设与的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， 则与的函数关系式为：； （2）当时，，， 则（万元）， 即政府该月应付给厂家补贴万元； （3）设该月纯收入为万元， 由题意得：， 整理得：， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为， 即当销售价定为元/件时，该月纯收入最大，最大值为万元． 变式1．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 【答案】(1) (2)当时取最大值4500元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 变式2．“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． (1)求出a，b的值； (2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 【答案】(1)a的值为35，b的值为40 (2)①y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②当时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围； ②根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）根据题意：， 解得， 答：a的值为35，b的值为40； （2）①由题意得： ， ∵购进乒乓球拍的套数不超过150套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：， 则x的取值范围为：， ∴y与x的函数关系式为，x的取值范围为：； ②由题意得：， ∵， ∴当即时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大； 当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值， 乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大； 当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组． 变式3．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． (1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 【答案】(1)． (2)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． (3)的最大值为． 【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论； （3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围． 【详解】（1）当时，设，根据题意可得，， 解得，； 当时，设， 根据题意可得，，解得，． ． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ， 当时，， ，当时，的最大值为； 当时，， ，当时，的最大值为（元， 综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． （3）根据题意可知，降价后，， 当时，取得最大值， ，解得． 的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 【考法三、行程问题】 例．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： (1)甲车的速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时，B、C两地间的距离为 千米； (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 【答案】(1)80；30；240 (2) (3)小时或小时或小时或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键． （1）由已知得乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地，所以可求得甲车的速度为千米小时，以及两地相距千米，同时由已知可得乙车从B地到达C地共用时8小时，乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； （2）由（1）可知D，G两点的坐标，设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为，用待定系数法即可求得答案； （3）由题意知，，用待定系数法求出甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式，即可求出当小时时，甲乙两车相遇，再分，，，四种情况分别列方程，求出两车之间相距50千米时的时间节点，即得答案． 【详解】（1）甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时， 乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地， 甲车的速度为千米小时， 两地相距千米， 甲车比乙车早2小时到达C地， 乙车从B地到达C地共用时8小时， 乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； 故答案为：80；30；240． （2）由（1）可知，，， 设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； （3）设甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 由题意知，， 则， 解得， 所以甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 令， 解得， 所以当小时时，甲乙两车相遇， 乙车到达C地前，两车之间相距50千米的情况有四种： ①当时，乙车出发1小时以内， ， 解得； ②当时，即甲车从A地出发后到两车相遇前， ， 解得； ③当时，即在两车相遇后到甲车到达C地前， ， 解得； ④当时，即甲车到达C地后到乙车到达C地前， ， 解得； 综上说述，乙车到达C地前，两车出发小时或小时小时或小时或小时，两车之间相距50千米． 变式1．公交车从地向地驶出，到达地后停止小汽车从地向地驶出，小车到达地后立马返回地．两车距地的路程（千米）和公交车离开地的时间（小时）如图所示，根据图象解决一下问题： (1)，两地相距 千米，公交车速度为 千米小时， ； (2)小车出发两小时与公交车相距多少千米？ (3)求小车出发几小时后，两车相距千米？ 【答案】(1)，， (2)小车出发两小时与公交车相距千米 (3)小时或小时或 【分析】观察图可得，两地的距离，根据“速度路程时间”求得公交车的速度，小汽车从地到地与从地返回地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，列关于的方程并求解即可； 根据“路程速度时间”，分别求出两车与地的距离并求差即可； 利用待定系数法分别求出公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式、小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式，根据两车的距离列绝对值方程并求解，并转换为小车出发后的时间即可． 本题考查一次函数的应用，熟练掌握路程、速度、时间之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）由图象可知，，两地相距千米，公交车速度为千米小时， 小汽车从地到地与从地返回地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，得，解得． 故答案为：，，． （2）小车的速度为千米小时，则小车出发小时距地的距离为千米， 当小车出发小时时，公交车已出发了小时，公交车行驶小时距地的距离为千米， 千米， 小车出发两小时与公交车相距千米． （3）设公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， 公交车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为． 当时，设小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ； 当时，设小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ； 综上，小车距地的路程和公交车离开地的时间的函数关系式为． 当时，，解得不符合题意，舍去； 当时，，解得或； 当时，，解得不符合题意，舍去或不符合题意，舍去； 当时，，解得． 综上，当公交车出发小时或小时或小时后，两车相距千米． 小时，小时，小时， 小车出发小时或小时或小时后，两车相距千米． 变式2．有一笔直的公路连接两地，甲车从地驶往地，速度为，乙车从地驶往地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动． 途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往地． 设甲车行驶的时间为，甲、乙两车之间的距离为与之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题： (1)直接写出两地之间的距离为_________km； (2)求出点的横坐标； (3)当甲、乙两车相距80km时，请直接写出的值． 【答案】(1)300； (2)1； (3)2或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，判断出点B为两车相遇是解题的关键． （1）由图象可得两地的距离； （2）根据图象可得点表示甲车出现故障，点表示两车相遇， 点表示甲车修好故障， 点表示乙车到达目的地可得答案； （3）由甲、乙两车距，分两种情况可求解． 【详解】（1）解：由图象得，两地之间的距离为， ∴两地之间的距离为． （2）解：设甲行驶小时后，甲车发生故障，由题意得： 解得 ∴点的横坐标是． （3）解：如图 由（2）得， 当时， ， 故， ， 当时， 故， 线段表示甲车停车后， 乙车独自行驶， 线段表示两车相遇后，乙车独自行驶， 由的坐标可得，此时 ∴两车相距时， 或． 变式3．甲、乙两人从地前往地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发3后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为（单位：）、（单位：），都是甲出发时间（单位：）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为，乙的速度为．    (1)______，______； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图②中画出甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲出发时间（单位：）之间的函数图象． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，待定系数法求一次函数的解析式，分段讨论方法的应用； （1）根据题意得，即可求得，由图象上的数据可求得，即可求得，据此即可求得a的值； （2）利用待定系数法，即可求得； （3）分段分析，即可画得． 【详解】（1）解：设甲的速度为，乙的速度为 根据题意得： 解得 故答案为：， （2）解：设与之间的函数表达式为 把，分别代入解析式，得 解得 故与之间的函数表达式为 （3）解：由题意题意可知： 前两人之间的距离逐渐增大，最大为 内，两人之间的距离逐渐减小，在时，距离为 内，两人之间的距离逐渐增大，最大距离为： 甲所需的总的时间为： 故内，两人之间的距离逐渐减小，在时，距离为 画图如下：    【课后训练】 1．2019年是中国建国70周年，作为新时期的青少年，我们应该肩负起实现祖国伟大复兴的责任，为了培养学生的爱国主义情怀，我校学生和老师在5月下旬集体乘车去抗日战争纪念馆研学，已知学生的人数是老师人数的12倍多20人，学生和老师总人数有540人． （1）请求出去抗日战争纪念馆研学的学生和老师的人数各是多少？ （2）如果学校准备租赁型车和型车共14辆（其中型车最多7辆），已知型车每年最车可以载35人，型车每车最多可以载45人，共有几种租车方案？ （3）已知型车日租金为2000元，型车日租金为3000元，设租赁型大巴车辆，求出租赁总租金为元与的函数解析式，并求出最经济的租车方案． 【答案】（1）去抗日战争纪念馆研学的学生有500人，老师有40人；（2）3；（3）租赁A型大巴车9辆和租赁B型大巴车5辆． 【分析】（1）设去参观抗日战争纪念馆学生有x人，老师有y人，根据题意，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租赁B型大巴车m辆，则租赁A型大巴车（14-m）辆，由B型大巴车最多有7辆及租赁的14辆车至少能坐下540人，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出m的值，从而得到租车方案； （3）设租赁总租金为w元，根据总租金=每辆车的租金金额×租车辆数，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出最经济的租赁车辆方案． 【详解】解：（1）设去去抗日战争纪念馆研学的学生有x人，老师有y人， 依题意，得： ，解得：． 答：去抗日战争纪念馆研学的学生有500人，老师有40人． （2）设租赁B型大巴车m辆，则租赁A型大巴车（14-m）辆， 依题意，得： ， 解得：5≤m≤7． ∵m为正整数， ∴m=5，6或7． ∴租车方案有3种：①租A型车9辆，B型车5辆；②租A型车8辆，B型车6辆；③租A型车7辆，B型车7辆； （3）设租赁总租金为w元，依题意，得： w=3000m+2000（14-m）=1000m+28000， ∵1000＞0， ∴w的值随m值的增大而增大， ∴当m=5时，w取得最小值， ∴最经济的租赁车辆方案为：租赁A型大巴车9辆和租赁B型大巴车5辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 2．为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/袋） m 售价（元/袋） 20 13 已知：用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同． （1）求m的值． （2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围． （3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种绿色袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种绿色袋装食品每袋优惠元出售，乙种绿色袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？ 【答案】（1）10；（2）该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；（3）应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答； （2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答； （3）设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）依题意得： 解得：， 经检验是原分式方程的解． （2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，根据题意得， ， 解得：. （3）设总利润为W，则 ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋； ②当时，，（2）中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论． 3．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题： (1)甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是___________米/分钟； (2)求图①中的值； (3)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？ 【答案】(1)30 (2) (3)乙机器人在“基本模式”下运动的速度是20米/分．在“全速模式”下运动的速度是60米/分． 【分析】（1）结合图①和图②可知1分钟~2分钟之间，甲运动的距离为米，从而即可求出甲机器人的速度； （2）利用待定系数法可直接求出直线的解析式．再结合图②求出图①中直线的解析式，最后联立两个直线解析式，求解，其x的值即为a的值； （3）根据速度=路程÷时间即得出答案． 【详解】（1）由图①可知1分钟~2分钟之间，甲机器人运动，乙处于静止， 由图②可知1分钟~2分钟之间，甲运动的距离为米， ∴甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是米/分钟． 故答案为：30； （2）∵甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是30米/分钟， ∴运动5分钟甲机器人的路程为米． 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵运动2分钟甲机器人的路程为米，且此时甲、乙运动的路程差d为40米， ∴运动2分钟乙机器人的路程为米． ∵5分钟时甲、乙运动的路程差d为米， ∴运动5分钟乙机器人的路程为米． 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 由题意可知点C表示，两机器人相遇， ∴联立，解得：， ∴图①中的值为； （3）由（2）可知乙机器人在“全速模式”下运动的速度是米/分． ∵运动2分钟乙机器人的路程为20米，且1分钟~2分钟之间，乙处于静止， ∴0分钟~1分钟之间乙机器人的路程为20米， ∴乙机器人在“基本模式”下运动的速度是米/分． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．读懂题意，看懂图象，从图象中得到必要的信息和数据是解题关键． 4．如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒． (1)火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒； (2)当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标； (3)若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)50，26 (2)， (3)18秒 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由点与的坐标求出火车的长度，分别根据“火车行驶的速度（桥的长度火车的长度）整列火车完全在桥上的时间”和“火车从开始上桥到完全过桥所用的时间（桥的长度火车的长度）火车行驶的速度”计算即可； （2）根据火车的长度和点的坐标，求出当车尾刚好经过点时，火车头的坐标，利用待定系数法求出射线所在直线的函数表达式；利用待定系数法求出射线所在直线的函数表达式，两函数表达式联立列方程组并求解即可得到交点坐标； （3）当时，射线与射线无交点，设此时，根据射线所在直线的函数表达式的一次项系数，设出射线所在直线的函数表达式，将点的坐标代入，求出所在直线的函数表达式，再将代入，求出对，再根据“时间路程速度”计算即可． 【详解】（1），， （米， 火车的长度为300米， 则火车行驶的速度为（米秒），火车从开始上桥到完全过桥共用（秒． 故答案为：50，26． （2）火车的长度为300米，， 当车尾刚好经过点时，火车头． 设射线所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 射线所在直线的函数表达式为； 设射线所在直线的函数表达式为，且． 将坐标代入， 得， 解得， 射线所在直线的函数表达式为； 当射线、射线相交时，得， 解得， 射线、射线的交点坐标为． （3）当时，射线与射线无交点，设此时． 设当时，射线所在直线的函数表达式为， 将代入， 得，解得， ， 将代入，得，解得， （秒， 激光射线与射线有交点的时长为18秒． 5．【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数、新定义偏差w的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键． （1）水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； （2）令（1）解析式中，代入求解即可； （3）根据w的定义代入计算. 【详解】（1）设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， 时，；时，； ， 解得：， 水面高度h与流水时间t的函数解析式为； （2）将代入解析式得： 解得：    又初始时间为                                                      水面高度为时的时间是 （3）根据（1）中解析式求出所对应的函数值 t 0 10 20 30 40 30 29 28 27 26 根据w的定义得： ． 6．如图1，在梯形中，，点E在边上且．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于t的函数表这式并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 ； (3)结合函数图象，若直线与函数图象有1个交点，则t的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)作图见解析，函数y的最大值是24（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）先求得直线经过特殊点时的t的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：在梯形中，， ，点在边上且. ，, 当时， 当时，如图，    综上所述：； （2）解：函数图象如图所示，函数的最大值是24；    故答案为：函数的最大值是24（答案不唯一）； （3）解：把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 直线与y的图象有且只有一个交点， t的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质等知识点．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 7．如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．直线与轴，轴分别交于，两点，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为秒．某同学设计了一个动画：线段为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段时，蓝色光带会变成红色．    (1)求直线的解析式； (2)①若直线随点向下平移，当时，蓝色光带是否变红？ ②点是直线上的一点，若点向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点的横坐标的取值范围； (3)当点，点与蓝色光带上的点三点共线时，直接写出与的函数关系式． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)①蓝色光带会变红，理由见解析；②的取值范围为； (3)． 【分析】本题考查了一次函数平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求出一次函数解析式， （2）①根据条件可得向上平移后得到的新直线，代入验证即可②找出平移后各点坐标即可求解； （3）三点所在直线的解析式为，分别用点P、Q表示，即可得出 【详解】（1）设直线的解析式为， 直线过，， ， 解得： 直线的解析式为； （2）蓝色光带会变红，理由如下∶ 直线l的解析式为， 当时，， 点D的坐标为， 又 时， 点P运动到， 直线l平移， 设平移后的表达式为， 把代入表达式得， 此时直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， 蓝色光带会变红； ②点是直线上的一点， 设， ， 当时， 向下平移4个单位长度后， 经过线段， 当向下平移4个单位长度后，此时刚好在线段上， 即， ， 点的横坐标的取值范围为； （3），，三点共线， ， 设三点所在直线的解析式为， ， 解得：， 点P所在直线的解析式为， 把点Q代入得， 化简得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$