1.2 绝对值和相反数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024新教材）

1.2 绝对值和相反数 【考点1 相反数的概念和表示】 【考点2 相反数的性质运用】 【考点3 化简多重符号】 【考点4 绝对值的定义】 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【考点6绝对值分非负性】 【考点7绝对值的几何意义】 知识点1 ：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【考点1 相反数的概念和表示】 【典例1】的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【变式1-1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】与互为相反数，那么m等于（　　） A． B．1 C． D． 【变式1-3】下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和3 B．与 C．4与 D．5与 【考点2 化简多重符号】 【典例2】化简得（    ） A．8 B． C． D． 【变式2-1】下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】化简 ． 【考点3 相反数的性质运用】 【典例3】已知与互为相反数，则a的值为 ． 【变式3-1】若a、b互为相反数，则a+b+2的值为 ． 【变式3-2】若与互为相反数，则的值为 ． 【变式3-3】若x+1与x﹣5互为相反数，则x＝ ． 知识点2:绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【考点4 绝对值的定义】 【典例4】的绝对值是（    ） A． B．4 C． D． 【变式4-1】在下列各数中，比小的数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式4-2】计算的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【变式4-3】已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【典例5】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式5-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式5-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【变式5-4】有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 【考点6绝对值非负性】 【典例6】如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式6-1】若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【变式6-2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【变式6-3】若与互为相反数，则的值为 ． 【考点7绝对值的几何意义】 【典例7】先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【变式7-1】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【变式7-2】．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【变式7-3】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 1．实数2023的相反数是（    ） A． B．2023 C． D． 2．数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 5．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 7．当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 8．设a、b、c为不为0的有理数，则 ，化简的结果有（   ）种不同的取值． A．3 B．4 C．5 D．6 9．比较大小： （填“”或“”或“” ． 10．大于而小于的整数共有 个． 11．求的最小值是 ． 12．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上标出，的位置；并比较，，，的大小； (2)化简式子． 13．在数轴上标出下列各数：0，，，，，并用“”连接这些数． 14．（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 绝对值和相反数 【考点1 相反数的概念和表示】 【考点2 相反数的性质运用】 【考点3 化简多重符号】 【考点4 绝对值的定义】 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【考点6绝对值分非负性】 【考点7绝对值的几何意义】 知识点1 ：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【考点1 相反数的概念和表示】 【典例1】的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据“绝对值相同、符号相反的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【变式1-1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【变式1-2】与互为相反数，那么m等于（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据定义计算判断即可．本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵与互为相反数， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1-3】下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和3 B．与 C．4与 D．5与 【答案】C 【分析】本题考查相反数定义．根据题意逐一对选项分析再利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵绝对值相同，符号相反的两个数互为相反数， ∴A选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴B选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴D选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴C选项符合相反数定义，故互为相反数， 故选：C． 【考点2 化简多重符号】 【典例2】化简得（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正；一个数前面有奇数个“”号，结果为负；0前面无论有几个“”号，结果都为0，由此进行计算即可，熟练掌握多重符号化简方法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2-1】下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多重符号化简的法则，逐一计算即可． 【详解】解：A、，选项正确； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查多重符号化简．熟练掌握多重符号的化简法则，是解题的关键． 【变式2-2】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简判断即可． 【详解】A．，化简错误，不符合题意； B． ，化简正确，符合题意； C． ，化简错误，不符合题意； D． ，化简错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0． 【变式2-3】化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相反数，解题的关键是切记求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号（不论正负），则应先添括号，根据相反数的定义即可得到答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 【考点3 相反数的性质运用】 【典例3】已知与互为相反数，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】根据相反数的性质即可列式求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查相反数的定义与性质与一元一次方程的求解，解题的关键是熟知：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【变式3-1】若a、b互为相反数，则a+b+2的值为 ． 【答案】2 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知，将其代入即可求得结果． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路． 【变式3-2】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得出，， ∴ ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的知识点是相反数的定义以及求代数式的值，利用已知条件得出是解此题的关键． 【变式3-3】若x+1与x﹣5互为相反数，则x＝ ． 【答案】2 【分析】根据已知条件：代数式x+1和x-5互为相反数，列方程，然后即可求解． 【详解】解：∵代数式x+1和x-5互为相反数， ∴x+1=-（x-5）， 移项，得 x+x=5-1， 合并同类项，得 2x=4， 系数化为1，得 x=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，解答此题的关键是根据代数式x+1和x-5互为相反数列方程，难度适中． 知识点2:绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【考点4 绝对值的定义】 【典例4】的绝对值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查是绝对值的概念，根据绝对值的概念，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】解：， 故选：B． 【变式4-1】在下列各数中，比小的数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 比小的数是， 故选：D． 【变式4-2】计算的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、相反数，负数的绝对值等于它的相反数，由此可解． 【详解】解：， 故选A． 【变式4-3】已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】点与原点之间的距离即到原点的距离．本题考查了数轴，关键是掌握用绝对值求两点间距离． 【详解】解：依题意，， ∴则点A与原点之间的距离为2 故选：D． 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【典例5】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式5-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式5-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案． 【详解】解：依题意，得 ，， ． 故答案为：． 【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴以及绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：观察数轴可知：， 故答案为：； （2）∵， 【变式5-4】有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减和有理数的大小比较，整式的加减． （1）由数轴可得，，再根据有理数的加减法法则即可解答； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）由数轴可得：，， ∴，，． 故答案为：＜，＜，＞ （2）∵，， ∴ ． 【考点6绝对值非负性】 【典例6】如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：A 【变式6-1】若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 【变式6-2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义． 根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 解得， ∴． 故答案为3． 【考点7绝对值的几何意义】 【典例7】先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【答案】(1)，2或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离； （1）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案； 弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或2； 故答案为：，2或； （2），表示点到和2的距离相等，即点A为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等； 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得： ， 的值为； 故答案为：． 【变式7-1】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【答案】(1)5或，1 (2)，3 (3)或5 【分析】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据表示数轴上表示x的点到2的距离为3，表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，得出答案； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据所提供的绝对值意义，即可解答． 【详解】（1）解：表示数轴上表示x的点到2的距离为3， 或， 解得或， 表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，因此到4和距离相等的点表示的数为， 故答案为：5或，1； （2）解：，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 因此x的最大值为3，最小值为； 故答案为：，3； （3）解：当时， ，去绝对值为：， ； 当时，去绝对值为：（不成立）； 当时，去绝对值为：， ， 综上，或5． 【变式7-2】．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 【变式7-3】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5 (4)4，15 (5)5， 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）直接解绝对值方程即可解答； （3）当x在表示数1与两点之间时，的值最小，据此即可解答； （4）可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和，据此即可解答； （5）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点x到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当x在1与之间时，的最小值为5． 故答案为：5； （4）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和， ∴当x为4时，有最小值， ∴的最小值为． 故答案为：4，15． （5）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 1．实数2023的相反数是（    ） A． B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数即可解答． 【详解】解：实数2023的相反数是， 故选：A． 2．数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点及互为相反数、两点之间的距离的概念，由相反数的含义及两点之间距离的表示方法，点与点到原点的距离相等即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，表示互为相反数的两个点，两点的距离为， ∴点和点到原点的距离为， ∵在的左边， ∴点表示的数为， 故选：． 3．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故A不符合题意； ∵，故B不符合题意； ∵，与不互为相反数，故C不符合题意； ∵，， ∴与互为相反数，故D正确； 故选：D． 4．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当是负有理数时，的绝对值是它的相反数，据此求出的绝对值是多少即可．此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 【详解】解：的绝对值是7． 故选：B． 5．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 6．若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：， ∵， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是， 故选：C． 7．当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 8．设a、b、c为不为0的有理数，则 ，化简的结果有（   ）种不同的取值． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由绝对值的性质可知，，，分情况讨论求出结果即可． 【详解】解：∵a，b，c为不为0的有理数， ∴它们的绝对值可能是自己本身，也可能是自己的相反数， ∴，，， ∴， ， ， ， 一共有4种结果． 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，有理数的除法，有理数的加减，解题的关键是掌握绝对值的性质． 9．比较大小： （填“”或“”或“” ． 【答案】 【分析】利用绝对值性质及相反数定义将两数计算后进行比较即可．本题考查绝对值性质，相反数的定义及有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 10．大于而小于的整数共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，根据正数负数进行判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得： 大于而小于的整数有：、、、、0、1、2，共7个． 故答案为：7． 11．求的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键． 根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值． 【详解】解：当时，原代数式①； 当时，原代数式②； 当时，原代数式③； 据以上可得，且； 所以当时，原代数式取得最小值为， 故答案为：． 12．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上标出，的位置；并比较，，，的大小； (2)化简式子． 【答案】(1)数轴见解析；； (2) 【分析】本题考查了数轴上表示有理数并比较大小，利用有理数的大小，进行绝对值运算是解答本题的关键． （1）有理数，的相反数是，，在数轴上是关于原点对称的，由此可以标出，的位置，数轴上右边的数总比左边的数大，因此． （2）由数轴上，的位置可知，，，，进而得到，，再对式子进行化简整理，得到最终结果． 【详解】（1）如图所示，，在数轴上分别是，关于原点对称的，因此数轴上标出，的位置如下：    数轴上右边的数总比左边的数大， ； （2）由数轴上，的位置可知，，，， ，， ． 13．在数轴上标出下列各数：0，，，，，并用“”连接这些数． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了绝对值，数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先将有理数在数轴上表示出来，再进行比较即可． 【详解】解：，， 把各数表示在数轴上如图， ． 14．（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【分析】（1）①按照化简绝对值的求法即可； ②，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离； （2）①通过观察，比较可得点在点、之间时，可使到的距离与到的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点在点处时，到，，三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：（1）①； 故答案为：4； ②， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值； 故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值； 故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值； 故答案为：18． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$