精品解析：四川省成都市成都七中万达学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

成都七中万达学校2023—2024学年度高2022级半期 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 命题人：向荣伍 审题人：佘浩 第Ⅰ卷（选择题，共：58分） 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 记为等比数列的前n项和．若，，则（ ） A. 32 B. 31 C. 63 D. 64 4. 已知在处的极大值为5，则（ ） A. B. 6 C. 2 D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 60 C. 750 D. 1215 6. 从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率（ ） A. B. C. D. 7. 设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知数列的前n项和为，，则称数列是数列的“均值数列”，已知数列是数列的“均值数列”，且，设数列的前n项和为，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若袋子中有个白球，个黑球，现从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球的总分数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（ ） A. 甲排在两端，共有种排法 B. 甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C. 甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D. 甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法 11. 已知函数,则下列说法正确的是( ) A. .若，则 B. 若存在，使得，则 C. 若有两个零点，则 D. 若有两个零点，则 第Ⅱ卷（综合题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_______. 14. 已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高二年级学生参加全市的数学调研考试（满分150分），现从甲班和乙班分别随机抽取了10位同学的考试成绩，统计得到如下表． 班级 考试成绩（单位：分） 甲班 106，112，117，120，125，129，129，135，141，146 乙班 103，114，116，119，124，128，131，134，139，143 （1）若分别从甲、乙两班的这10位同学中各抽取一人，求被取出的两人的成绩均不低于120分的概率； （2）考虑甲、乙两班这20位同学的成绩，从不低于130分的同学中任意抽取3人，随机变量X表示被抽取的成绩不低于140分的人数，求X的分布列和数学期望． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知数列满足．记． （1）证明：数列为等比数列并求通项； （2）求数列的前n项和． 18. 已知函数，. （1）当时，求在处的切线方程； （2）设函数，若恒成立，求的最小值. 19. 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足． （1）求的值及的方程； （2）证明：线段的垂直平分线过定点； （3）设（2）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中万达学校2023—2024学年度高2022级半期 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 命题人：向荣伍 审题人：佘浩 第Ⅰ卷（选择题，共：58分） 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数的性质可求得的值. 【详解】因为，则或，所以，或. 故选：B. 2. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导得到，函数定义域为，令解得答案. 【详解】的定义域为，， 令，解得. 所以函数的单调减区间是. 故选：C 3. 记为等比数列的前n项和．若，，则（ ） A. 32 B. 31 C. 63 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式解出数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式计算即可． 【详解】设等比数列的公比为，则，，解得 又，解得，则 故选：B 4. 已知在处的极大值为5，则（ ） A. B. 6 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出,并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，， 当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意； 当时，， 当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意， 所以，所以. 故选：B 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 60 C. 750 D. 1215 【答案】D 【解析】 【分析】由题意由二项式的展开通项并化简，令，解得再代入即可求解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以的系数为. 故选：D. 6. 从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出和，由公式即可求出解答. 【详解】解：因为事件为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色， 所以 事件发生且事件发生概率为： 故. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题. 7. 设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得,再结合余弦定理可得，然后由向量数量积定义得解. 【详解】由椭圆的定义可得, 在 中，由余弦定理， 又 ,可得： ，即, 即，即， 则， 故选：A. 8. 已知数列的前n项和为，，则称数列是数列的“均值数列”，已知数列是数列的“均值数列”，且，设数列的前n项和为，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用公式求解，利用裂项相消法求解即可． 【详解】由题可知，所以， 当时，， 当时，，当时，也满足； 所以，． 所以， 因为数列的前项和为，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若袋子中有个白球，个黑球，现从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球的总分数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知，可判断A选项；利用独立重复试验的概率可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用二项分布的方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，每次摸到白球的概率为，则，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 10. 有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（ ） A. 甲排在两端，共有种排法 B. 甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C. 甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D. 甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法 【答案】AD 【解析】 【分析】A：先排甲，然后剩下7人全排，由此即可判断；B：先在中间6个位排甲乙，然后剩下6人全排，由此即可判断；C：先将甲乙丙三人捆绑，再和剩下5人全排，由此即可判断；D：先全排除了甲乙丙剩下的5人，然后将甲乙丙三人插空，由此即可判断. 【详解】A，先排甲，然后剩下7人全排，共有种排法，故A正确； B，先在中间6个位排甲乙，然后剩下6人全排，共有种排法，但是，故B错误； C，先将甲乙丙三人捆绑，再和剩下5人全排，共有种排法，故C错误； D，先全排除了甲乙丙剩下的5人，然后将甲乙丙三人插空共有种排法，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数,则下列说法正确的是( ) A. .若，则 B. 若存在，使得，则 C. 若有两个零点，则 D. 若有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数确定函数单调性及最值，即可得解选项A选项B,利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【详解】选项A:的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增，， 若，则，即 所以的取值范围为， 故选项A正确，选项B错误， 选项C:由上面表述可知，若有两个零点.则则 则选项C正确， 选项D：若有两个零点， 由题知，一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设 要证，即证， 因为，即证， 又因为，故只需证， 即证， 即证， 下面证明时，， 设， 则 ， 设， 所以,而， 所以,所以， 所以在单调递增， 即,所以， 令， ， 所以在单调递减， 即,所以； 综上, ，所以. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（综合题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】－1 【解析】 【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的系数的求法求解即可． 【详解】令，则， 故答案为：－1． 13. 世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_______. 【答案】0.915 【解析】 【分析】 求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率， 代入概率公式求解即可. 【详解】设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p(A)=0.5，p(B)=0.3，p(C)=0.2，p(D|A)=0.95，p(D|B)=0.90，p(D|C)=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得： p(D)=p(D|A)p(A)+p(D|B)p(B)+p(D|C)p(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2 =0.915 故答案为：0.915 【点睛】本题考查随机事件的概率，条件概率的概念及概率公式，属于基础题. 14. 已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，两种情况，通过导数求导得到，再构造函数及导数方法求出其最小值，从而求解. 【详解】函数的定义域为， 当时，可得在上单调递增，，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值，也是最小值， 又因为且，所以， 则，得，所以， 设，，令，得， 当，， 当，， 所以在区间单调递减，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过分类讨论，两种情况得到符合的情况，通过导数求导得到，再构造函数并利用导数求出其最小值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高二年级学生参加全市的数学调研考试（满分150分），现从甲班和乙班分别随机抽取了10位同学的考试成绩，统计得到如下表． 班级 考试成绩（单位：分） 甲班 106，112，117，120，125，129，129，135，141，146 乙班 103，114，116，119，124，128，131，134，139，143 （1）若分别从甲、乙两班的这10位同学中各抽取一人，求被取出的两人的成绩均不低于120分的概率； （2）考虑甲、乙两班这20位同学的成绩，从不低于130分的同学中任意抽取3人，随机变量X表示被抽取的成绩不低于140分的人数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P ，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据题干中的表格，可以得出、乙两班中成绩不低于120分的人数，设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，利用排列组合即可求解其概率. （2）根据题意，得出X的可能取值，分别计算其概率，列出分布列，求解数学期望. 【小问1详解】 解：设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，则由表格可得，甲、乙两班中成绩不低于120分的人数分别为7和6， ∴， ∴被取出的两人的成绩均不低于120分的概率为． 【小问2详解】 易知甲、乙两班的这20位同学中，分数不低于130分的有7人，分数不低于140分的有3人， ∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3， ∴，，， ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴X的数学期望为． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 因为，所以，即； 因为，所以，即； 又，平面，因此平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求证线线垂直，即可由线面垂直的判定求证， （2）根据法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以为平面的一个法向量， 由（1）知为平面的一个法向量， ， 显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为． 17. 已知数列满足．记． （1）证明：数列为等比数列并求通项； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） 证明：由， 可得， 因为， 所以表示以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义结合已知条件证明即可，再利用等比数列的通项公式可求得通项公式； （2）由（1）得，然后利用分组求和与错位相减法可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，可得， 记， 则， ， 两式相减，可得， 即， 所以. 18. 已知函数，. （1）当时，求在处的切线方程； （2）设函数，若恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）首先求出的解析式，即可得到，再，即可得到存在唯一使得，即，从而得到的单调性，求出，即可得到，即可表示出，再利用导数求出函数的最小值. 【小问1详解】 ，，， ， ， ， 在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，， 则，， 令，则在上单调递增， 当时，当时， 故存在唯一使得，即， 则当时，即，所以在上单调递减， 当时，即，所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以，， 令，， 则，所以当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足． （1）求的值及的方程； （2）证明：线段的垂直平分线过定点； （3）设（2）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1），抛物线方程为. （2） 设直线的方程为：， 联立方程，消去得，， 由，得， 由韦达定理得， 根据抛物线定义：，可得， 此时，解得或， 设的中点坐标为，则， 可得的垂直平分线方程为：， 将代入整理得：， 故的垂直平分线过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）将的坐标代入抛物线方程可求出的值，从而可求出的方程； （2）设直线的方程为：，将直线方程代入抛物线方程化简，再利用根与系数的关系，结合抛物线的定义和已知条件可得，再结合中点坐标公式可求出的垂直平分线方程，从而可求得答案； （3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可表示出的面积，化简换元后利用导数可求出其最大值，从而可求出直线的方程． 【小问1详解】 将点代入抛物线方程，可得，解得， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可得， 且点到直线的距离， 则的面积为， 可得， 设，设，则 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，的面积取最大值，此时，即． 此时. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题求解方法：先把目标式表示出来，根据目标式的特点选择合适的方法进行求解，常用方法有：①二次函数法：利用换元法，目标式化成二次型，结合二次函数求解；②基本不等式法：把目标式化成能使用基本不等式的结构，利用基本不等式求解；③导数法：求解导数，利用导数求解最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $