巩固培优：长方体和正方体(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学人教版

长方体和正方体 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．长度的单位换算 【知识点归纳】 1千米＝1000米， 1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米； 1分米＝10厘米＝100毫米； 1厘米＝10毫米． 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 3．体积、容积及其单位 【知识点归纳】 体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量． 体积的国际单位制是立方米． 常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米． 4．体积、容积进率及单位换算 【知识点归纳】 体积单位： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米， 容积单位： 1升＝1000毫升 1升＝1立方分米＝1000立方厘米 1毫升＝1立方厘米 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 7．长方体、正方体表面积与体积计算的应用 【知识点归纳】 （1）长方体： 底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体． 长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点． 长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和． 如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh） 长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高． 如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh （2）正方体： 长宽高都相等的长方体，叫做正方体． 正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体． 正方体的表面积：六个面积之和． 如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2 正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长． 如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3 第二部分 典型例题 例题1：用铁丝制作两个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米的长方体框架，至少需要多长的铁丝？ 【答案】192厘米 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出一个框架的棱长总和，再乘2即可，据此列式解答即可。 【详解】（10＋8＋6）×4 ＝24×4 ＝96（厘米） 96×2＝192（厘米） 答：需要192厘米的铁丝。 例题2：在一个长15分米，宽12分米，高5分米的水池中注入一半的水，然后把两条长6分米，宽3分米，高7分米的石柱立着放入池中，现在水深是多少？ 【答案】3.125分米 【分析】根据题意可知，水池中水的体积不变，先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水池中水的体积； 然后把两条石柱立着放入池中，那么水池中水的底面积＝水池的底面积－两条石柱的底面积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，代入数据计算，即可求出现在水的深度。 【详解】15×12×（5÷2） ＝15×12×2.5 ＝450（立方分米） 450÷（15×12－6×3×2） ＝450÷（180－36） ＝450÷144 ＝3.125（分米） 答：现在水深3.125分米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变，明确放入两条石柱后，水池中水的底面积发生了变化，水的深度也随之发生了变化。 例题3：为庆祝神舟十三号返回舱成功着陆，某图书公司给希望小学寄送一批图书《神舟飞天梦》。一本《神舟飞天梦》长18.5厘米，宽13厘米，厚2.2厘米，将这样的10本故事书包成一包，怎样包装最节省包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接缝处忽略不计） 【答案】将长18.5厘米，宽13厘米这两个面相互摞在一起包装最节省包装纸；1867平方厘米 【分析】要使需要的包装纸最少，也就是把10本故事书最大的面重合摞在一起，拼成一个长18.5厘米，宽13厘米，高2.2×10厘米的长方体，根据长方体的表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2进行解答即可。 【详解】2.2×10＝22（厘米） （18.5×13＋18.5×22＋13×22）×2 ＝（240.5＋407＋286）×2 ＝933.4×2 ＝1867（平方厘米） 答：将长18.5厘米，宽13厘米这两个面相互摞在一起包装最节省包装纸；至少需要1867平方厘米的包装纸。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 第三部分 高频真题 1．用一根铁丝刚好焊成一个棱长是8厘米的正方体框架，如果把它改成一个长是12厘米，宽是7厘米的长方体框架，长方体框架的高是多少厘米？ 2．一个长方体的食品盒，长8厘米，宽8厘米，高12厘米，如果围着它贴一圈商标（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 3．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米、5厘米，正方体的棱长是多少厘米？它们的体积相等吗？ 4．一个长方体蓄水池长9米，宽7.5米，深2米。这个蓄水池的容积是多少？ 5．一个长方体鱼缸（无盖），从里面量长是6分米，宽是4分米，高是4分米。 （1）做这样一个鱼缸至少需要多大面积玻璃？ （2）这个鱼缸盛水多少升？ 6．一个长24厘米，宽18厘米的长方体水槽中水深8厘米，放入一个正方体铁块后，水深12厘米，这个铁块的体积是多少？ 7．把棱长是3厘米的两个正方体拼成一个长方体，它的表面积是多少平方厘米？ 8．一个长方体鱼缸，从里面量得长8.5分米、宽6分米、高4分米，鱼缸里的水深3分米。把一座小假山浸没在水中，这时水面高度为3.5分米，这座小假山的体积是多少立方分米？ 9．有一个游泳池，长20米，宽15米，深2米，现在要在距底面8分米以下的四周和整个底面铺上防水材料，防水材料需要铺多少平方米？ 10．一个正方体粉笔盒，棱长总和为96厘米，制作这样的一个粉笔盒至少要用多少平方厘米的硬纸板？ 11．做一个长、宽、高的礼品盒，至少需要多少平方厘米的纸板？要在每条棱上再贴上彩带，至少需要多少厘米彩带？ 12．一个立方体水缸的容积是360升，如果把一满缸水倒入长1.2米，宽0.6米的长方体水箱中，水面高多少米？ 13．下面的零件由一个正方体和一个长方体组成，求零件的表面积和体积。（单位：cm） 14．工厂制作一种无盖长方体鱼缸，它的底面长40厘米，宽25厘米，高20厘米，做一个这样的鱼缸至少要多少平方分米的玻璃？ 15．在一个长80cm，宽25cm的长方体玻璃缸中，放入一个棱长为10cm的正方体铁块，这时水深18cm。若把这个铁块从长方体玻璃缸中取出，则玻璃缸中的水面高多少cm？ 16．观察下图，按要求做一做。 （1）把图样中完全相同的长方形涂上同样的颜色。 （2）用这个图样做一个长方体。 （3）量一量所做长方体的长、宽、高各是多少厘米。 （4）观察这个长方体，最多能看到几个面？ 17．把一个长方体按下图的第一种方法沿着虚线横着切一刀，切面如图①：如果按第二种方法沿着虚线竖着切一刀，切面如图②。（每个方格的边长表示1厘米） （1）如果按照第三种方法沿着虚线竖着切一刀，请把切面的形状画在图③中。 （2）这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 （3）三种切法中，表面积最多增加（    ）平方厘米。 18．一个密封的长方体容器，里面装着水，长方体的长、宽、高分别为10cm、10cm和15cm，奇奇不小心把容器碰倒了，长方体由图（1）变为图（2）。 19．学校要砌一道围墙长60米，宽0.24米，高2米的墙，每立分米需要525块砖，学校需要买多少块这样的砖？ 20．一个长方体盛水容器的底面是一个边长6分米的正方形，高1.2分米，这个长方体容器的体积是多少立方分米？ 21．一个长方体水箱，长10dm，宽6dm，水深3.5dm，把一块假山石放入水箱完全没入水中后，水面上升到5dm。这块假山石的体积是多少？ 22．一个长方体食品盒，长15cm，宽12cm，高20cm。如果围着它的四壁贴一圈商标纸，商标纸的面积最大是多少平方分米？ 23．学校的沙坑长6m，宽4m，在沙坑里铺上7.2m3的黄沙，铺成的黄沙有多厚？ 24．玲玲买了一个正方体的礼物盒。已知正方体的底面积是25平方分米，你能求出它的体积是多少立方分米吗？ 25．爸爸要给写字台做个抽屉，抽屉长50厘米，宽30厘米，高12厘米，做这个抽屉至少要用多少平方米的木料？ 26．每瓶鱼肝油滴剂10毫升，现在有鱼肝油0.4升，可以装多少瓶？ 27．一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24平方厘米，求这个长方体的体积． 28．一个长方体玻璃鱼缸，长10dm，宽6dm，高8dm，里面水深5dm．把一块珊瑚石放入鱼缸中（完全浸没），水面升高了1.5dm．这块珊瑚石的体积是多少立方分米？ 29．如图，在一个长方体容器中盛有一定量的水，原来的水面高度为6cm。把一个零件投到容器里浸没在水中后，水面升高到8cm。这个零件的体积是多少？   30．一个长方体的底面是一个周长为30cm的长方形，高为10cm。如果长和宽的厘米数都是合数，那么这个长方体的表面积是多少cm2？ 31．一个无水的鱼缸长62厘米、宽40厘米、高45厘米，里面放着一块高30厘米、体积为2400立方厘米的假山石，如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假山石完全淹没？ 32．南京奥体中心的体育场里部分场馆翻修，铺设了20块长30米、宽3.5米、厚0.3分米的木质地板，所铺地板的体积一共是多少立方米？ 33．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长、宽、高分别是9cm、5cm、4cm，那么正方体的棱长是多少厘米？ 34．一个正方体玩具盒，棱长为8.5厘米。制作这个玩具盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 35．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10cm、3cm、10cm，乙容器长、宽、高分别是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 36．一种圆柱形茶叶罐的规格是：底面直径8厘米，高12.5厘米。茶叶公司把这批茶叶罐装入长方体纸盒（如图），这种长方体盒子的容积是多少？ 37．学校礼堂长20米，宽15米，高80分米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁。除去门窗面积120平方米，平均每平方米用涂料0.4千克，一共需涂料多少千克？ 38．一间教室，从里面量长为12米，宽为8米，高为4米。教室门窗、和黑板的面积一共有32平方米。要粉刷教室的顶部和四面墙壁，粉刷的面积有多少平方米？如果每平方米涂料需要5.5元，粉刷这个教室需要多少钱？ 39．有一个长宽高分别为6分米、5分米和4分米无盖的鱼缸，水深3分米。放入金鱼和假山后，水面升高了2厘米，金鱼和假山的体积是多少？ 40．一个装有水的长方体水槽中浸没着一个铜质动物模型，此时水刚好不溢出。取出动物模型后，水槽中水面高度为18厘米，这个动物模型的体积是多少立方分米？ 41．学校科技小组制做了一个长方体水漏，这个水漏长2.5分米，宽1.5分米，高2分米。经过试验，这个水漏装满水全部漏完要6小时。这个水漏平均每小时漏多少升水？ 42．一个教室长8米，宽6米，高35分米。现在要粉刷教室的墙壁和天花板，门窗和黑板的面积是22平方米，平均每平方米用涂料0.25千克，粉刷这个教室共需要涂料多少千克？ 43．有一个游泳池，从里面量得长8m，宽6m，深2m，现在要对游泳池的底部和四壁进行粉刷，要粉刷的面积是多少平方米？ 44．辉湖大酒店内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是2米。如果用瓷砖贴游泳池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 45．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长12分米，宽5分米，高2分米。做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ 46．一个从里面量长、宽、高分别为6分米、4分米、3分米的长方体鱼缸，里面水深2分米。 （1）鱼缸的占地面积是多少平方分米？ （2）将一座假山放入鱼缸，完全没入水中后，水面距鱼缸上沿相差0.6分米。假山的体积是多少立方分米？ 47．一个长8cm、宽6.2cm、高9cm的长方体容器里装有高5cm的水，放入一块铁后（完全浸入水中）水面上升了4cm，这块铁的体积是多少立方厘米？ 48．请你将1至8这8个数字填进立方体的圆圈里，必须使6个面中每个面相连4个数的和等于18，而且每个数字只能用一次． 49．一个木制长方体的灯笼框架长60厘米，宽35厘米，高35厘米，做这个灯笼框架至少需要多少米的木条？ 50．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 参考答案： 1．5厘米 【分析】铁丝长度相当于棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。 【详解】8×12＝96（厘米） 96÷4－12－7 ＝24－12－7 ＝5（厘米） 答：长方体框架的高是5厘米。 2．384平方厘米 【分析】由题意可知：贴商标纸的面积等于这个长方体的4个侧面的总面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 【详解】8×12×4 ＝96×4 ＝384（平方厘米）， 答：这张商标纸的面积至少有384平方厘米。 【点睛】此题属于长方体表面积的应用，关键是弄清是求哪几个面的面积缺少哪个面，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 3．5厘米；它们的体积不相等。 【分析】根据题意，长方体的棱长和＝正方体的棱长和，已知了长方体的长、宽、高，根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长和。根据正方体的棱长和＝棱长×12，求出棱长。再根据长方体体积＝长×宽×高以及正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出长方体和正方体的体积进行比较。 【详解】（6＋4＋5）×4 ＝15×4 ＝60（厘米） 正方体棱长：60÷12＝5（厘米） 长方体体积：6×4×5＝120（立方厘米） 正方体体积：5×5×5＝125（立方厘米） 120立方厘米＜125立方厘米 答：正方体棱长是5厘米，长方体体积是120立方厘米，正方体体积是125立方厘米，它们的体积不相等。 4．135立方米 【分析】根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】9×7.5×2 ＝67.5×2 ＝135（立方米） 答：这个蓄水池的容积是135立方米。 【点睛】本题考查长方体的容积，熟记公式是解题的关键。 5．（1）104平方分米 （2）96升 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：，由于鱼缸无盖，所以只求这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积。 （2）根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 【详解】（1） （平方分米） 答：做这样一个鱼缸至少需要104平方分米玻璃。 （2） （立方分米） 96立方分米升 答：这个鱼缸盛水96升。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 6．1728立方厘米 【分析】铁块的体积等于上升的水的体积，上升的水的高度为：12－8＝4（厘米），上升的水的体积＝长方体底面积×上升的水的高度。 【详解】24×18×（12－8） ＝432×4 ＝1728（立方厘米） 答：这个铁块的体积是1728立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的体积公式，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高。 7．90平方厘米 【详解】3×3×6×2－3×3×2 ＝108－18 ＝90（平方厘米） 答：它的表面积是90平方厘米。 8．25.5立方分米 【分析】用假山和水的体积减去水的体积，可以求出假山的体积。假山和水的体积、水单独的体积，均用长方体的体积公式可以求解。 【详解】8.5×6×3.5－8.5×6×3 ＝8.5×6×（3.5－3） ＝8.5×6×0.5 ＝25.5（立方分米） 答：这座小假山的体积是25.5立方分米。 【点睛】本题考查了长方体的体积，长方体体积＝底面积×高＝长×宽×高。 9．356平方米 【分析】根据题意，求防水材料需要铺多少平方米，就是求这个游泳池的5个面的面积和，根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，求出这个游泳池的表面积。 【详解】8分米＝0.8米 20×15＋（20×0.8＋15×0.8）×2 ＝300＋（16＋12）×2 ＝300＋28×2 ＝300＋56 ＝356（平方米） 答：防水材料需要铺356平方米。 【点睛】根据长方体表面积公式进行解答。 10．384平方厘米 【详解】96÷12＝8（厘米）   8×8×6＝384（平方厘米） 11．972cm2，156cm 【分析】至少需要多少平方厘米的纸板就是求长方体的表面积，依据长方体的表面积计算公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，计算即可； 至少需要多少厘米彩带就是求长方体的棱长总和，依据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，计算即可；据此解答。 【详解】 答：至少需要972平方厘米的纸板，至少需要156厘米彩带。 【点睛】熟练运用长方体的棱长总和、表面积计算公式是解题的关键。 12．0.5米 【详解】试题分析：由题意可知，把正方体水缸中的水倒入长方体水缸中，水的体积不变，因此，用水的体积除以长方体水缸的底面积即可． 解：360升=360立方分米=0.36立方米， 0.36÷（1.2×0.6）， =0.36÷0.72， =0.5（米）， 答：水面高0.5米． 点评：此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，注意：容积单位与体积单位之间的换算． 13．表面积120平方厘米；体积68立方厘米 【分析】由于上面的正方体与下面的长方体粘合在一起，所以它的表面积＝长方体的表面积＋正方体四个面的面积；根据长方体、正方体的表面积公式解答； 它的体积＝正方体体积＋长方体体积，根据正方体、长方体的体积公式解答。 【详解】2×2×4＋（6×5＋6×2＋5×2）×2 ＝16＋52×2 ＝16＋104 ＝120（平方厘米） 6×5×2＋2×2×2 ＝60＋8 ＝68（立方厘米） 答：零件的表面积是120平方厘米，体积是68立方厘米。 【点睛】解答有关求组合图形的体积、表面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，再利用相应的公式解答即可。 14．36平方分米 【分析】长方体鱼缸是无盖的，求做一个这样的鱼缸需要的玻璃的面积，实际是求长方体的4个侧面积和1个底面积的面积之和，利用长方体的表面积公式，代入数据即可得解。 【详解】40×25＋40×20×2＋25×20×2 ＝1000＋1600＋1000 ＝3600（平方厘米） 3600平方厘米＝36平方分米 答：做一个这样的鱼缸至少要36平方分米的玻璃。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。 15．17.5cm 【分析】因为下降的水的体积等于正方体铁块的体积，用正方体体积＝棱长×棱长×棱长计算出正方体铁块的体积，再除以长方体的底面积即可计算出下降的水的高度，用18cm减去下降的水的高度就是缸内水面高度。 【详解】18﹣10×10×10÷（80×25） ＝18﹣1000÷2000 ＝18﹣0.5 ＝17.5（cm） 答：玻璃缸中的水面高17.5cm。 【点睛】解题关键是根据下降的水的体积等于正方体的体积求出下降的水的体积，再灵活运用长方体体积公式计算出下降的水的高度。 16．（1）见详解 （2）见详解 （3）长2.2厘米、宽0.8厘米、高1.4厘米 （4）从一个方向最多能看到3个面。 【分析】（1）比较长方形的长和宽找到同样的长方形并涂色； （2）沿着各条边把图样折叠，得到一个长方体； （3）用直尺测量长方体的长宽高； （4）从不同方向观察这个长方体，数数能看到的面最多有几个。 【详解】（1）如下图 （2）如下图 （3）长2.2厘米、宽0.8厘米、高1.4厘米 （4）从一个方向最多能看到3个面。 17．（1）见详解 （2）72 （3）48 【分析】（1）由切面①和切面②可知，这个长方体的长为6厘米，宽为4厘米，高为3厘米，则长方形图③的长为4厘米，宽为3厘米，据此作图即可； （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可； （3）按图①的切法，表面积比原来增加两个长为6厘米，宽为4厘米的长方形的面积；按图②的切法，表面积比原来增加了两个长为6厘米，宽为3厘米的长方形的面积；按图③的切法，表面积比原来增加两个长为为4厘米，宽为3厘米的长方形的面积，据此计算并对比即可。 【详解】（1）如图所示： （2）6×4×3 ＝24×3 ＝72（立方厘米） 则这个长方体的体积是72立方厘米。 （3）图①：6×4×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 图②：6×3×2 ＝18×2 ＝36（平方厘米） 图③：4×3×2 ＝12×2 ＝24（平方厘米） 48＞36＞24 则三种切法中，表面积最多增加48平方厘米。 【点睛】本题考查长方体的体积和表面积，明确长方体的体积的计算方法和表面积的定义是解题的关键。 18．6厘米 【分析】首先根据长方体的体积公式：V=abh，求出容器内是水的体积，然后用水的体积除以图（2）横放时的底面积即可，据此解答。 【详解】10×10×9÷（10×15） ＝10×10×9÷150 ＝6（厘米） 答：现在水的高度是6厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，要从题目中的信息入手，找出题中数量之间的关系。 19．15120块 【分析】砖墙砌成后是一个长方体，根据长方体的体积计算公式V＝abh求出它的体积，再用乘法求出一共需要多少块砖，由此列式解答。 【详解】60×0.24×2×525 ＝14.4×2×525 ＝28.8×525 ＝15120（块） 答：学校需要买15120块砖。 20．43.2立方分米 【详解】6×6×1.2=43.2（立方分米） 21．90dm3 【分析】水面上升了5－3.5（dm），上升的水的体积就是这块假山石的体积，据此根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】10×6×（5－3.5） ＝60×1.5 ＝90（dm3） 答：这块假山石的体积是90dm3。 【点睛】本题考查了不规则物体的体积，要用转化思想，转化成规则物体再计算。 22．10.8平方分米 【分析】商标纸的面积等于这个长方体饼干盒的侧面积，长与高的积加上宽与高的积的和的2倍就是这个长方体饼干盒的侧面积，或用这个长方体饼干盒的表面积减去上，下底的面积，据此解答。 【详解】（15×20＋12×20）×2 ＝（300＋240）×2 ＝540×2 ＝1080（平方厘米） ＝10.8（平方分米） 答：如果围着它的四壁贴一圈商标纸的面积最大是10.8平方分米。 【点睛】此题是考查长方体表面积的计算，解答此题关键明白侧面积的意义，侧面积是由哪几个面组成的，这些面面积的计算与哪些数据有关。 23．0.3m 【详解】7.2÷6÷4=0.3(m) 答：铺成的黄沙有0.3m厚 24．125立方分米 【分析】根据正方体的特征，正方体的6个面都是相同的正方形；已知一个正方体礼物盒的底面积是25平方分米，根据正方形的面积＝边长×边长，可得出这个正方体的棱长是5分米；然后根据正方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，即可求出它的体积。 【详解】因为25＝5×5，所以正方体的棱长是5分米。 体积：25×5＝125（立方分米） 答：它的体积是125立方分米。 【点睛】本题考查正方体体积公式的运用，根据正方体的特征以及正方形的面积公式，得出正方体的棱长是解题的关键。 25．0.342平方米 【分析】根据生活经验可知，抽屉是无盖，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式计算，最后结果的单位要换算为平方米，据此解答。 【详解】50×30＋50×12×2＋30×12×2 ＝1500＋1200＋720 ＝2700＋720 ＝3420（平方厘米） 3420平方厘米＝0.342平方米 答：做这个抽屉至少要用0.342平方米的木料。 【点睛】此题主要考查无盖长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 26．40瓶 【分析】要求可以装多少瓶，就是求0.4升里面有多少个10毫升，先把单位化统一，再用除法计算． 【详解】0.4升=400毫升 400÷10=40（瓶） 答：可以装40瓶． 27．240立方厘米 【详解】试题分析：设长宽高分别为a，b，c则：ab=40，ac=60，bc=24；根据“长方体的体积=长×宽×高”进行解答即可． 解：因为ab=40，ac=60，bc=24； 两边分别相乘，（abc）2=40×60×24， 即：（abc）2=57600， 因为240×240=57600；所以体积为240立方厘米； 答：它的体积是240立方厘米． 点评：解答此题的关键是先分别设出长、宽、高，进而根据题意，根据长方体的体积计算方法列出式子，进行解答即可． 28．90dm³ 【详解】10×6×1.5=90（dm³） 29．120cm³ 【分析】上升的水的体积就是零件的体积，根据长方体的体积公式进行解答。 【详解】10×6×（8－6） ＝60×2 ＝120（cm³） 答：这个零件的体积是120cm³。 30．408cm2 【分析】长方形周长÷2求出长＋宽的和，然后依据长和宽都是合数判断出长和宽的数值，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2解答。 【详解】30÷2＝15 15＝6＋9，6和9都是合数，故长是9cm，宽是6cm。 （9×6＋9×10＋6×10）×2 ＝（54＋90＋60）×2 ＝204×2 ＝408（cm2） 答：这个长方体的表面积是408cm2。 【点睛】除了1和它本身两个因数外，还有其他因数的数叫做合数。 31．8分钟 【分析】长方体体积＝长×宽×高，据此求出和假山石同高度的、长62厘米、宽40厘米的长方体的体积。将这个体积减去假山石的体积，求出淹没假山石至少需要的水的体积。将水的体积除以9立方分米，求出需要几分钟。 【详解】62×40×30－2400 ＝74400－2400 ＝72000（立方厘米） 72000立方厘米＝72立方分米 72÷9＝8（分钟） 答：至少需要8分钟才能将假山石完全淹没。 【点睛】本题考查了长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键。 32．63立方米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，据此代入数值即可求出一块木质地板的体积，再乘20即可求出所铺地板的体积一共是多少立方米。 【详解】0.3分米＝0.03米 30×3.5×0.03×20 ＝105×0.03×20 ＝3.15×20 ＝63（立方米） 答：所铺地板的体积一共是63立方米。 33．6厘米 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体棱长总和，即正方体棱长总和，正方体棱长总和÷12＝正方体棱长。 【详解】（9＋5＋4）×4÷12 ＝18×4÷12 ＝72÷12 ＝6（厘米） 答：正方体的棱长是6厘米。 【点睛】关键是熟悉长方体和正方体特征，掌握长方体和正方体棱长总和公式。 34．433.5平方厘米 【分析】利用正方体的表面积公式：S＝6a2，代入棱长的数据，求出制作这个玩具需要的硬纸板面积。 【详解】6×8.5×8.5 ＝51×8.5 ＝433.5（平方厘米） 答：制作这个玩具盒至少需要433.5平方厘米的硬纸板。 【点睛】此题的解题关键需要灵活运用正方体的表面积公式来求解。 35．（1）150cm3；（2）60cm3 【分析】（1）根据图意可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，进行解答即可； （2）用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，求出容器中水面的高度，再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【详解】（1）10×10×3÷2 ＝100×3÷2 ＝150（cm3） 答：甲容器中水的体积是150cm3。 （2）150÷（10×3＋5×4） ＝150÷（30＋20） ＝150÷50 ＝3（cm） 5×4×3＝60（cm3） 答：需要从甲容器中倒出60cm3的水。 【点睛】本题考查了长方体体积的实际应用，灵活运用长方体的体积公式求解。 36．1600立方厘米 【分析】圆柱形茶叶罐的规格是：底面直径8厘米，高12.5厘米，长方体纸盒内正好放2盒，据此可得：长方体的长为（8＋8）厘米、宽为8厘米、高为12.5厘米；根据长方体的体积公式： V＝abh，把数据分别代入公式求解即可。 【详解】（8＋8）×8×12.5 ＝16×8×12.5 ＝128×12.5 ＝1600（立方厘米） 答：这种长方体盒子的容积是1600立方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积，解题的关键是确定长方体的长、宽和高。 37．296千克 【分析】礼堂可以看作一个长方体，要粉刷的面积是长方体的一个底面与四个侧面的和减去120平方米。粉刷总面积×0.4千克＝所需涂料总量。 【详解】80分米＝8米 20×15＋（20×8＋15×8）×2－120 ＝300＋560－120 ＝860－120 ＝740（平方米） 740×0.4＝296（千克） 答：一共需涂料296千克。 【点睛】本题主要考查求长方体的表面积，注意实际情境中需要求的是几个面。 38．224平方米；1232元 【分析】根据题意，粉刷教室的顶部和四面墙壁，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗和黑板的面积，就是需粉刷的面积；最后用粉刷面积乘每平方米的涂料费即可。 【详解】12×8＋12×4×2＋8×4×2 ＝96＋96＋64 ＝256（平方米） 256－32＝224（平方米） 224×5.5＝1232（元） 答：粉刷的面积有224平方米，粉刷这个教室需要1232元。 【点睛】关键是先弄清长方体缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 39．6立方分米 【分析】金鱼和假山的体积相当于长为6分米，宽为5分米，高为2厘米的长方体体积，长方体体积＝长×宽×高，代入数据即可解答。 【详解】2厘米＝0.2分米 6×5×0.2 ＝30×0.2 ＝6（立方分米） 答：金鱼和假山的体积是6立方分米。 【点睛】本题考查不规则物体体积的计算以及长方体的体积公式。 40．4.2立方分米 【分析】动物模型从水里取出后，动物模型的体积＝水面下降的体积，水面下降的体积可看作长为20厘米，宽为30厘米，高为（25－18）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。 【详解】20×30×（25－18） ＝600×7 ＝4200（立方厘米） 4200立方厘米＝4.2立方分米 答：这个动物模型的体积是4.2立方分米。 【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。 41．1.25升 【分析】根据长方体的容积＝长×宽×高，计算出这个水漏里水的体积是多少，再用这个水漏里水的体积除以时间，由此计算出这个水漏平均每小时漏多少升水。 【详解】2.5×1.5×2 ＝3.75×2 ＝7.5（立方分米） 7.5立方分米＝7.5升 7.5÷6＝1.25（升） 答：这个水漏平均每小时漏1.25升水。 【点睛】本题解题关键是熟练掌握长方体的容积的计算方法和体积容积单位换算的方法。 42．31千克 【分析】由题意可知：首先要求出需要粉刷的面积，即用教室的5个面的面积（下面不刷）减去门窗和黑板的面积，再用需要粉刷的面积乘每平方米需要的涂料的量，就是一共需要的涂料量，可据此解答。 【详解】35分米米 （平方米） （千克） 答：粉刷这个教室共需要涂料31千克。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积在实际生活中的应用，关键是弄清需要粉刷的面积由哪几部分组成。 43．104平方米 【分析】对游泳池的底部和四壁进行粉刷，求出长方体前、后、左、右、下，5个面的面积和即可。 【详解】8×6＋6×2×2＋8×2×2 ＝48＋24＋32 ＝104（平方米） 答：要粉刷的面积是104平方米。 【点睛】本题考查了长方体表面积，完整的长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 44．1550平方米 【分析】求贴瓷砖的面积实际上是在求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝ab＋ah×2＋bh×2，代入数据即可得解。 【详解】50×25＋50×2×2＋25×2×2 ＝1250＋100×2＋50×2 ＝1250＋200＋100 ＝1450＋100 ＝1550（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1550平方米。 45．128平方分米 【分析】无盖的长方体玻璃鱼缸缺少上面，求需要玻璃的面积就是求这个长方体5个面的面积，由此根据长方体的表面积的公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据求解即可。 【详解】12×5＋12×2×2＋5×2×2 ＝60＋48＋20 ＝128（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃128平方分米。 【点睛】解答有关长方体表面积计算的实际问题，一定要搞清所求的面是哪几个面的面积，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 46．（1）24平方分米 （2）9.6立方分米 【分析】（1）根据长方形的面积公式：S＝ab，据此求出鱼缸的占地面积； （2）不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【详解】（1）6×4＝24（平方分米） 答：鱼缸的占地面积是24平方分米。 （2）6×4×（3－0.6－2） ＝24×0.4 ＝9.6（立方分米） 答：假山的体积是9.6立方分米。 【点睛】本题考查求不规则物体的体积，明确上升的水的体积就是假山的体积是解题的关键。 47．198.4立方厘米 【详解】水面上升部分水的体积就是铁块的体积，由此用容器的底面积乘水面上升的高度即可求出铁块的体积． 解：6.2×8×4=198.4(cm3)    答：这块铁的体积是198.4立方厘米． 48． 【详解】正方体的底面，左下角即里面的角为1，按顺时针为1，7，2，8，正方体上面的面右下角，即外侧的面为3，按顺时针为3，5，4，6，各面和均为18． 49．5.2米 【分析】做这个灯笼框架至少需要多少米的木条，就是求长方体的棱长总和，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据解答。 【详解】（60＋35＋35）×4 ＝130×4 ＝520（厘米） 520厘米＝5.2米 答：做这个灯笼框架至少需要5.2米的木条。 【点睛】灵活运用长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，注意单位的统一。 50．（1）300立方厘米 （2）2厘米；304平方厘米 （3）长方体收纳盒表面积：20×16－4a2，或长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 【分析】（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，那么这个收纳盒的长为（20－2×5）厘米，宽为（16－2×5）厘米，高为5厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，计算出结果即可； （2）根据题意，减去的小正方形的边长必须要小于16厘米的一半，并且长度取整厘米，答案不唯一，取值符合实际；收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，代入数据正确计算即可； （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，那么这个收纳盒的长为（20－2a）厘米，宽为（16－2a）厘米，高为a厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，列出算式化简即可。 【详解】（1）20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 16－5×2 ＝16－10 ＝6（厘米） 10×6×5 ＝60×5 ＝300（立方厘米） 答：围成的长方体收纳盒的容积是300立方厘米。 （2）16÷2＝8（厘米） 减去的小正方形的边长还可以是1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或7cm。 例如，减去的小正方形的边长是2厘米。 20－2×2 ＝20－4 ＝16（厘米） 16－2×2 ＝16－4 ＝12（厘米） 20×16－2×2×4 ＝320－16 ＝304（平方厘米） 答：减去的小正方形的边长还可以是2厘米（长度取整厘米数），这时围成的长方体收纳盒的表面积是304平方厘米。 （3）长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 或长方体收纳盒表面积：20×16－4a2（写出一个即可） 【点睛】此题考查了长方体的体积、表面积以及展开图的知识，关键能够正确找出长、宽、高再解答。（写出一个即可） 学科网（北京）股份有限公司 $$