巩固：因数与倍数(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学人教版

因数与倍数 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．因数和倍数的意义 【知识点归纳】 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2、3、5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 （3）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 （4）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 每相邻的2个自然数中，就会有一个是2的倍数；每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数；每相邻的5个自然数中，就会有一个是5的倍数。 2、5的倍数末尾只能是0和5，而3的倍数末尾没有限制。 第二部分 典型例题 例题1：牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“67□8□”，其中方框表示破了的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？ 【答案】67680元或67185元 【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除。我们没有学过被45整除的数的特征。但注意到，于是67□8□应该能同时被5和9整除，先考虑被5整除的数的特征，确定个位只能是0或5，再结合被9整除的数的特征解答。 【详解】根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5； 当个位是0时，6＋7＋□＋8＋0＝21＋□，所以□内只能填6；这个数是67680； 当个位是5时，6＋7＋□＋8＋5＝26＋□，所以□内只能填1；这个数是67185； 答：这45名工人的总工资有可能是67680元或67185元。 【点睛】能被5整除的数的特征：个位是0或5； 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。 例题2：学校体操队的同学排队，每排站8人或10人都正好站完，体操队的同学至少有多少人？ 【答案】解：8=2×2×2，10=2×5； 8、10的最小公倍数是：2×2×2×5=40； 答：体操队的同学至少有40人． 【详解】同学排队，每排站8人或10人都正好站完，求体操队同学至少有多少人，也就是求8和10的最小公倍数，用分解质因数的方法即可解答． 例题3：三张数字卡片 ，从中抽出一张、两张、三张，分别组成一位数、两位数和三位数，其中哪些是质数，哪些是合数? 【答案】质数：2、3、13、23、31合数：12、21、32、123、132、213、231、312、321 【详解】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不再有其他的因数，这个数就是质数；一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他的因数，这样的数就是合数． 例题4：一块砖长8厘米，宽6厘米，用这样的砖铺成一块正方形，至少要多少块？ 【答案】12 【分析】根据已知，一块砖长8厘米，宽6厘米，用这样的砖铺成一块正方形，则可根据6和8的最小公倍数求出这块正方形的边长。最后由正方形的面积÷一块砖的面积求出地砖的数量。 【详解】用短除除法： 所以6和8的最小公倍数是：2×3×4＝24 24×24÷（8×6） ＝24×24÷48 ＝12（块） 答：至少要12块。 【点睛】考查了最小公倍数在实际生活中的运用。 例题5：有39名同学要分成一、二两组参加比赛，第一组的人数为奇数，第二组的人数是奇数还是偶数？如果第一组的人数为偶数呢？ 【答案】第一组的人数为奇数，第二组的人数是偶数．如果第一组的人数为偶数，第二组的人数是奇数 【详解】39是奇数，奇数+偶数=奇数． 答：第一组的人数为奇数，第二组的人数是偶数．如果第一组的人数为偶数，第二组的人数是奇数． 第三部分 高频真题 1．秦始皇陵兵马俑二号坑的内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位于整个军阵的东部前沿，这个方阵内四面环廊，站立着172件立射佣，中心部位是160件跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？ 2．有3张卡片3，2，1，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数。把所得数中的质数写出来。 3．在208□，当□里填多少时，它是2的倍数．当□里填多少时，它是5的倍数．当□里填多少时，它既是5的倍数，又是2的倍数． 4．欢欢家的电话号码ABCDEFG是一个七位数。其中A是最小的质数；B是一位数中最大的合数；C是最小的奇数；D只有3个因数，且不是3的倍数；E加上1就是最小的合数；F既不是质数也不是合数；G是10以内含有因数2和3的数。欢欢家的电话号码是多少？ 5．粮店将525千克面粉进行包装，有三种包装袋可供选择：选用哪种包装袋正好把面粉装完？为什么？ 6．3有2个因数是1和3,8有4个因数是1,2,4,8．3和8的因数个数都是2的倍数，请你找出几个因数个数不是2的倍数的数．你能从中发现什么? 7．某班学生不足60人，去野炊时每3人一组或每4人一组都刚好分完，那么每5人一组能刚好分完吗？为什么？ 8．有三个连续的自然数，它们的和是57，这三个自然数分别是多少？（用方程解） 9．学校买来68盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？ 10．用10以内的质数组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是多少？最小是多少？ 11．一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，并且周长是48厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 12．一个长方形周长是30厘米，长和宽的长度数量都是素数．那么这个长方形的长、宽各是多少厘米？面积是多少平方厘米？ 13．从4、0、1、2这四个数字中任选三个组成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这个数是多少？ 14．一个长方形的面积是40平方厘米，长和宽都是整厘米数，长和宽各是多少厘米？一共有几种情况？ 15．3有2个因数1和3，8有4个因数1、2、4、8。3和8的因数个数都是偶数，请你找几个因数个数是奇数的数。你能从中发现什么？ 16．有1包糖果，无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1块；如果平均分给3个人，那么正好分完．这包糖果至少有多少块？ 17．已知A，B，C都是7的倍数，A－B＝21，B－C＝7，C是7的因数，求A，B，C三个数的和。 18．王阿姨的身份证后四位数ABCD。其中A是最小的合数， B既不是质数、也不是合数，C是8的最小倍数，D是最小的偶数。这个四位数是多少？ 19．把48块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？（装在至少两个盒子里）每种装法各需要几个盒子？如果有47块月饼呢？ 20．有一个自然数，用它分别去除25、38、43，三个余数之和为18，这个自然数是几？ 21．观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6，…，50。请回答以下问题： （1）这个数列中有多少项是10？ （2）这个数列中所有项的总和是多少？ 22．用105个边长为1厘米的小正方形拼成的长方形中，周长最长是多少？最短是多少？ 23．小红和朋友去公园玩，她拿出妈妈给她准备的27颗糖准备平均分给自己和她的4个好朋友。至少拿走几颗糖，就可以平均分？每人可以分几颗糖？ 24．某单位有员工共99人，准备租车郊游，客车公司有以下几种客车。要使租的车上空位最少，应租哪种车？为什么？ 车型 大客车 中型客车 小客车 座位数 58 33 16 25．傍晚开电灯时，顽皮一口气按了9下开关，你知道现在灯是亮了还是没有亮？第100下呢？ 26．某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？并将它们写出来． 27．26个人做游戏，如果每5人一组，那么至少再来多少人才能正好分完？ 28．由8个不同的数字组成的八位数中，能被396整除的数最大是多少？最小是多少？ 29．三个不同质数的和是82，这三个质数的积最大可能是多少？ 30．李老师买跳绳，每根2元，付钱时，售货员说一共321元．你能很快判断出售货员是否算对了吗？为什么？ 31．刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 32．一隧道内有2008盏电灯，标号依次为1，2，3，4，…2008，有标号依次为1，2，3，4，…2008的2008个人从该隧道内依次通过，每个人把标号为自己整数倍的开关拉一下，当这2008个人从隧道内通过后，还有多少盏灯是亮着的？ 33．有53个球，5个装一筐，至少再拿来几个才能正好装完？至少拿走几个也能正好装完？ 34．3路和9路公交车早上6时同时从同一个起点站出发，3路车每隔10分钟发一辆车，9路车每隔12分钟发一辆车，那么这两路车第二次同时发车是几时几分？ 35．在0、1、3、5这四个数字中，选出三个数字，组成被3除余2的三位数，这样的三位数有多少个？ 36．亮亮把自然数m的最小因数和m的另一个因数相加，发现得数是4，几个小朋友根据亮亮的发现做了以下几种猜测：聪聪：m一定是偶数。明明：m一定是合数。乐乐：m一定是3的倍数。三个小朋友的猜测中，哪些是正确的？请你说明理由。 37．实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等。小明数的是83棵，小刚数的是91棵，小红数的是89棵，其中只有一个小朋友数对了，这个小朋友是谁呢？请你说明理由。 38．蛋糕店里做了113块蛋糕，如果每3块装一盒，能正好装完吗？如果不能，至少还要再做几个这样的蛋糕就能正好装完了？ 39．五年级有40人报名参加义务植树活动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求所分的组数大于4，小于10。可以分为几组？ 40．如果在793的后面补上四个数字，组成一个七位数，使它分别是2，5，3的倍数，那么符合条件的最小七位数是多少？ 41．根据研究《2、3、5的倍数》的学习经验，尝试找到判断25的倍数的特征。 42．超市运来425千克面粉，如果每2千克装一袋，能正好装完吗？ 考答案： 1．3个3个数不能正好数完；5个5个数也不能正好数完 【分析】利用加法求出一共有多少个兵马俑，如果个数是3的倍数，那么能3个3个地数并且正好数完；如果是5的倍数，那么能5个5个地数正好数完。据此解题。 【详解】172＋160＝332（个） 3＋3＋2＝8，332个位是2，所以332既不是3的倍数，也不是5的倍数。 答：这些兵马俑3个3个地数不能正好数完；5个5个数也不能正好数完。 【点睛】本题考查了3、5的倍数特征。各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数；个位上是0或5的数，是5的倍数。 2．2、3、13、23、31 【分析】这里采用边列举、边排除的策略求解。在抽二张卡片时，也可将得到六个两位数全部列举出来：12，13，21，23，31，32.再将三个合数1，21，32排除即可。 【详解】从三张卡片中任抽一张，有三种可能，即一位数有三个，分别为1、2、3，其中只有2、3是质数。 从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个。但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数，都不是质数。所以，两位数的质数只有13，23，31。 因为1＋2＋3＝6，6能被3整除。所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数。 故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个。 【点睛】先将所有符合要求的数列举出来，再逐个排查是否为质数是解决本题的关键。 3．当□里填2、4、6、8、0时，它是2的倍数；当□里填0、5时，它是5的倍数；当□里填0时，它是2和5的倍数． 4．2914316 【详解】最小的质数是2，一位数中最大的合数是9，最小的奇数是1，只有3个因数且不是3的倍数的一位数是4，3加上1就是最小的合数4，1既不是质数也不是合数，10以内含有因数2、3的数是6，所以欢欢家的电话号码是2914316。 答：欢欢家的电话号码是2914316。 5．5千克/袋的包装袋或3千克/袋的包装袋；因为525是3的倍数也是5的倍数。 【分析】根据能被5整除的数的特征：即该数的个位数字是0或5；能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数字的和能被3整除；能被2整除的数的特征：即该数的个位数是偶数；进而分析、进而得出结论。 【详解】（1）因为525的个位数字是5，所以能被5整除，即选5千克/袋的包装袋正好把面粉装完； （2）525不能被2整除，所以不能正好装完，即不能选用2千克/袋的包装袋； （3）又因为5＋2＋5＝12，12能被3整除，所以525也能被3整除；所以选3千克/袋的包装袋也正好把面粉装完； 答：用5千克/袋的包装袋或3千克/袋的包装袋都正好把面粉装完。 【点睛】解答此题应根据能被5整除的数的特征和能被3整除的数的特征和能被2整除的数的特征，进行分析解答。 6．1,4,9,16的因数个数不是2的倍数．我发现:1=1× 1,4=2× 2, 9=3 ×3, 16=4×4……能写成一个自然数的平方数，它的因数个数不是2的倍数． 【详解】先试着找出1~⒛ 各数的困数个数,再从中挑选出因数个数不是2的倍数的数,观察这些数的特征可以找出规律． 7．不能分完。因为60以内既是3的倍数，又是4的倍数的数有：12、24、36、48，都不是5的倍数，所以每5人一组不能刚好分完。 【解析】略 8．三个自然数分别是18、19、20。 【分析】相邻的自然数之间相差1，设第一个自然数为－1、第二个自然数为，第三个自然数为＋1，根据第一个自然数＋第二个自然数＋第三个自然数＝57，列出方程求出x的值是第二个自然数，第二个自然数分别减1和加1是第一个和第三个自然数，据此分析。 【详解】解：设第一个自然数为－1、第二个自然数为，第三个自然数为＋1。 －1＋＋1＝57 3x＝57 3x÷3＝57÷3 ＝19 19－1＝18 19＋1＝20 答：三个自然数分别是18、19、20。 【点睛】关键是熟悉自然数的特点，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 9．选择第二种图案；见详解 【分析】根据题意，如果把68盆鲜花正好摆完，没有剩余，那么每份的盆数一定是68的因数。 先根据求一个数的因数的方法，写出68所有的因数，三种摆法的盆数是68的因数的，就能正好摆完，没有剩余。 【详解】68的因数有：1，2，4，17，34，68； 第一种图案是3盆，3不是68的因数，这样摆有剩余，不符合题意； 第二种图案是4盆，4是68的因数，这样摆没有剩余，符合题意； 第三种图案是5盆，5不是68的因数，这样摆有剩余，不符合题意。 答：选择第二种图案，因为4是68的因数，这样鲜花能正好摆完，没有剩余。 【点睛】本题考查求一个数的因数的方法解决实际问题。 10．735；375 【详解】用10以内的质数组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数，这个三位数个位上的数一定是5，要求这个三位数最大是多少，百位和十位要选择10以内的比较大的质数7、3，组成最大的三位数是735,；要求这个三位数最小是多少，百位要选择10以内的比较小的质数3，组成三位数是375. 11．143平方厘米 【分析】根据长方体的周长＝（长＋宽）×2，用48÷2即可求出长与宽的和，也就是24厘米，将24拆分成2个质数相加，然后求出所有可能的长方形的面积，最后再比较即可。 【详解】48÷2＝24（厘米） 24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 5×19＝95（平方厘米） 7×17＝119（平方厘米） 11×13＝143（平方厘米） 143＞119＞95 答：这个长方形的面积最大是143平方厘米。 【点睛】本题主要考查了质数的应用以及长方形面积公式的灵活应用。 12．长是13厘米，宽是2厘米；面积是26平方厘米 【详解】试题分析：（1）根据“长方形的一条长和宽的和=周长÷2”计算出一条长和宽的和是：30÷2=15厘米，长和宽都是整厘米数，所以可以分为以下几种情况： ①长14厘米，宽1厘米； ②长13厘米，宽2厘米； ③长12厘米，宽3厘米； ④长11厘米，宽4厘米； ⑤长10厘米，宽5厘米； ⑥长9厘米，宽6厘米； ⑦长8厘米，宽7厘米；据此找出都是素数的一组即可． （2）根据长方形的面积=长×宽分别计算得出即可． 解：（1）30÷2=15（厘米 ）， 可以分为：①长14厘米，宽1厘米； ②长13厘米，宽2厘米； ③长12厘米，宽3厘米； ④长11厘米，宽4厘米； ⑤长10厘米，宽5厘米； ⑥长9厘米，宽6厘米； ⑦长8厘米，宽7厘米； 其中长与宽的值都是素数的是13厘米和2厘米； 所以这个长方形的长是13厘米，宽是2厘米． （2）面积是13×2=26（平方厘米）； 答：这个长方形的长是13厘米、宽是2厘米，面积是26平方厘米． 点评：此题考查的是长方形周长和面积计算的灵活运用情况． 13．420(答案不唯一) 【详解】略 14．长40厘米，宽1厘米；长20厘米，宽2厘米；长10厘米，宽4厘米；长8厘米，宽5厘米；4种 【分析】因为长方形的面积＝长×宽，即长×宽＝40，又因为长和宽都是整厘米数，此题实际是求40的因数，根据求一个数的因数的方法从而求解。 【详解】因为：长×宽＝40，又因为长和宽都是整厘米数， 所以：40×1＝40，20×2＝40，10×4＝40，5×8＝40， 答：这样的长方形有4种，长40厘米，宽1厘米；长20厘米，宽2厘米；长10厘米，宽4厘米；长8厘米，宽5厘米。 【点睛】关键是利用长方形的面积公式得出长与宽的积，再将40写成两个整数相乘形式，即可得出答案。 15．我发现：完全平方数的因数个数是奇数。 【分析】一个数的因数是成对出现的，要想因数个数是奇数个，就需有两个相同的因数，可举1、4和9，分析可得完全平方数的因数个数是奇数。 【详解】1有1个因数1； 4有3个因数1、2、4； 9有3个因数1、3、9； 16有5个因数1、2、4、8、16； 我发现：完全平方数的因数个数是奇数。 【点睛】本题考查了找一个数的因数的方法，关键是分析出平方数的因数有奇数个。 16．21块 【详解】有1包糖果，无论是平均分给2个人，还是5个人，都正好剩1块；说明这包糖果的个数比2和5的倍数多1.也就是个位上是1；如果平均分给3个人，正好分完．说明这包糖果的个数是3的倍数．个位上是1的3的倍数最小的就是21. 17．56 【分析】已知A、B、C都是7的倍数，A－B＝21，B－C＝7，C是7的因数，因为C是7的因数，而7的因数只有1和7，因此C只能是7，那么B＝7＋7＝14，C＝21＋14＝35，三者相加即可。 【详解】因为C是7的因数，而7的因数只有1和7，因此C只能是7， 因为B－C＝7， 所以B＝7＋7＝14， 又因为A－B＝21， 所以A＝21＋14＝35。 A＋B＋C＝35＋14＋7 ＝49＋7 ＝56 答：A，B，C三个数的和是56。 【点睛】此题考查了因数的含义，C是7的因数，求出C是多少是解答此题的关键。 18．4180 【分析】王阿姨的身份证后四位数ABCD。其中A是最小的合数是4，B既不是质数、也不是合数是1，C是8的最小倍数是8，D是最小的偶数是0，据此解答。 【详解】A是4，B是1，C是8，D是0。 答：这个四位数是4180。 【点睛】此题考查的是质数、合数、奇数、偶数的意义，解答此题关键是掌握在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数。 19．8种；需要24、16、12、8、6、4、3、2个盒子；47块月饼，做不到每个盒子装得同样多 【分析】根据48的因数分析，两个数相乘积是48，一个因数是盒子数，一个因数是盒子里装的月饼数，据此解答。 【详解】平均每个盒子里装2块月饼，需要48÷2＝24（个）盒子； 平均每个盒子里装3块月饼，需要48÷3＝16（个）盒子； 平均每个盒子里装4块月饼，需要48÷4＝12（个）盒子； 平均每个盒子里装6块月饼，需要48÷6＝8（个）盒子； 平均每个盒子里装8块月饼，需要48÷8＝6（个）盒子； 平均每个盒子里装12块月饼，需要48÷12＝4（个）盒子； 平均每个盒子里装16块月饼，需要48÷16＝3（个）盒子； 平均每个盒子里装24块月饼，需要48÷24＝2（个）盒子； 如果有47块月饼，做不到每个盒子装得同样多。 答：每个盒子装得同样多，有8种装法，从多到少各需要24、16、12、8、6、4、3、2个盒子，如果有47块月饼，做不到每个盒子装得同样多。 【点睛】熟练掌握求一个数的因数的方法并能灵活利用是解答本题的关键。 20．11 【分析】25、38、43的和是106，106减去18得到88，这个数一定是88的因数，88的因数有1、2、4、8、11、22、44、88其中太小、太大的排除掉，对剩下的进行验算，找出11是符合要求的。 【详解】 88的因数有1、2、4、8、11、22、44、88； 答：这个自然数是11。 【点睛】本题主要考查的是余数的性质，几个数的和除以一个数的余数等于这几个数分别除以这个数得到的余数的和，再除以这个数的余数。 21．（1）51项；（2）1775 【分析】奇数项都是10，偶数项是自然数列，只有1个10，求出偶数项从1到50，一共50项，奇数项也是50项，然后求出10的个数，至于所有数之和，偶数项利用等差数列的方法求和，奇数项用10乘50即可。 【详解】（1）奇数项是由常数10组成的，偶数项是从1开始连续的自然数。偶数项有50项，所以奇数项也有50项，那么在奇数项中有50个10，在偶数项中还有1个，所以有51项是10； 答：有51项是 10。 （2）奇数项的和是，偶数项的和是，所以所有项的总和是。 答：所有项之和是1775。 【点睛】对于双重数列，可以拆开，分成奇数项与偶数项分别考虑，然后利用规律求解问题。 22．212厘米；44厘米 【分析】长方形的面积不变为105平方厘米，求出乘积是105的两个整数，作为长方形的长和宽。当长与宽的长度相差最大时，周长最长，长与宽的长度相差最小时，周长最短。 拼成1×105的长方形，周长最长；拼成15×7的长方形，周长最短；据此解答即可。 【详解】105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15 拼成1×105的长方形，周长最长： （1×1＋1×105）×2 ＝106×2 ＝212（厘米） 拼成15×7的长方形，周长最短： （1×7＋1×15）×2 ＝22×2 ＝44（厘米） 答：周长最长是212厘米；最短是44厘米。 23．2颗；5颗 【分析】小红和她的4个好朋友共1＋4＝5人，5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数，据此分析。 【详解】1＋4＝5（人） 27－25＝2（颗） 25÷5＝5（颗） 答：至少拿走2颗糖，就可以平均分，每人可以分5颗糖。 【点睛】关键是掌握5的倍数的特征。 24．因为99是33的倍数，不是58和16的倍数，所以应租中型客车。 【分析】由题意可知，要使租的车上空位最少，则应该找到99的因数即可。 【详解】99÷33＝3（辆） 答：应租中型客车，因为99是33的倍数，不是58和16的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确能整除99的即为99的因数是解题的关键。 25．亮着的，没亮 【详解】现在灯是亮着的，第100下灯没亮． 26．11，13，17，23，37，47 【详解】略 27．4人 【详解】26÷5＝5（组）……1（人） 答：至少再来4人 28．最大是97860312，最小是12376980． 【详解】试题分析：能被396整除，就是既要能被9整除，又要能被4、11整除；0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，10个不同数字，和为45，要去掉两个，剩下数字的和仍然是9的倍数，可以去掉4和5，剩下0、1、2、3、6、7、8、9，八位数能被4整除的充分必要条件是末两位能被4整除，又因为是11的倍数的特征是：奇位上的数字之和与偶位上数字之差能被11整除，所以这个八位数最小是12376980，最大是97860312，据此解答即可． 解：能被396整除，就是既要能被9整除，又要能被4、11整除； 因为0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，要去掉两个，剩下数字的和仍然是9的倍数， 可以去掉4和5，剩下0、1、2、3、6、7、8、9， 因为八位数能被4整除的充分必要条件是末两位能被4整除， 八位数是11的倍数的特征是：奇位上的数字之和与偶位上数字之差能被11整除， 所以这个八位数最大是97860312，最小是12376980． 答：这个八位数最大是97860312，最小是12376980． 点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握是4、9、11的倍数的数的特征． 29．37×43×2=3182 答：这三个质数的积是3182． 【详解】凡是质数，除2外都是奇数，三个质数相加的和是偶数，一定有一个质数是2.82-2=80，剩下的两个质数的和是80，两个数的差越小，积就越大，这两个质数是43和37时，这三个质数的积最大． 30．不对 【详解】一个非0数×偶数=偶数，而321是奇数，不是2的倍数． 答：不对，321不是2的倍数 31．能；不能；理由见详解 【分析】个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此解题。 【详解】答：65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完，因为65的个位上是5，符合5的倍数的特征； 如果每3颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为6＋5＝11，11不是3的倍数，那么65也不是3的倍数。 【点睛】本题考查了3和5的倍数，掌握3和5的倍数特征是解题的关键。 32．1964盏 【分析】由于灯原来是亮着的，则灯被拉偶数次后，仍然亮着，被拉奇数次后灯被关闭，则有多少盏灯是被关闭取决于1—2008中含有多少个奇数个因数的数，由于完全平方数含有奇数个因数，则只要确定1—2008中含有多个完全平方数后，即能确定最后还有多少盏灯是亮着的。 【详解】45×45＝2025＞2008， 所以在1—2008中，完全平方数为：1、4、9、…1936，共有44个。 则当这2008个人从隧道内通过后，1、4、9、…1936号灯被拉了奇数次， 有44盏灯被关闭， 2008－44＝1964（盏）。 答：还有1964盏灯是亮着的。 【点睛】本题考查了偶数与奇数的应用，关键是要理解有多少盏灯是被关闭取决于1—2008中含有多少个奇数个因数的数。 33．至少再拿来2个，至少拿走3个 【详解】55-53=2(个)，53-50=3(个) 答：至少再拿来2个，至少拿走3个． 34．7时 【分析】先求10和12的最小公倍数是60，也就是在60分钟的时候再次同时发车，也就是距离第一次发车的时间6时，经过了1个小时，所以第二次同时发车是在7时。 【详解】10和12的最小公倍数是60。 60分＝1小时 6时＋1时＝7时 答：这两路车第二次同时发车是7时整。 【点睛】考查最小公倍数的应用，重点是能够准确的求出10和12的最小公倍数。 35．4个 【详解】试题分析：先用列举法写出能组成的三位数，再根据题意“组成被3除余2的三位数”说明这个三位数减去2是3的倍数，而这个三位数肯定不是3的倍数，找出符合条件的数即可． 解：在0、1、3、5这四个数字中，选出三个数字组成的三位数有：130、103、310、301、150、105、510、501、135、153、315、351、513、531、350、305、503、530； 所以这些三位数中能被3除余2的三位数有：350、305、503、530；共有4个． 答：这样的三位数有4个． 点评：解决本题的关键是在列举这些三位数时，要按照一定的顺序写，不要重复写或者漏写．再根据这个三位数减去2是3的倍数确定具体数． 36．乐乐；见详解 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意可知，任何自然数的最小因数都是1，1和m的另一个因数的得数是4，由此可得出m的另一个因数是3，也就是说m是3的倍数，再与每个小朋友的猜测对比，得出谁的猜测是正确的。 【详解】乐乐的猜测是正确的。 因为任何自然数的最小因数都是1，m的另一个因数是4－1＝3，所以m的另一个因数是3，也就是说m一定是3的倍数。 假设m＝3，则m是奇数，且是质数，所以聪聪和明明的猜测都不正确； 因为m的因数中有3，则m一定是3的倍数，所以乐乐的猜测是正确的。 【点睛】本题考查3的倍数特征及偶数、合数、质数的认识。 37．小刚；理由见详解 【分析】玫瑰的数量，可以分成几行，且每行的棵数都相等，说明玫瑰的棵数是一个合数，它有两个以上的因数，据此解答。 【详解】83只有1和83，所以83是质数； 91的因数有1、7、13、91，所以91是合数； 89的因数只有1和89，所以89是质数； 答：玫瑰的棵数是一个合数，所以小刚数对了。 【点睛】本题主要考查对质数和合数的理解。 38．不能正好装完，如果每3块装一盒，至少还需要加上1块蛋糕。 【分析】113里面有多少个3就能装多少盒，所以如果113是3的倍数就能正好装完，如果有剩余那么用3减去剩余的蛋糕数就是需要再做几个这样的蛋糕。 【详解】113÷3＝37（盒）……2（块） 至少还需要再做1个这样的蛋糕就能正好装完。 答：不能正好装完，如果每3块装一盒，至少还需要加上1块蛋糕。 【点睛】能够根据实际情况具体分析。 39．5组或8组 【分析】根据题意，找到40的因数，从中找出大于4，小于10的数，就是可以分成的组数。 【详解】40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40； 大于4，小于10的因数有：5，8。 所以可以分成5组或8组。 答：可以分为5组或8组。 【点睛】掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。 40．7930020 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】（7＋9＋3）÷3     ＝19÷3 ＝6……1 3－1＝2 答：符合条件的最小七位数是7930020。 【点睛】关键是掌握2、3、5的倍数的特征，同时是2和5的倍数的个位数一定是0。 41．见详解 【分析】根据研究《2、3、5的倍数》的学习经验，先用枚举法列举出一组25的倍数，再从中找到规律，并举例验证，得出25的倍数的特征。 【详解】25的倍数：25，50，75，100，125，150，175，200，…； 观察发现，25的倍数的末两位数都能被25整除； 如：25÷25＝1，50÷25＝2，75÷25＝3； 初步得出25的倍数的特征：一个数的末两位数是25的倍数。 举例验证： 1175的末两位数是75，75能被25整除，那么1175是25的倍数。 1175÷25＝47，1175是25的倍数，通过验证。 所以，25的倍数的特征：一个数的末两位数是25的倍数。 【点睛】掌握判断25的倍数特征的方法：先列举出一组倍数，从中发现特征，总结规律，再举例验证。 42．不能 【详解】因为425的个位上是5，是奇数，所以每2千克装一袋不能正好装完． 学科网（北京）股份有限公司 $$