巩固培优：数学广角—找次品(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学人教版

数学广角—找次品 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 1、次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重． 2、找次品方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1；用天平秤其中相等的2份，若平衡，次品在余下的一份中，若不平衡，次品在稍高或稍低的1份中，这样一次就能排除掉的物品，是最快捷的方法． 3、用天平找次品关键是把分组，分组的方法不同，所称的次数也会改变，规律是：物品个数大于1，小于或等于3时称1次，大于3而小于或等于32时称2次，大于32而小于或等于33时称3次… 第二部分 典型例题 例题1：9块外观一样的苏式大月饼，有一块重量未达标须找出来重做，现在只给你一架天平，最少称几次就可以找到那块未达标的月饼？你打算怎样找？ 【答案】2次 【分析】把9分成（3，3，3），天平每边放3个，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在轻的一边（称第1次）；把有次品的3个分成（1，1，1），天平每边放1个，若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在轻的一边（称第2次）；据此解答。 【详解】把9块月饼随机分成3，3，3，三部分随机选取两组称，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在轻的一边； 把有次品的3个随机分成1，1，1，三部分，随机选取两组称若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在轻的一边； 所以至少称2次。 答：最少称二次就可以找到那块未达标的月饼。 【点睛】本题是一道找次品问题，需要结合找次品的方法进行求解。找次品的最优策略是：把待分物品分成3份；每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 例题2：某奶粉厂做促销活动，在原有500g一袋的奶粉中赠送50g共550g，还按原价出售。由于工作人员一时疏忽，把一袋没有添加赠送的奶粉混入了包装箱中。在包装箱的6袋中，你能找到没有添加赠送的那一袋奶粉吗？ 【答案】能 【分析】根据找次品的办法，一般把物品分成几份，尽量平均分，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】把6袋奶粉平均分成两份，每份3袋，用天秤称，然后再把轻的平均分成三份再称一次就可以找出没有添加赠送的那一袋奶粉。 【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。 例题3：一箱药品有15盒，其中14盒的质量相同，有一盒的质量不足轻一点，如果用天平称，至少称几次能保证找出那盒质量不足的？ 【答案】3次 【分析】天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两边的质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点把15盒药品分成5盒、5盒、5盒三份，先称其中的两份，若平衡，则次品在剩余的一份中，若不平衡，则次品在天平的较高一端；进而继续将较高端分成2盒、2盒、1盒，利用上面方法继续比较，直至找出质量不足的那一盒药品。 【详解】把15这盒分成5盒，5盒，5盒三份。 第一次：任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻一盒，即在未取的5盒中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，取天平秤较高端的一份继续； 第二次：把在天平秤较高端5盒，任取4盒，平均分成两份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那盒即为质量不足的，若天平秤不平衡，取天平秤较高端的一份继续； 第三次：把天平秤较高端的两盒，分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为质量不足的。 答：至少称3次能保证找出那盒质量不足的。 【点睛】本题主要考查找次品，关键是注意每次取药品的盒数。 例题4：学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？ 【答案】2次 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】将8袋盐分成3份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋，手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。 所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 第三部分 高频真题 1．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 2．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 3．有49瓶同样的水，往其中1瓶中加10克糖．如果用天平称，那么至少称多少次能保证找出加糖的那瓶水？ 4．在4个金饰品中有一个是次品，次品与正品外观完全一致，只是重量有些差别，现有一个标准金饰品和一架没有砖码的天平，那么最多称多少次能找出次品？ 5．有6袋巧克力，其中5袋都是260g，另外1袋轻一些。你能用天平找出来吗？至少称几次？ 6．黄阿姨买了9盒饼干，其中1盒少了6块。 （1）如果用天平称，至少称几次可以把它找出来？ （2）如果天平两边各放4盒，称一次有可能找出来吗？ 7．有9个外观一样的硬币，其中有一个假币比真币要重些。用天平称的办法去找，至少几次能把假硬币找出来？ 8．已知一堆物品中有一个是次品（比正品轻），如果用天平至少称5次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 9．有7个外观一样的硬币，其中有一个假币比真币要重些．用天平称的办法去找，至少几次能把假硬币找出来？请写出过程． 10．在9颗螺丝钉中，混入了1颗不合格的螺丝钉（次品），它与合格螺丝钉的外形一模一样，只是质量略重些．如果用天平称，最少称几次能保证找出这个次品？ 11．有12枚硬币，其中11枚质量相同，另一枚是假币略轻些，利用天平，至少称几次就能找出假币？（请你试着用图表示称的过程。） 12．现有A、B、C、D四袋奶糖，A袋最重，C袋最轻．试用无砝码的天平称一次，将四袋奶糖按照从轻到重的顺序排一排，说说你是怎样称量的． 13．有三袋食盐，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克轻还是比500克重．用天平至少称几次能保证称出这袋食盐比500克重或轻？ 14．有大小、形状完全相同的薯片11桶，其中有一桶质量较轻．如果用天平，你最少称几次能找到它？ 15．有9颗珍珠，其中有1颗是假的，质量比真的略轻，现有一台天平，只称2次，你能把假珍珠找出来吗？请画图表示。 16．有10瓶同样的水，小红往其中的一瓶中加了一些糖，如果用天平称，那么至少称几次就能保证找出那瓶加糖的水？请绘图表示你称的过程。 17．有15瓶水，其14瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水？ 18．某车间生产了10个形状相同的零件，正品的重量都相等．可是其中混杂了一个次品，次品比正品轻一些．你能用一架天平称两次，但不用砝码，就一定把次品挑出来？ 19．6枚一元的硬币中有一枚是假币，它比其他5枚略重一些，至少称几次才能把假币找出来？ 20．9袋盐中有一袋是次品（次品轻一些），假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？是怎么称的？请用图和文字说明过程。 21．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？ 22．一箱苹果有15袋，其中有14袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称几次能保证找出这袋苹果来。（请你试着用图表示称的过程） 23．有15袋花生，其中有一袋比其他的都要轻．问： （1）至少称几次能找出轻的那袋？ （2）称一次有可能找出轻的那一袋吗？为什么？ 24．27瓶墨水中有一瓶是次品（次品较轻一些），如果用天平秤，至少称几次能保证找出次品？ 25．有9袋白糖，其中8袋是每袋500g，另一袋是550g。 （1）如果用天平称，最少称几次就可以找出较重的一袋？ （2）你能保证称2次就找到它吗？ （3）如果天平两边各放4袋，称一次有可能称出来吗？ 26．有12袋盐，其中有11袋质量相同，另一袋质量轻一些。至少称几次保证找出这袋盐？ 27．有10个玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称几次才能保证找到它，请写出称的过程。 28．红红家有5瓶相同的药，每颗药丸重10克，只有一瓶受到污染的药丸质量发生了变化，但是不知道是变轻了，还是变重了。给你一台无砝码的天平，至少称几次能保证找出这瓶受污染的药？ 29．有8瓶矿泉水编号①至⑧，其中有6瓶一样重，是合格产品。另外2瓶都轻5克，是不合格产品，用天平称了3次，结果如下：第一次①＋②比③＋④重；第二次⑤＋⑥比⑦＋⑧轻；第三次①＋③＋⑤与②＋④＋⑧一样重，那么这2瓶不合格的分别是几号？ 30．有28个零件其中有一个是次品，比正品轻，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到？ 31．有11袋糖，其中10袋质量相同，另有1袋轻一些，用天平至少称几次才能保证找出这袋轻一些的糖？ 32．4袋冰糖，其中有1袋质量比其他的轻，用天平至少称几次就一定能称出来？ 33．一箱橘子有11袋,其中10袋质量相同,另外1袋质量轻一些,用天平至少称几次能保证找出这袋橘子来?请画图表示． 34．有盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平称，保证称3次就能找到这个较重的乒乓球。这盒乒乓球最多有多少个？ 35．有24个碟子，其中一个是次品，次品比正品轻一些。现在有一个天平，至少称多少次能保证把次品找出？ 36．师傅和徒弟一起做包子,规定每个包子用的面粉一样多,并且要求10个一笼。一天,师徒共做了5笼包子,其中师傅做了4笼,徒弟做了1笼,但由于徒弟粗心,听错了师傅的要求,每个包子都少了10g。你有什么办法用电子称称一次就能知道哪一笼包子是徒弟做的? 37．生产资料门市部有10包复合肥，其有一包由于某种原因重量不足，如果用天平称，至少几次一定可以找出来？ 38．有29瓶同样的纯净水，向其中一瓶中加入一些盐，如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐的纯净水？ 39．有11个果冻，其中10个质量相同，另有1个稍微轻一点． （1）如果用天平秤，称几次可以找出这个稍微轻一点的果冻？ （2）你能称2次就保证找出这个稍微轻一点的果冻吗？ （3）如果天平两边各放5个果冻，称一次有可能找出这个稍微轻一点的果冻吗？ 40．30只乒乓球中有一只是次品，次品较正品轻一些．现有一天平，最少称几次一定能把次品找到？ 41．有10袋食盐,其中的1袋质量不足．用天平至少称几次就一定能找出这袋食盐? 参考答案： 1．3次 【分析】 找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。 2．82个；81个 【分析】因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称5次，则第一堆零件的个数在82个与243个之间；第二堆零件需要称4次，则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 【详解】第一堆零件需要称5次。 ＝9×9＋1 ＝81＋1 ＝82（个） ＝9×9×3 ＝81×3 ＝243（个） 第一堆零件的个数在82个与243个之间； 第二堆零件需要称4次。 （个） ＝9×9 ＝81（个） 则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 答：第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 【点睛】此题是灵活考查利用天平找次品的规律，是需要识记的内容。 3．4次 【详解】略 4．3次 【分析】根据找次品的方法，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出次品。 【详解】第一次：任取一个金饰品和标准金饰品放在天平两端，如果平衡，那么次品在未称重的3个金饰品中，如果不平衡，那么任取的这个金饰品是次品； 第二次：将含有次品的3个金饰品，任取2个放在天平两端，如果平衡，那么未称重的1个是次品，如果不平衡，则进行第三次称重； 第三次：将含有次品的2个金饰品，任选一个和标准金饰品放在天平两端，如果平衡，那么未称重的是次品，如果不平衡，那么任选的这个金饰品是次品。 答：最多用3次就能找出次品。 【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。 5．能；2次 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【详解】第一次称量：把6袋巧克力分成2份，每份3袋，把天平两边分别放3袋，则次品在托盘上升的一边3袋中；由此即可进行第二次称量：从上升一边的3袋拿出2袋，放在天平的两边一边1袋，若天平平衡，则剩下1袋是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品。 综上所述，至少需要称2次，才能找到次品。 【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 6．（1）2次； （2）可能 【分析】（1）由题意可知，需要找出的那盒饼干比其它饼干轻，把饼干平均分成三组，先称其中的两组，如果天平平衡那么较轻的饼干在剩下一组里面，如果天平不平衡那么较轻的饼干在天平上翘一端里面，据此找出少6块的那盒饼干，根据称重过程找出称重次数即可； （2）把9盒饼干分成三组（4，4，1），先称数量相等的两组，如果此时天平平衡，那么剩下的一盒为质量较轻的那盒饼干，据此解答。 【详解】（1） 由上可知，至少称2次可以把它找出来。 答：如果用天平称，至少称2次可以把它找出来 （2）如果天平两边各放4盒，此时天平刚好平衡，那么剩下的一盒就是较轻的那盒饼干。 答：如果天平两边各放4盒，称一次有可能找出那盒少6块的饼干。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 7．2次 【分析】把9个硬币平均分成3份，每份3个，第一次，一边3个，哪边重就在哪边，一样重就是剩余的3个；第二次，一边1个，哪边重就是哪边，一样重就是剩余的那个；进而得出结论。 【详解】至少2次：第一次，一边3个，哪边重就在哪边，一样重就是剩余的3个； 第二次，一边1个，哪边重就是那个，一样重就是剩余的那个。 答：至少2次能把假硬币找出来。 【点睛】此题考查的是找次品，解答此题的关键：①应明确找次品的方法；②所需次数最少。 8．82个；243个 【解析】略 9．2次，第一次：从7个硬币中，任取4个，平均分成2份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则假币即在未取的3个中（再从中任取2个，按照下面的操作方法即可）， 若不平衡；第二次：把在天平秤较低端的2个硬币，分别放在天平秤两端，较低端的硬币即为假币. 【详解】第一次：从7个硬币中，任取4个，平均分成2份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则假币即在未取的3个中（再从中任取2个，按照下面的操作方法即可）， 若不平衡；第二次：把在天平秤较低端的2个硬币，分别放在天平秤两端，较低端的硬币即为假币； 答：至少2次能把假硬币找出来． 【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，每次取硬币的个数是解答本题的关键． 10．2次 【详解】第一次，把9颗螺丝钉平均分成3份，每份3颗，取两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取含有较重的一份（3个），取其中2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品为未取的一个，若天平不平衡，可找到较重的次品。 答：用天平称，最少称2次能保证找出这个次品。 11．3次；作图见详解 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】 至少称3次就能找出假币。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 12．把B、D两袋奶糖放在天平上称一次，如果D袋比B袋轻，那么按照从轻到重的顺序排列依次为：C＜D＜B＜A；如果D袋比B袋重，那么按照从轻到重的顺序排列依次为：C＜B＜D＜A 【详解】略 13．2次 【详解】略 14．3次 【分析】先把11桶薯片分成（4，4，3），再分成（2，2，）或（1，1，1），最后分成（1，1），这样最少称3次能找到它；据此解答即可． 【详解】先把11桶薯片分成（4，4，3），每侧放4桶， 如果平衡，在剩下的3桶一定有一桶质量较轻，然后分成（1，1，1），称量2次即可找到质量较轻的一桶． 如果不平衡，上翘4桶中一定有一桶质量较轻的，然后分成（2，2），然后再把上翘的2桶，分成（1，1），这样称量3次即可找到质量较轻的一桶． 15．见详解 【分析】把9颗珍珠分成3颗、3颗、3颗三份，第一次在天平左右两边各放3颗； a、如果两边平衡，再把余数的3颗分成1颗、1颗、1颗三份，第二次在天平左右两边各放1颗，如果两边不平衡，则轻的那颗为假的珍珠；如果两边平衡，余下那颗为假的珍珠。 b、如果两边不平衡，再把轻的3颗再分成1颗、1颗、1颗三份，第二次在天平左右两边各放1颗，如果两边不平衡，则轻的那颗为假的珍珠；如果两边平衡，余下那颗为假的珍珠。 【详解】如图： 答：称2次能找出假珍珠。 【点睛】此题主要考查的是找次品问题，要细心分析，熟练掌握方法。 16．见详解 【分析】把10瓶水分成3瓶、3瓶、4瓶三份，第一次在天平左右两边各放3瓶； a、如果两边平衡，再把余数的4瓶分成1瓶、1瓶、2瓶三份，第二次在天平左右两边各放1瓶； 如果两边不平衡，则重的那瓶为加糖水的水。 如果两边平衡，接着把余下的2瓶分成1瓶、1瓶两份，第三次在天平左右两边各放1瓶，重的那瓶为加糖水的水。 b、如果两边不平衡，把重的3瓶再分成1瓶、1瓶、1瓶三份，第二次在天平左右两边各放1瓶，若两边平衡，余数那瓶为加糖水的水，否则，重的那瓶为加糖水的水。 【详解】如图： 答：至少称3次就能保证找出那瓶加糖的水。 【点睛】此题主要考查的是找次品问题，要细心分析，熟练掌握方法。 17．3次 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【详解】15（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次。 如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次。 所以至少3次保证可能找出这瓶盐水。 答：至少3次保证可能找出这瓶盐水。 【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 18．解：将10个零件分成2、4、4三组，先称4、4的两组，若重量一样，则次品在2个的那一组，再称一次就可以找出次品，这样共需称两次即可； 若重量不一样，再将轻的那一组分成2、2两组，依次再将轻的那组分成1、1，从而就可以找出次品，这样共需称三次才能找出那个较轻的次品．所以2次不能找出那个较轻的次品． 答：不能．至少用3次：将10个零件分成2、4、4三组，先称4、4的两组，若重量一样，则次品在2个的那一组，再称一次就可以找出次品，这样共需称两次即可； 若重量不一样，再将轻的那一组分成2、2两组，依次再将轻的那组分成1、1，从而就可以找出次品，这样共需称三次才能找出那个较轻的次品． 【详解】将10个零件分成2、4、4三组，先称4、4的两组，若重量一样，则次品在2个的那一组，再称一次就可以找出次品，这样共需称两次即可；若 重量不一样，再将轻的那一组分成2、2两组，依次再将轻的那组分成1、1，从而就可以找出次品，这样共需称三次才能找出那个较轻的次品 19．2次 【详解】略 20．见详解 【分析】把9袋盐平均分成3份，每份3袋，第一次用天平选2份称，如果重量相等，剩下的一份就是次品所在；如果哪一份较轻，次品就在那份中。第二次从次品所在的3袋中，选2袋进行称重，如果重量相等，剩下的一袋就是次品；如果重量不同，较轻的那袋是次品。并画图表示出整个找次品的过程。 【详解】9÷3＝3（袋） 3÷3＝1（袋） 答：先将9袋平均分成3份，每份3袋，取其中2份称1次，可确定次品在哪一堆，取次品所在的一堆，平均分3份（每份1袋），可确定次品在哪一袋。至少称2次能保证找出次品。 过程如图所示： 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 21．2次 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】可以把9副中药平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分别放在天平两端； （1）若天平平衡，则质量较轻的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作； （2）若天平不平衡，把天平较高端的3副中，平均分为（1，1，1），任取2副分别放在天平两端； 若天平平衡，则质量较轻的是未取的那副； 若天平不平衡，天平较高端的那副即为质量较轻的那副。 答：如果能用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。 【点睛】本题主要考查找次品，关键注意每次取中药的数量。 22．至少称3次能保证找出这袋苹果来 【分析】根据找次品的方法来找出15袋中质量不足的1袋。 【详解】把15袋平均分成三份，分别是：5袋，5袋，5袋。 （1）第1次称：拿出2份分别放在天平的两端，如果天平左右相等，那么剩下的一份中含有质量不足的1袋；如果左右不相等，那么含有质量不足的1袋就在比较轻的那一份里。 （2）第2次称：把确定含有质量不足的1袋的那份，再分成3份：2袋，2袋，1袋；拿出2袋，2袋的2份分别放在天平的两端，如果天平左右相等，那么剩下的1份就是质量不足的1袋；如果天平左右不相等，那么含有质量不足的1袋就在比较轻的那一份里。 （3）第3次称：把确定含有质量不足的2袋分别放在天平的两端，哪一袋比较轻就是质量不足的1袋。 所以至少称3次能保证找出这袋苹果来。           答：至少称3次能保证找出这袋苹果来。 【点睛】本题考查找次品，解决本题关键在于把物品分成3份，尽可能平均分。 23．至少称3次能找出轻的那盒．称一次有可能找出轻的那一盒 【详解】试题分析：根据题意可把15盒阿胶糕分成三组（5，5，5），选取其中两组用天平称量．若平衡，则较轻的那盒就在未取的5盒中；若不平衡，教师应引导学生找出轻的一组继续进行合理分组，并用天平称量来判断，由此可知至少3次能找出轻的那一盒．第（2）题从15盒中任取14盒分成两组（7，7），用天平称量．若平衡，则未取的那盒就是轻的，故称一次有可能找出轻的那一盒． 解： （1）首先把15盒阿胶糕平均分成三份，即（5，5，5）分组，任取两份分别放在天平两端．若天平平衡，则较轻的那盒就在未取的5盒中；若天平不平衡，从天平轻的一端的5盒中任取4盒，平均分成两份，分别放在天平两端．若天平平衡，则较轻的那盒就是未取的；若天平不平衡，把天平轻的一端的2盒阿胶糕分别放在天平两端，轻的一端所放的就是较轻的那盒． （2）从15盒阿胶糕任取14盒，平均分成两份，每份7盒，分别放在天平两端．若天平平衡，则未取的那盒就是较轻的． 答：至少称3次能找出轻的那盒．称一次有可能找出轻的那一盒． 所以答案是至少称3次能找出轻的那盒．称一次有可能找出轻的那一盒． 24．3次 【分析】可进行三次称量：第一次分成9、9、9三份，用任意两份称量，若平衡则次品在剩余的一份中，再重复上述两次操作即可找出次品；若不平衡则次品在天平上升的一端，重复上述操作两次可找出次品。据此可得出答案。 【详解】至少需要称3次； 过程： 把27瓶墨水分成（9，9，9）三份， 第一次：将任意两份分别放在天平两端上称，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端； 第二次：把9分成（3，3，3）三份，取任意两份分别放在天平上称，若天平平衡，则次品在未取的那一份，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端； 第三次：①把3分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则次品是未取的那一瓶，若天平不平衡，次品在天平上升一端； 故天平至少称3次能保证把假珠子找出来。 【点睛】本题主要考查的是找次品的应用，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。 25．（1）2次； （2）能保证； （3）有可能 【分析】把9分成（3，3，3），天平每边放3个，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在重的一边（称第1次）；把有次品的3个分成（1，1，1），天平每边放1个，若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在重的一边（称第2次）；据此解答。 【详解】（1）把9袋白糖随机分成3，3，3，三部分随机选取两组称，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在重的一边； 把有次品的3个随机分成1，1，1，三部分，随机选取两组称若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在重的一边； （2）能，将9袋分成三份，先将两份放在天平上称如果重量不相同，较重那一袋则放在天平重的那一边。然后将重的那一份分成三份放在天平上秤，如果重量不相同取出较重的如果相等就是未放上天平的那袋如果相同重量较重那一袋在没有放在天平的那一份中，然后再将重的那一份分成三份放在天平上称如果重量不相同取出较重的，如果相等就是未放上天平的那一袋； （3）有可能，任意取出一袋将剩下的8袋分两边放一样重则取出的那袋就是较重的。 答：（1）如果用天平秤，最少秤2次就可以找出较重的袋。 （2）能够保证秤两次就找到它。 （3）如果天平两边各放4袋，秤一次有可能秤出来。 【点睛】本题是一道找次品问题，需要结合找次品的方法进行求解。找次品的最优策略是：把待分物品分成3份；每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 26．3次 【分析】先把12袋盐平均分成3组，每组4袋。第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续；第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，若天平不平衡，可找到较轻的一袋；第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。据此解答。 【详解】先把12袋盐平均分成3组，每组4袋。 第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续； 第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，若天平不平衡，可找到较轻的一袋； 第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。 答：至少称3次保证找出这袋盐。 27．3次；过程见详解 【分析】第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端；第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的，据此即可解答。 【详解】第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端。 第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡，进行第三次称重。 第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的。 答：至少称3次才能保证找到它。 【点睛】本题主要考查学生依据天平平衡原理解决问题的能力，要注意数量多的时候是尽可能的平均分成3份。 28．3次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。 【详解】5瓶药分别是1、2、3、4、5； 第一次称：把1、2和3、4分别放在天平两边，有三种情况： ①1、2＝3、4，5是次品； ②1、2＞3、4，5是标准，1、2可能是重次品，或者3、4可能是轻次品； ③1、2＜3、4，5是标准，1、2可能是轻次品，或者3、4可能是重次品； 第二次称：假设是上面第②种情况，1、2＞3、4.把1和2分别放在天平两边，有三种情况： ①1＝2，次品在3、4中，1和2是标准品，且知道3、4是轻次品； 第三次，把1和3称，有两种情况（1）1＞3，3是轻次品，（2）1＝3，4是轻次品； ②1＞2，1是重次品或者2是轻次品，3和4是标准品；第三次，把1和3称，有两种情况：A、1＞3，1是重次品，B、1＝3，2是重次品。 答：至少称3次能保证找出这瓶受污染的药。 【点睛】此题麻烦就在不知道次品是轻还是重，而且天平没有砝码；不但要缩小次品的范围，还要弄清楚次品是轻还是重，所以要分多种情况进行分析。 29．④和⑤ 【分析】从第一次称量看，③、④两瓶中有一瓶轻，从第二次称量看，⑤、⑥两瓶中有一瓶轻；从第三次称量看，①、③、⑤中有一瓶轻，②、④、⑧中有一瓶轻，综合上面的情况，可以知道④和⑤两个瓶轻。 【详解】由分析可得：两个轻瓶的编号是④和⑤，即不合格产品是④和⑤。 答：这2瓶不合格的分别是几号④和⑤。 【点睛】解答此题的关键是分析每次称量的结果，从而找到不合格产品是几号。 30．4次 【分析】根据找次品的规律：所测物品数量28分为（9，9，10），第1次称（9，9），如果平衡，则次品在剩下的10个当中，再把10分成（3，3，4）第2次称（3，3）如果平衡，次品在剩下的4个当中，再把4分成（2，1，1）第3次称（1，1）如果平衡，次品在2个当中，再把2分成（1，1）第4次称，轻的就是次品，共称4次；如果在第1次称的时候不平衡，则次品在较轻的9个当中，再把9分成（3，3，3），第2次称（3，3），如果平衡，次品在剩下的3个当中，再把3分成（1，1，1）需再称1次，便找出次品，共称3次；在第2次称时不平衡，次品在较轻的3个当中，按照以上方法继续称也是3次找出次品，据此解答。 【详解】由分析得，有28个零件其中有一个是次品，比正品轻，用天平秤，至少称4次，就保证把次品找到。 答：至少称4次，就保证把次品找到。 【点睛】本题主要考查的是找次品，掌握找次品的方法是解题关键。 31．至少称3次才能保证找出这袋轻一些的糖。 【分析】用天平找次品时，如果待测物品有3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差最少，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 【详解】先将糖分成3份，分别是4袋、4袋、3袋，在天平两边各放4袋，如果天平平衡，就把没称的3袋分成3份，每份1袋，再在天平两边各放1袋，称一次即可找到轻一些的那袋糖。如果第一次天平不平衡，将轻的那4袋分成2份，每份2袋，分放在天平两边再称一次，再把轻的2袋分放在天平两边称一次即可找到轻一些的那袋糖。所以至少称3次才能保证找出这袋轻一些的糖。 【点睛】当物品的数量在10－－27个时，称量找到次品最少的次数应该都是3次。 32．2次 【详解】略 33． 【详解】略 34．27个 【详解】33＝27（个） 答：这盒乒乓球最多有27个。 35．.3次 【分析】把24个碟子平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就在较轻的8个中；如果天平平衡，次品在剩下的8个中；把有次品的8个碟子分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3个碟子分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1个；如果天平平衡，次品就是剩下的那1个。所以至少称3次能保证把次品找出。 【详解】 答：至少称3次能保证把次品找出。 36．先将5笼包子编号为1号、2号、3号、4号、5号,然后分别从里面拿1个、2个、3个、4个、5个,再将这15个包子称重,看看跟正确的15个包子的总质量差多少,如果差10g,是1号;如果差20g,是2号;如果差30g,是3号;如果差40g,是4号;如果差50g,是5号。 【详解】【分析】先将5笼包子编号为1，2，3，4，5，然后分别从里面拿1个，2个，3个，4个，5个，然后15个称重，看看跟总重量差多少，如差10g，是第一笼；如差20g，是第二笼；如差30g，是第三笼；如差40g，是第四笼；如差50g，是第五笼； 【点评】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 37．3次 38．4次 【分析】注意盐水的质量比水的质量重。找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。 【详解】把29瓶分成10瓶、10瓶、9瓶； 第一次：两端各放10瓶，如果平衡次品就在9瓶中；如果不平衡，次品在下沉的那10瓶中； 第二次：①把9瓶平均分成3份，每份3瓶；称1次找出次品所在的3瓶，再称1次找出次品；共称3次； ②把次品所在的10瓶分成3、3、4，称1次找出次品所在的4瓶；再称1次找出次品所在的2瓶，再称1次找出次品，共称4次。 答：至少称4次能保证找出加盐的纯净水。 【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 39．（1）解：把11个果冻分成3组：5个1组剩一个，进行第一次称量，如果平衡，剩下那一个就是次品，如果不平衡，那么次品就在较轻的那一组中；由此 再把较轻的5个果冻分成3组：2个1组剩一个，进行第二次称量，如果平衡，剩下那一个就是次品，如果不平衡，那么次品在较轻的那一组中；再把较轻的2个果 冻分成2组：那么较轻的那个是次品． （2）解：不能称2次就保证找出这个稍微轻一点的果冻． （3）解：如果天平两边各放5个果冻，称一次有可能找出这个稍微轻一点的果冻． 【详解】天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量：（把质量较轻的那个小球看做次品）； 把11个果冻分成3组：5个1组剩一个，进行第一次称量，如果平衡，剩下那一个就是次品，如果不平衡，那么次品就在较轻的那一组中；由此再把较轻的5个果冻中分成3组：2个1组剩一个，如此经过3次即可找出质量较轻的那个果冻． 40．4次 41．3次． 学科网（北京）股份有限公司 $$