精品解析：北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

北京二中教育集团2023-2024学年度第二学期 初二数学期末考试试卷 考查目标 1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》、《一次函数》、《数据的分析》的全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第I卷、第II卷和答题卡，共15页；其中第I卷3页，第II卷5页，答题卡7页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第I卷、第II卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第I卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 5. 某商店销售5种领口大小分别为，，，，（单位：）的衬衫，一个月内的销量如下表： 领口大小 销量/件 你认为商店最感兴趣的是这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 7. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 8. 某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A. 第30天该产品的市场日销售量最大 B. 第20天至30天该产品单件产品的销售利润最大 C. 第20天该产品的日销售总利润最大 D. 第20天至30天该产品日销售总利润逐日增多 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. __________． 10. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是__________． 11. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为_____． 12. 如图，中，点，分别是边，中点，的角平分线交于点，，，则的长为__________． 13. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则______． 14. 甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为，，方差分别为，，则__________，__________（填“﹥”，“﹤”或“=”）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是__________． 16. 如图，在矩形中，，，则对角线__________，点是上的动点，连接，则的最小值是__________． 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 计算： 19. 已知，，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接，求的面积． 21. 如图，E、F是平行四边形对角线上的点，若，求证：． 22. 据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）求从高空抛物到落地时间； （2）已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 25. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 26. 学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． （1）列表： … … … … 表格中：__________； （2）在乎面直角坐标系中画出该函数图象； （3）观察图象： ①方程有__________个解； ②当时，的取值范围是__________； （4）进一步研究：若点，是函数图像上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是__________． 27. 如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，延长至点，使，连接，． （1）依题意补全图形； （2）的度数为__________； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，则称线段是点的“菱线段”，点是点的“菱点”．例如，图1中线段是点的“菱线段”． （1）如图，已知点的坐标是． 点，，，，其中点的“菱点”有__________； 若线段是点的“菱线段”，且菱形的面积是2，求点的坐标； （2）记，若线段与线段都是点的“菱线段”，且线段与线段都经过点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京二中教育集团2023-2024学年度第二学期 初二数学期末考试试卷 考查目标 1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》、《一次函数》、《数据的分析》的全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第I卷、第II卷和答题卡，共15页；其中第I卷3页，第II卷5页，答题卡7页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第I卷、第II卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第I卷（选择题共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数大于等于零列式求解即可． 【详解】代数式在实数范围内有意义， ， 解得， 故选B． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除除法，幂的乘方，和合并同类根式，熟练掌握各项运算法则并正确计算是解题的关键．根据二次根式的乘除法法则，幂的乘方，合并同类根式法则逐一计算，即可作出判断． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项运算错误，符合题意； ，故B选项运算正确，不符合题意； ，故C选项运算正确，不符合题意； ，故D选项运算正确，不符合题意； 故选A． 3. 已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第四象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，C选项符合题意，A、B、D选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和为进行判定即可． 【详解】A．，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； B．，，最大角，故不是直角三角形，符合题意； C． ，，则有，故是直角三角形，不合题意； D．，则，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； 故选B． 5. 某商店销售5种领口大小分别为，，，，（单位：）的衬衫，一个月内的销量如下表： 领口大小 销量/件 你认为商店最感兴趣的是这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数的意义求解可得． 【详解】解：商店最感兴趣的是这组数据的众数，众数是这组数据中出现次数最多的，即销量最大的就是众数． 所以商店最感兴趣的是这组数据的众数． 故选：C． 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项错误； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键． 8. 某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A. 第30天该产品的市场日销售量最大 B. 第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C. 第20天该产品的日销售总利润最大 D. 第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 【答案】C 【解析】 【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解． 【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）． A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意； B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意； C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意； D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. __________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根， 根据，再求出25的算术平方根即可． 【详解】根据题意，得． 故答案为：5． 10. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：由图象可知，在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值为， 则不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式解集的关系，理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键． 11. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，则，设，则，再根据勾股定理，即可． 【详解】由题意得，， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质． 12. 如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线，平行线的性质可得，由即可求解． 本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 14. 甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为，，方差分别为，，则__________，__________（填“﹥”，“﹤”或“=”）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式分别进行解答即可； 【详解】解：甲的平均数是：； 乙的平均数是：； ∴ 甲的方差是：； 乙的方差是：； ，， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平均数和方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，联立解析式，求解对应的二元一次方程组即可求解． 【详解】解：由可得： ∴直线与直线的交点为 ∵直线与直线的交点在第一象限， ∴ 解得： 故答案为： 16. 如图，在矩形中，，，则对角线__________，点是上的动点，连接，则的最小值是__________． 【答案】 ①. 4 ②. 3 【解析】 【分析】此题是胡不归问题，主要考查了矩形性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题关键． 过点作，过点作于点，交于点，在矩形中，，，则，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据，得出，再根据直角三角形的性质和勾股定理算出，根据，得出当点三点共线时，，此时最小，即可求解； 【详解】解：过点作，过点作于点，交于点， ∵在矩形中，，，， 则，， ， ， ∵， ， ∵，， ， ∴， ， ∴当点三点共线时，， 此时最小， ∴的最小值是3． 故答案为：4；3． 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质化简二次根式进而计算得出答案； 【详解】解： ． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式的运算，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 19. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方式的应用是解决本题的关键，同时需要注意实数的运算法则的熟练运用．根据题意，利用完全平方式将原式进行化简，从而整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点的坐标，从而可以求得的面积． 【小问1详解】 解：设一次函数为， 把点，，代入解析式得： ，解得， 所以这个一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：令，则，解得， ∴点坐标为， ∴的面积为． 21. 如图，E、F是平行四边形对角线上的点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，先根据平行四边形的性质得，，可得，结合，进而证明，最后根据“全等三角形的对应边相等”得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 22. 据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）求从高空抛物到落地时间； （2）已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【答案】（1） （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）求出，代入动能计算公式即可求出． 【小问1详解】 解：由题意知， ∴， 故从高空抛物到落地时间为； 【小问2详解】 解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当时，， ∴， 这个玩具产生的动能， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，由勾股定理求得即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，运用数形结合思想解决问题是解答本题的关键； （1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据点结合图象，利用数形相结合的思想求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， 即过点； 将代入得： ， 解得， 当时，函数的值小于一次函数的值，如图， ． 25. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）86.5，87； （2）126； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据样本估计总体的方法求解即可； （3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可． 【小问1详解】 ∵一共抽取20名学生 ∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数 ∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87 ∴； 抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 （人） ∴估计七、八两个年级成绩在的人数一共为126人； 【小问3详解】 ∵七年级抽取20名学生的成绩在的有4人 ∴排名第5的学生的成绩中最高成绩， ∴ ∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人 ∴排名第5的学生的成绩 ∴． 26. 学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． （1）列表： … … … … 表格中：__________； （2）在乎面直角坐标系中画出该函数图象； （3）观察图象： ①方程有__________个解； ②当时，的取值范围是__________； （4）进一步研究：若点，是函数图像上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）图像见解析 （3）①；② （4） 【解析】 【分析】本题考查了分段的一次函数，熟练掌握分段的一次函数的图像与性质，对称性和增减性，是解题的关键是． （1）把，代入中，即可求解； （2）根据表格描点画出图像即可； （3）①根据函数图象最低点在x轴下方判断函数与轴有两个交点；②根据函数在r的取值与在的取值即可求解； （4）根据对于，，都有，对称轴，而，关于直线对称，结合增减性即可判定t的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出函数图像如下： 【小问3详解】 解：①由（2）中的图像可知，函数的图像开口向上，对称轴为，顶点为， ∴图象与轴有两个交点， 即方程有个解， 故答案为：； ②由（2）中的图像可知， 顶点为，当时，；当时，； ∴当时， 的取值范围是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：在中，令，则， ∴函数图象开口向上，顶点为，对称轴为， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， ∴，即， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 27. 如图，正方形中，点在边上，连接，过点作于点，延长至点，使，连接，． （1）依题意补全图形； （2）的度数为__________； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全即可； （2）由，得，再根据等边对等角即可得解； （3）过点作，交的延长线于点，连接，先证，得，再证明（），得，，从而，利用勾股定理即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点作，交的延长线于点，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（） ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，则称线段是点的“菱线段”，点是点的“菱点”．例如，图1中线段是点的“菱线段”． （1）如图，已知点的坐标是． 点，，，，其中点的“菱点”有__________； 若线段是点的“菱线段”，且菱形的面积是2，求点的坐标； （2）记，若线段与线段都是点的“菱线段”，且线段与线段都经过点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质可知，利用勾股定理逐一计算即可得到答案；②根据题意，点由两种情况，作轴，根据菱形的性质和面积可知，，利用勾股定理求得的长度，当点在点的上方，得到，当点在点的上方，得到，即可得到点坐标； （2）过点作的平行线，以、为圆心，长为半径作，，当，分别与直线有两个交点，且线段、线段经过点时，满足条件．根据菱形的性质、等腰三角形性质和三角形内角和可证明，当线段与线段完全重叠时，点只有一条“菱线段”符合题意，此时取得最小值，可根据计算得到；当线段与线段的点与点重叠时，此时t取得最大值，根据点、在可得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①的坐标是 四边形是菱形 点，，， ，，， 点，点的“菱点” 故答案为：，． ②根据题意，点有两种情况， 四边形是菱形 ， 如图所示，作轴交轴于，则 菱形的面积是2 ，即 当点在点的正上方， 当点在点的正下方， 点的坐标为或． 【小问2详解】 如图1，过点作的平行线，以、为圆心，长为半径作，，当，分别与直线有两个交点，且线段、线段经过点时，满足条件． 图1中，四边形、是菱形， ，，， ，，， ， ， 当线段与线段完全重叠时，点只有一条“菱线段”， 此时取得最小值，如图2所示， 四边形是菱形， ， 又 ， 此时 ，解得： 当线段与线段的点与点重叠时，点有两条“菱线段”，此时取得最大值，如图3所示， 此时点、在 当时，满足条件． 故答案为：． 【点睛】本题考查了理解“菱点”和“菱线段”的定义，菱形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解“菱线段”的定义和熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$