第15讲一元二次方程、方程和不等式章末复习与测试（五大题型归纳+测试卷）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第15讲 一元二次方程、方程和不等式章末复习与测试 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 不等式及其性质 2 题型02 利用基本不等式求最值 5 题型03 一元二次不等式的解法 7 题型04 不等式恒成立问题 9 题型05 通过构造数学模型解决生活中的问题 11 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 一、不等式及其性质 1．不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位． 2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养 二、利用基本不等式求最值 1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养 三、一元二次不等式的解法 1．掌握一元二次不等式及分式不等式的解法． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养 四、不等式恒成立问题 1．熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 2．掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养 五、通过构造数学模型解决生活中的问题 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键． 2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养 题型01不等式及其性质 【解题策略】 不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法． (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·黑龙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一·全国·课后作业）对于实数a，b，“”是“”的 条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 【变式3】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 题型02 利用基本不等式求最值 【解题策略】 　基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”、“二定”、“三相等”． (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 【变式2】（23-24高一上·四川·期中）已知正数，满足，则的最大值为 ． 【变式3】（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 题型03 一元二次不等式的解法 【解题策略】 (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后分解因式变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点，也是一元二次方程的根 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ． 【变式2】（21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集为 . 【变式3】（23-24高一上·北京·期中）解下列不等式： (1) (2) 题型04 不等式恒成立问题 【解题策略】 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合． (2)分离参数法． (3)转化为最大(小)值问题 【典例分析】 【例4】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型05 通过构造数学模型解决生活中的问题 【解题策略】 解决实际问题的关注点 (1)审题要准，初步建模． (2)设出变量，列出函数关系式． (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题 【典例分析】 【例5】（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【变式演练】 【变式1】（22-23高一上·甘肃武威·期中）年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，在一般情况下，我们可以采用如下数学模型来描述某种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离（单位：）与刹车前的车速（单位：）之间的关系：.试判断该汽车在刹车前的车速 （填“超过”或“没有超过”）该水泥道路上机动车的限速. 【变式3】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·浙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·天津·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高一上·全国·单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·云南·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低 B．小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低 C．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样 D．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较 7．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知正实数，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．的最小值为4 11．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）不等式的解集为 . 13．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习），，求a的取值范围 ． 14．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·湖南·期中）已知正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 16．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 17．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）当x是什么实数时，下列各式有意义？ (1)； (2)． 18．（23-24高一上·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 19．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元二次方程、方程和不等式章末复习与测试 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 不等式及其性质 2 题型02 利用基本不等式求最值 5 题型03 一元二次不等式的解法 7 题型04 不等式恒成立问题 9 题型05 通过构造数学模型解决生活中的问题 11 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 一、不等式及其性质 1．不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位． 2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养 二、利用基本不等式求最值 1．基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养 三、一元二次不等式的解法 1．掌握一元二次不等式及分式不等式的解法． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养 四、不等式恒成立问题 1．熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 2．掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养 五、通过构造数学模型解决生活中的问题 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键． 2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养 题型01不等式及其性质 【解题策略】 不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法． (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·黑龙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】作差后，即可判断不等式，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】 ， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】∵，当且仅当时取等号， ∴. 故选：D 【变式2】（22-23高一·全国·课后作业）对于实数a，b，“”是“”的 条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 【答案】充要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】当成立时，由可知与同号，再由可知与同为正，即； 当时，由不等式的性质可知且，即成立. 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 【变式3】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 题型02 利用基本不等式求最值 【解题策略】 　基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”、“二定”、“三相等”． (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式的变形求解出最大值. 【详解】由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号， 最大值为， 故选：C 【变式演练】 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】求出的范围，根据基本不等式求解. 【详解】由且，即且，可得， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式2】（23-24高一上·四川·期中）已知正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最大值. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立．故的最大值为4． 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式，结合换元法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为 题型03 一元二次不等式的解法 【解题策略】 (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后分解因式变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点，也是一元二次方程的根 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可． 【详解】不等式的解集为， ∴，且1，2是方程的两个实数根， ∴，解得，，其中； ∴不等式化为， 即，解得， 因此所求不等式的解集为 . 故答案为： 【变式2】（21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】对于一元二次不等式，一般是先求相应的一元二次方程的根，再结合二次函数的图象确定不等式的解集. 【详解】方程的两根为和3， 不等式的解集为：， 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·北京·期中）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集； （2）将不等式等价转化，计算对应方程的根的判别式，结合二次函数的图象即得其解集. 【详解】（1）由可得，解得，故不等式的解集为； （2）由可得，因方程的根的判别式为，方程的根为，故不等式的解集为 题型04 不等式恒成立问题 【解题策略】 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合． (2)分离参数法． (3)转化为最大(小)值问题 【典例分析】 【例4】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式任意恒成立结论可得结果. 【详解】不等式对任意实数恒成立，即恒成立， 故判别式，解得， 故选：A. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论即可得解. 【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则， 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解； （2）分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题列式求解； 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知，且和是关于的方程的两个实数根， 则，解得. （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，成立， 当时，满足，解得， 综上：实数的取值范围 题型05 通过构造数学模型解决生活中的问题 【解题策略】 解决实际问题的关注点 (1)审题要准，初步建模． (2)设出变量，列出函数关系式． (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题 【典例分析】 【例5】（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C 【变式演练】 【变式1】（22-23高一上·甘肃武威·期中）年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出的取值范围. 【详解】由题意，得，即,解得． 又每枚的最低售价为元，． 故选：B． 【变式2】（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，在一般情况下，我们可以采用如下数学模型来描述某种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离（单位：）与刹车前的车速（单位：）之间的关系：.试判断该汽车在刹车前的车速 （填“超过”或“没有超过”）该水泥道路上机动车的限速. 【答案】超过 【分析】画出函数和，分析在图像的交点在30的左边还是右边，从而得到答案. 【详解】画出函数和的图像，如下： 所以函数在上递增，而当时， 所以该汽车在刹车前的车速超过该水泥道路上机动车的限速. 故答案为：超过 【变式3】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【答案】花卉的宽度至少为 【分析】设花卉带的宽度为，根据已知条件求出的取值范围，求出草坪的长和宽，根据题意可得出关于的不等式，解之即可得出结论. 【详解】解：设花卉带的宽度为，则，可得， 所以，草坪的长为，宽为， 则草坪的面积为， 因为草坪的面积不超过总面积的一半，则， 整理可得，解得，又因为，可得. 所以，花卉的宽度至少为 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 2．（22-23高一上·浙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】，充分性成立； 若，比如，此时不存在，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高一上·天津·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，根据包含关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（22-23高一上·全国·单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案. 【详解】由题意，得，， 令，得，， ，. 故选：D. 5．（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为对于任意的，恒成立，根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解. 【详解】由于,则对于任意的，恒成立， 设， 所以，解得, 故选：B 6．（23-24高一上·云南·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低 B．小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低 C．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样 D．小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】B 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低． 故选：B. 7．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由作差法逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：C. 8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以，且和是一元二次方程的两根， 所以，解得 所以不等式可化为，即， 解得，则不等式的解集是． 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； 【详解】依题意，命题等价于恒成立， 所以，解得，即，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 10．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知正实数，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．的最小值为4 【答案】BC 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时，，A选项不正确. B选项，，当且仅当时等号成立，B选项正确. C选项，，当且仅当时等号成立，C选项正确. D选项，， 但无解，所以等号不成立，D选项错误. 故选：BC 11．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误； 不等式，故C正确； 不等式， 即，所以或，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】解一元二次不等式，求出解集. 【详解】， 解得或， 故答案为：或 13．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习），，求a的取值范围 ． 【答案】 【分析】由在上恒成立求参数范围. 【详解】由题意在上恒成立， 所以，只需. 故答案为： 14．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解. 【详解】由已知，不等式的解集为， 故，且，为方程的两根， 所以，解得，故不等式为， 即，解得或. 故答案为． 四、解答题 15．（23-24高一上·湖南·期中）已知正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）利用不等式结合已知等式即可求得答案； （2）由已知等式可得，利用基本不等式推出，即可得，即可求得答案. 【详解】（1）由（当且仅当时取等号）， 有， 可得（当且仅当时取等号）， 故的最大值为1； （2）由，有， 又由（当且仅当时取等号）， 有，有， 有，可得（当且仅当时取等号）， 故的最大值为2. 16．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）由“1”的代换有，利用基本不等式求最小值，注意取值条件； （2）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为6． （2）因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为． 17．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）当x是什么实数时，下列各式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据式子有意义，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由式子有意义，则满足， 因为恒成立，所以. （2）解：由式子有意义，则满足， 即，解得. 18．（23-24高一上·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）（2）利用作差法即可得解. 【详解】（1）， 故； （2）， 因为，，故，， 当时，，即； 当时，，即； 19．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作差后解一元二次不等式即可. （2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可； 解法二：分离参数，构造函数，利用基本不等式求解最值即可求解； （3）把问题转化为，利用动轴定区间分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，所以，所以的解集为. （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，，对称轴，由题意，只须， ①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以； ②当，即时，在上单调递城，在单调递增， 所以，解得且， 所以. 综上，. 解法二：不等式可化为，即，设，， 由题意，只须，， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即. （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足，， ，对称轴，在递减，在递增， ，，，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增， ，，所以，故； ③即时，在递减，，， 所以，解得，综上：. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立（有解）问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数单调性、基本不等式求解最值是解决问题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$