第14讲 一元二次不等式的应用（三大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第14讲 一元二次不等式的应用 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 解简单的分式不等式 2 题型02 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 4 题型03 一元二次不等式的实际应用 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 16 创新拓展 23 题型01 解简单的分式不等式 【解题策略】 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解 【典例分析】 【例1】例1　解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【变式2】若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝________. 【变式3】解下列不等式： (1)≥0； (2)<3. 题型02 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 【解题策略】 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【典例分析】 【例2】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【变式2】（23-24高一上·河南·阶段练习）函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为 . 【变式3】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 题型03 一元二次不等式的实际应用 【解题策略】 解不等式应用题的步骤 【典例分析】 【例3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 【变式2】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期中）若命题“”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 6．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·新疆喀什·期末）不等式的解集是 . 8．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）有纯农药液一桶，倒出4升后用水加满，然后又倒出2升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积最大为 升. 9．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 四、解答题 10．（23-24高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 11．（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 2．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   3．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于的不等式：的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·天津滨海新·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 6．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 三、填空题 7．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 8．（23-24高一上·北京·期中）若集合，，则 . 9．（23-24高一上·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【创新拓展】 一、单选题 1．（21-22高三上·上海静安·期中）已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，集合 (1)求集合､. (2)若集合，且，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一元二次不等式的应用 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 解简单的分式不等式 2 题型02 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 4 题型03 一元二次不等式的实际应用 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 16 创新拓展 23 题型01 解简单的分式不等式 【解题策略】 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解 【典例分析】 【例1】例1　解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， ∴－1<x<， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，即>0， 则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为： 【变式2】若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝________. 答案　4 解析　由题意知，不等式的解集为{x|x<－1或x>4}， 则(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0， 故a＝4. 【变式3】解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 解　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3. 即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改写为－3<0， 即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 题型02 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 【解题策略】 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【典例分析】 【例2】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 故＝－， 又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0， 解得x<或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 . 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【答案】. 【分析】根据不等式解集知，利用韦达定理得，代入目标不等式求解即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，且和4为方程的两根， 故，得， 又，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·河南·阶段练习）函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意可得恒成立，即恒成立，然后分类讨论，即可求解. 【详解】由题意可得恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，由解得； 故的取值范围为. 故答案为： 【变式3】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得 解得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0. 解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 题型03 一元二次不等式的实际应用 【解题策略】 解不等式应用题的步骤 【典例分析】 【例3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 解　由题意可得s＝－2x＋x2≥22.5， 化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9， 又∵x≥0，∴x≥45. ∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 【答案】 【分析】根据题意求得关系式，令，得到，即可求解. 【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式， 因为，所以， 令，得，即，解得，， 所以停留的时间为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 【答案】51~59 【分析】依据题意列出不等关系，解不等式再根据实际意义即可求出需生产51~59辆摩托车. 【详解】根据题意可知， 转化为不等式，即可得， 解得； 所以应该生产51~59辆摩托车. 故答案为：51~59 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第年 (2)第年最大，为万元 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当万元时等号成立， 第7年，平均利润最大，为12万元 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出一元二次不等式，结合实际意义求出范围即可. 【详解】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 2．（23-24高一上·重庆·期中）若命题“”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】命题为真命题转化为二次不等式有解问题，再转化为二次函数图象与轴有交点得，由此解得的取值范围. 【详解】由题意，不等式有解. 即不等式有解. 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得， 解得，或. 故选：D. 3．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，即可得出结果. 【详解】不等式可以转化为. 等价于，∴， ∴， ∴不等式的解集为. 故选：A 4．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案. 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 6．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分别检验各选项即可判断. 【详解】由得，解得， A：由得，不同； B：由得，相同； C：由得且，解得，不同； D：由得，不同． 故选：ACD． 三、填空题 7．（23-24高一上·新疆喀什·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用分式不等式的解法做即可. 【详解】 ……① ……② 由①②可得的解集为：. 故答案为：. 8．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）有纯农药液一桶，倒出4升后用水加满，然后又倒出2升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积最大为 升. 【答案】/ 【分析】设桶的容积为x升，依据桶中的纯农药液不超过容积的，即可列出不等式，解不等式即可. 【详解】设桶的容积为x升，那么第一次倒出4升纯农药液后，桶内还有升纯农药液， 用水补满后，桶内纯农药液的浓度为，第二次又倒出2升药液， 则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液升. 依题意，得，由于，则原不等式化简为， 解得，又，所以，所以桶的容积最大为升. 故答案为：. 9．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 【答案】120或130 【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可. 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130 四、解答题 10．（23-24高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 【答案】(1)当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； (2)汽车的平均速度应大于且小于. 【分析】（1）化简得，再利用基本不等式求解； （2）解不等式即得解. 【详解】（1）解：依题得. 当且仅当，即时，等号成立， （千辆/时）. 当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）由条件得，因为， 所以整理得，即，解得. 如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于. 11．（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)，面积最小为平方米 【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围. （2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. （2）矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系即可求解. 【详解】由题意得和1为方程的两个根且， 则，解得， 所以不等式，即，即， 故选:D. 2．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 3．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于的不等式：的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解. 【详解】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 4．（22-23高一上·天津滨海新·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】结合题意易知，,即，解得， 因为，所以， 这批台灯的销隹单价的取值范围是， 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 【答案】ABC 【分析】由实际问题列出不等式，解出不等式的解集，逐项判断即可. 【详解】设这批台灯的售价为x（元）， 则为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入， 所以，化简得：, 解得：. 故选：ABC. 6．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D. 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 三、填空题 7．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·北京·期中）若集合，，则 . 【答案】 【分析】解绝对值不等式，分式不等式得出集合，再根据交集定义求得结果. 【详解】根据已知可得：，解得：； 所以. 由得， 解得：或． ． 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题设有且，，应用一元二次不等式的解法求的范围，即得答案. 【详解】由题设，且，， 所以且，即，， 令，则， 所以两根分别为，， 综上，可得，， 所以正整数的取值组成的集合为. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【分析】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【详解】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为 【创新拓展】 一、单选题 1．（21-22高三上·上海静安·期中）已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到有两个不等的实根，得出的取值范围，再根据的范围得出，所以要满足题意，则有，解之可得实数的取值范围. 【详解】函数，集合，中为整数的解有且仅有一个， 所以方程有两个实根，即， 解得或（舍去）， 当时，又，， 所以要使集合有且只有一个元素，则有， 解得，故． 故选：． 二、多选题 2．（23-24高一上·云南·期中）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合根与系数关系，逐一判断即可. 【详解】根据题意不等式的解集为,可得， 由得，， 即，，,,,． 故选： 三、解答题 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，集合 (1)求集合､. (2)若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）解二次不等式和分式不等式求解集合A,B. （2）求出，的交集，通过讨论集合，得到关于的不等式组，解出即可； 【详解】（1），解得或， 故或； ，解得，故． （2）由题意得：， 由， 当则，解得； 当 解得： 综上：实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 【答案】(1)80； (2)14. 【分析】（1）根据给定条件，列出关于不等式，求解不等式得解. （2）列出关于不等式，分离参数并借助基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）依题意，，整理得：，即，而，解得， 所以调整后技术人员的人数x最多为80. （2）依题意，，整理得：， ，而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以正整数t的最大值为14. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求定义域就是求使式子有意义的实数的集合. 【详解】（1）要使分式有意义，则， 由任意，恒成立， 故函数的定义域为； （2）要使式子各部分有意义，则，解得，且. 故的定义域为； （3）要使分式有意义，则， 当时，，则在恒有意义； 当时，，则，无意义； 综上可知，的定义域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$