精品解析：河南省洛阳市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

洛阳市2023——2024学年高一质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先待定结合复数相等求得，结合模长公式即可求解. 【详解】由题意不妨设，所以， 所以，解得，所以. 故选：C. 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求的值. 【详解】因为点为角终边上一点，故， 故选：D. 4. 设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，C与D，可通过举反例的方式说明其错误性，B选项可以直接证明其正确性. 【详解】对于A，若，，，此时与可能相交，如下图所示： 对于C与D，若，，，则与均可能发生，如下图所示： 对于B，若，，则， 又因为，故. 故选：B. 5. 已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积和模长求夹角即可. 【详解】由已知可得，即， 又因为，所以， 所以夹角为. 故选：C 6. 从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型和余弦定理即可求得构成的三角形是锐角三角形的概率 【详解】从3，4，5，6四个数中任取三个数， 共有（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6）四种情况 由，可得（3，4，5）构成直角三角形； 由，可得（3，4，6）构成钝角三角形； 由，可得（3，5，6）构成钝角三角形； 由，可得（4，5，6）构成锐角三角形 则构成的三角形是锐角三角形的概率是 故选：A 7. 如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助题目条件，结合面面垂直的性质，勾股定理及余弦定理可计算出的长度，结合题意知该旋转体为圆锥的组合体，然后利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】由题意可得， 过点作于点，连接， 由二面角为直二面角，故平面平面， 又平面平面，平面， 故平面，又平面，故， 则，，， 在中，利用余弦定理得， 在中，， 在中，，，取MN的中点为H， 则点到的距离为， 根据圆锥的定义知：三角形沿直线旋转一周得到的旋转体为两个相同圆锥的组合体， 故圆锥的半径为，所以旋转体的体积为. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 是的对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】利用余弦型函数最小正周期公式求解可判断A；由已知可得，进而可判断B；由，可判断C；的图象向右平移个单位长度得到的图象，可判断D. 【详解】对于A：的最小正周期为，故A正确； 对于B：当时，可得， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C：， 所以不是的对称轴，故C错误； 对于D：将函数的图象向右平移个单位长度得到: ，故D错误. 故选：AB. 10. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表： 甲厂产品 3 5 6 7 7 8 8 8 9 10 乙厂产品 4 6 6 7 8 8 8 8 8 8 记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（ ）. A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由众数，平均数，极差以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，， ， ， ，， ， ， 则，，，， 故选：BD 11. 某青少年篮球训练营在一堂训练课结束后，组织学员进行投篮测试，规则： ①每人最多投篮3次，先在三分线外投第一次，投中得3分，不中不得分； ②从第二次开始均在三分线内罚球线附近投篮，投中得2分，不中不得分； ③测试者累计得分超过3分即通过测试，并立即终止. 已知学员小明参加测试，他一次投篮得3分和2分的概率分别为0.2和0.6，各次投篮是否投中没有影响，则（ ） A. 小明测试得3分的概率为0.032 B. 小明测试得5分的概率为0.168 C. 小明测试一共投篮3次的概率为0.336 D. 小明测试通过的概率为0.456 【答案】ABD 【解析】 【分析】记第一次投篮命中为事件，第二次投篮命中为事件，第三次投篮命中为事件，则，利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式结合每个选项的条件计算可判断每个选项的正确性. 【详解】记第一次投篮命中为事件，第二次投篮命中为事件，第三次投篮命中为事件， 则， 对于A：小明测试得3分为事件， 则，故A正确； 对于B：小明测试得5分为事件， 则 ，故B正确； 对于C：小明测试一共投篮3次为事件， ，故C错误； 对于D：小明测试通过为事件， ，故D正确. 故选：ABD. 12. 在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是正方形内一动点（包含边界），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则点的轨迹的长度是 C. 点在直线上运动时，的最小值是 D. 若点是棱的中点，平面截正方体所得的截面的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由平面平行可得点到平面的距离为定值，结合体积公式即可得；对于B：借助线面平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面平面，计算即可得点的轨迹长度；对于C：把沿翻折到与在同一个平面，连接，借助两点之间线段最短计算即可得；对于D：画出截面图形后计算即可得. 【详解】对于A：平面平面，则点到平面的距离为定值2， 则，故A正确； 对于B：如图，分别取中点，连接， 则，且，又，， 故且，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 同理，有平面， 因为且都在面内，所以平面平面， 因为平面平面，所以点的轨迹是线段，其长度为，故B正确； 对于C，把沿翻折到与在同一个平面，连接， 则是的最小值，其中是腰长为2的等腰直角三角形， 是直角边分别为的直角三角形， 由余弦定理可得： ， 即的最小值是，故C错误； 对于D：如图，由B选项知，四边形就是平面截正方体所得截面的图形， 其周长为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：求线段长度和的最小值，常常通过翻拆展开在同一平面内，利用两点间线段长最短求得长度和的最小值. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数是奇函数，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 14. 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简，然后利用同角三角函数的关系变形，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 15. 在中，，，点在边上，则的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 所以， 因为，所以当时，. 故答案为：. 16. 在四棱锥中，底面是矩形，，，侧棱长都是，点在棱上，，则三棱锥的外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设三棱锥的外接球的球心为，得是边长为的等边三角形，设外接圆的圆心为，则平面，设为的外接圆的圆心，则平面，得四边形为矩形，三棱锥的外接球的半径，可得答案. 【详解】设，所以为的中点， 设三棱锥的外接球的球心为， 因为底面是矩形，，，所以， 所以是边长为的等边三角形， ，，所以，， ，所以，，， 所以为钝角三角形，设外接圆的圆心为， 所以的外接圆的半径为， 且平面，设为的外接圆的圆心，则平面， 因为四棱锥侧棱长都是，， 所以平面，，所以四边形为矩形， ， 所以三棱锥的外接球的半径， 可得三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此题考查多面体外接球问题，考查球的表面积公式的应用，解题的关键是根据题意找出棱锥外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数. （1）求函数单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的余弦、正弦化简，再利用正弦函数的单调性可得答案； （2）求出的范围可得范围可得答案. 【小问1详解】 ， ，， ，， 所以函数单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以当，即时，函数取得最小值， 当，即时，函数取得最大值1， 所以的值域为. 18. 2024年“五一”假期，洛阳各大景区纷纷推出丰富多彩的文旅活动，让游客在享受美好假期的同时，感受洛阳深厚的历史文化底蕴.这个小长假，全市累计接待游客683.87万人次，旅游总收入59.57亿元.漫步洛阳街头，三步一娘娘，五步一公主，“总要来洛阳穿穿汉服”，成为无数人的心中所愿.为了了解汉服体验者的满意程度，随机选取了40名汉服体验者进行满意度打分（满分100分），按分数共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，我们称打分90分及以上的汉服体验者为“汉服达人”. （1）根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，试估计这40名汉服体验者打分的平均数，并估计样本的第75百分位数； （2）用分层抽样的方法从第3组和第4组的汉服体验者中随机选出5人，再从这5人中随机选2人，求至少一人是“汉服达人”的概率. 【答案】（1）平均数为87.25，第75百分位数为91.25 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义和百分位数的定义求解即可； （2）由分层抽样的定义求出第3组和第4组所抽取的人数，然后利用列举法列出从5人中选2人的情况，从而可求出所求概率. 【小问1详解】 第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三组的频率为0.30，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10， 故平均数， 因为前3组的频率和为，前4组的频率和为， 所以第75百分位数在第四组，不妨设为， 则， 解得， 即第75百分位数约为91.25； 【小问2详解】 根据题意，第3组有人，第4组有人， 所以第3组选3人，分别记为，，， 第4组选2人，分别记为，， 样本空间，共10种， 设事件“至少一人是“汉服达人”， 则，共7种， 因为选中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型， 即至少一人是“汉服达人”的概率为. 19. 在条件①，②，③中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足______. （1）求； （2）的内角平分线交于点，若的面积为，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的范围求教即可； （2）把三角形面积结合角平分线得出边长，再应用余弦定理得出，即可得出边长. 【小问1详解】 若选①， ， ， 由正弦定理得， 由余弦定理得， ，解得. ， . 若选②， 由正弦定理得， 即， ， . ，， ，， . 若选③， 由正弦定理得，， 即， 所以， 即， ，，整理得， 即，，， ，即. 【小问2详解】 ， ，即. 又， . . ， 的周长为. 20. 如图，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足，现将沿折起到的位置，使得. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为菱形，，为等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，根据边长求出余弦值. 【小问1详解】 平面图形中，连接，因为，， 所以，故，又， 所以四边形为平行四边形， Rt中，由勾股定理得，且， 因为，， 所以为等边三角形，四边形为菱形，为等边三角形， 取中点，连接，则， 连接，，又， 故，即， 又，平面， 平面，平面， 平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，平面，平面，所以， 作于，连接， 因为，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 在直角中，，，可得， ，故二面角的余弦值为. 21. 每年的12月2日是我国的“全国交通安全日”，某市交通广播为了提高社会公众的交通安全意识，2023年12月2日推出了一档交通安全知识闯关栏目，规则如下：第一关，闯关者从甲、乙、丙三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则闯关成功，若没答对抽到的题目，则进入第二关；第二关，该闯关者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则闯关成功，若没答对抽到的题目，则进入第三关；第三关，若该闯关者答对最后这一道题目，则闯关成功，若没有答对，则闯关失败.已知闯关者洛洛答对甲、乙、丙三题的概率依次是，，，且各关题目能否答对互不影响. （1）求洛洛第一关抽中甲题，且第一关闯关成功的概率； （2）求洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用积事件的概率公式求解即可； （2）求出洛洛第一关闯关成功的概率、第二关闯关成功的概率，相加可得答案. 【小问1详解】 设事件“洛洛第一关抽中甲题，且第一关闯关成功”. 由题意得洛洛第一关抽到每道题目的概率均为， 所以； 【小问2详解】 设事件“洛洛第一关闯关成功”， 则， 设事件“洛洛第二关闯关成功”， 洛洛答题情况如下： 甲题错乙题对，甲题错丙题对，乙题错甲题对，乙题错丙题对， 丙题错甲题对，丙题错乙题对， 所以， 设事件“洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功”，事件与事件互斥， . 故洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功的概率为. 22. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【小问1详解】 ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. 【小问2详解】 由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洛阳市2023——2024学年高一质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 设l，m是不同直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 是的对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象 10. 从甲厂和乙厂生产同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表： 甲厂产品 3 5 6 7 7 8 8 8 9 10 乙厂产品 4 6 6 7 8 8 8 8 8 8 记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（ ）. A B. C. D. 11. 某青少年篮球训练营在一堂训练课结束后，组织学员进行投篮测试，规则为： ①每人最多投篮3次，先在三分线外投第一次，投中得3分，不中不得分； ②从第二次开始均在三分线内罚球线附近投篮，投中得2分，不中不得分； ③测试者累计得分超过3分即通过测试，并立即终止. 已知学员小明参加测试，他一次投篮得3分和2分的概率分别为0.2和0.6，各次投篮是否投中没有影响，则（ ） A. 小明测试得3分概率为0.032 B. 小明测试得5分的概率为0.168 C. 小明测试一共投篮3次的概率为0.336 D. 小明测试通过的概率为0.456 12. 在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是正方形内一动点（包含边界），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则点的轨迹的长度是 C. 点在直线上运动时，的最小值是 D. 若点是棱的中点，平面截正方体所得的截面的周长为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数是奇函数，且，则___________. 14. 已知，则_________. 15. 在中，，，点在边上，则的最小值为_________. 16. 在四棱锥中，底面是矩形，，，侧棱长都是，点在棱上，，则三棱锥的外接球的表面积为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 18. 2024年“五一”假期，洛阳各大景区纷纷推出丰富多彩的文旅活动，让游客在享受美好假期的同时，感受洛阳深厚的历史文化底蕴.这个小长假，全市累计接待游客683.87万人次，旅游总收入59.57亿元.漫步洛阳街头，三步一娘娘，五步一公主，“总要来洛阳穿穿汉服”，成为无数人的心中所愿.为了了解汉服体验者的满意程度，随机选取了40名汉服体验者进行满意度打分（满分100分），按分数共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，我们称打分90分及以上的汉服体验者为“汉服达人”. （1）根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，试估计这40名汉服体验者打分的平均数，并估计样本的第75百分位数； （2）用分层抽样的方法从第3组和第4组的汉服体验者中随机选出5人，再从这5人中随机选2人，求至少一人是“汉服达人”的概率. 19. 在条件①，②，③中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 已知内角，，的对边分别为，，，且满足______. （1）求； （2）的内角平分线交于点，若的面积为，，求的周长. 20. 如图，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足，现将沿折起到的位置，使得. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 21. 每年的12月2日是我国的“全国交通安全日”，某市交通广播为了提高社会公众的交通安全意识，2023年12月2日推出了一档交通安全知识闯关栏目，规则如下：第一关，闯关者从甲、乙、丙三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则闯关成功，若没答对抽到的题目，则进入第二关；第二关，该闯关者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则闯关成功，若没答对抽到的题目，则进入第三关；第三关，若该闯关者答对最后这一道题目，则闯关成功，若没有答对，则闯关失败.已知闯关者洛洛答对甲、乙、丙三题的概率依次是，，，且各关题目能否答对互不影响. （1）求洛洛第一关抽中甲题，且第一关闯关成功的概率； （2）求洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功的概率. 22. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$