专题01二次函数图像与系数的六种关系-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题01二次函数图像与系数的六种关系 题型01 a与图像的关系 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 【例1-2】（2024九年级·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【例1-3】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．    求的值，并画出它的图象； 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 【变式1-2】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则的取值范围是 ．    【变式1-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 题型02 b与图像的关系 【典例分析】 【例2-1】（21-22九年级上·安徽合肥·开学考试）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2023·九年级上·西藏日喀则·）已知抛物线的对称轴为直线．则m的值是（    ） A． B．1 C．4 D． 【例2-3】（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）抛物线的对称轴位于y轴的右侧，与x轴交于点A，B（点B在点A的右边），且． （1）此抛物线的顶点坐标为 ． （2）当时，，则m的值为 ． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线的对称轴在轴的右侧，当时，的值随着值的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·重庆合川·期末）关于x的二次函数在y轴的右侧，y随x的增大而增大，且使得关于y的分式方程有非负数解的所有整数a的值之和 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和图象的顶点坐标． (2)若点在该二次函数图象上． ①当时，求的值． ②若，请根据图象直接写出的取值范围． 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）关于二次函数下列说法中错误的是（　　） A．用配方法可化成 B．将它的图象向下平移5个单位，会经过原点 C．函数有最小值，最小值为5 D．当时，y随x的增大而减小 【例3-2】（2023·九年级上·上海杨浦·）将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ． 【例3-3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出抛物线可由抛物线怎样平移得到． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）将抛物线向上平移个单位后，得到的图象不经过第四象限，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3-3】（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）已知二次函数． (1)请写出函数图象顶点坐标和对称轴∶ (2)当函数值y为正数时，自变量x的取值范围∶ (3)将该函数图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，求所得图象的函数表达式． 题型04 a，b与图像的关系 【典例分析】 【例4-1】．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数经过点，点，点，那么的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）若点，为二次函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是 ． 【例4-3】（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）已知关于 的二次函数． (1)求证：不论为任何实数，方程 总有实数根； (2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点 与 在抛物线上（点 不重合），且，求代数式 的值． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的二次函数．若和是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（a为常数，且） (1)若函数图象过点，求a的值； (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值． 【变式4-3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，连接．点M是线段上不与点O、B重合的点，过点M作轴，交抛物线于点D，交于点E．    (1)求抛物线的表达式； (2)过点D作，垂足为点F．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？ 题型05 a，c与图像的关系 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示是二次函数的图象，则的值是（     ）    A． B． C． D．或 【例5-2】（23-24九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数的图象如图所示．    (1)写出c的值； (2)求出函数的表达式． 【例5-3】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，点轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求点坐标，并结合图象写出时，的取值范围； 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）已知二次函数有最大值，且图象经过原点，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式5-2】（20-21九年级上·全国·单元测试）如图所示，抛物线的图象经过、两点． 求此抛物线的解析式； 求此抛物线的顶点坐标和对称轴； 观察图象，求出当取何值时，？ 【变式5-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知二次函数的图象经过点， (1)求的值； (2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (3)结合图象，直接写出当时，x的取值范围是______． 题型06 a，b，c与图像的关系 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·山东济南·期末）二次函数的图像如图所示，则下列结论中：①；②；③当时，；④当时，随的增大而减小，正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是 ． 【例6-3】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）已知二次函数． (1)当时，二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围； (2)若二次函数的部分图象如图所示， 求二次函数图象的对称轴； 求关于的一元二次方程的解． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 【变式6-2】（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【变式6-3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求y的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数图像与系数的六种关系 题型01 a与图像的关系 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向上，则， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A 【例1-2】（2024九年级·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【答案】# 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 【详解】解：由抛物线开口方向可知，为正数， 又由开口大小可得，， 故答案为： 【例1-3】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．    求的值，并画出它的图象； 【答案】 【分析】根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可； 【详解】解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示：    【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与和有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】解：∵①②开口向上，则， ∵②的开口最宽， ∴是②，是①， ∵③④开口向下，则， ∵④的开口最宽， ∴是④，是③， 综上，依次②①④③， 故选：B 【变式1-2】（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数，据此易求的取值范围． 【详解】解：如图，抛物线的开口方向向上，则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象．二次函数的系数为正数时，抛物线开口向上；为负数时，抛物线开口向下；的绝对值越大，抛物线开口越小 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 题型02 b与图像的关系 【典例分析】 【例2-1】（21-22九年级上·安徽合肥·开学考试）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象对称轴，增减性，解一元一次不等式的问题，根据题意可得二次函数图象的对称轴为，结合函数图象的增减性可得，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，，，， ∴图象开口向下，对称轴为， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得，， 故选： 【例2-2】（2023·九年级上·西藏日喀则·）已知抛物线的对称轴为直线．则m的值是（    ） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴为直线：， ∴ 解得： 故选：A 【例2-3】（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）抛物线的对称轴位于y轴的右侧，与x轴交于点A，B（点B在点A的右边），且． （1）此抛物线的顶点坐标为 ． （2）当时，，则m的值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）令，则．设，，则，．根据，得出，结合完全平方公式得出，求出a的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质可得当时，y取得最大值4．求出当时，，且，得出，则当时，，即可求解． 【详解】解：（1）令，则，即． 设，，则，． ， ， ， ， ． ∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧，即， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）， ∴当时，y取得最大值4． ∵当时，，且， ， ∴当时，， ， 或（舍去）． 故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴交点坐标的求法，将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的增减性 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线的对称轴在轴的右侧，当时，的值随着值的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出抛物线对称轴为直线，根据抛物线的对称轴在轴的右侧，可得，根据当时，的值随着值的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， 解得：， 又∵，抛物线开口向下， 当时，的值随着值的增大而减小， 则， 解得：， 综上所述，， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 【变式2-2】（23-24九年级上·重庆合川·期末）关于x的二次函数在y轴的右侧，y随x的增大而增大，且使得关于y的分式方程有非负数解的所有整数a的值之和 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，依据题意，解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案． 【详解】解分式方程可得， ∵关于y的分式方程有非负数解， ∴且， ∴且， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当，时，y随x的增大而增大． ∵在时，y随x的增大而增大， ∴，解得． 综上且， ∴满足条件的整数a的值为1，3，4，5，6． ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：19． 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和图象的顶点坐标． (2)若点在该二次函数图象上． ①当时，求的值． ②若，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． （1）把点代入中，即可求出； （2）①把代入解析式即可求的值； ②由，在此范围内求即可． 【详解】（1）把点代入中， ， ， 顶点坐标为； （2）①把代入，可得：， ②，对称轴为， ． 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）关于二次函数下列说法中错误的是（　　） A．用配方法可化成 B．将它的图象向下平移5个单位，会经过原点 C．函数有最小值，最小值为5 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．运用配方法把一般式化为顶点式，由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标；令可求得与y轴的交点坐标；则可得出答案． 【详解】解：，故A正确，不符合题意； ∴其对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值，最小值为，当时，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意； 令可得， ∴与y轴的交点坐标为， ∴将它的图象向下平移5个单位，会经过原点，故B正确，不符合题意； 故选：C 【例3-2】（2023·九年级上·上海杨浦·）将抛物线向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ． 【答案】2 【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案． 【详解】解：∵， ∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为， ∴此时顶点坐标为． ∵此时它的顶点恰好落在x轴上， ∴， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键 【例3-3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出抛物线可由抛物线怎样平移得到． 【答案】抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，抛物线可由向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移，解题关键是理解抛物线的性质及掌握抛物线平移规律．先将抛物线经配方转换为，即可直接根据表达式判断抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标；另根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”即可得出到的平移过程． 【详解】解：依题得抛物线， 则可根据抛物线性质得： 抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”， 可由向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，熟练掌握图象与系数的关系是关键．先根据题意判断 ，再判断经过的象限． 【详解】∵将抛物线向右平移个单位，得到抛物线， ∴对称轴在y轴的右侧，且交于y轴的正半轴， ∴， ∴的图象过第一、二、四象限． 故选：C 【变式3-2】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）将抛物线向上平移个单位后，得到的图象不经过第四象限，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据将抛物线向上平移个单位后，得到的图象不经过第四象限可知，即可得出结果． 【详解】解：∵将抛物线向上平移个单位后，得到的图象不经过第四象限， ∴， ∴， ∴的值可能是7， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 【变式3-3】（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）已知二次函数． (1)请写出函数图象顶点坐标和对称轴∶ (2)当函数值y为正数时，自变量x的取值范围∶ (3)将该函数图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，求所得图象的函数表达式． 【答案】(1)，直线 (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，对称轴，平移，不等式解集的确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）化成顶点式，确定对称轴和顶点坐标即可． （2）求得的两个根，进而即可求解． （3）根据右减上加的平移规律，即可求解． 【详解】（1）∵． ∴对称轴为直线，顶点为． （2）根据题意，得， 解得， ∵开口向上， 故当或时，． （3）∵． 平移后的解析式为即 题型04 a，b与图像的关系 【典例分析】 【例4-1】．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数经过点，点，点，那么的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为， 抛物线上点到对称轴距离越近，函数值越大， 二次函数经过点，点，点， 三个点到对称轴的距离为， ， 故选：B． 【例4-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）若点，为二次函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线开口向上，对称轴为直线，则点关于直线的对称点在抛物线上，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上， ∴点关于直线的对称点在抛物线上， ， ， 故答案为： 【例4-3】（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）已知关于 的二次函数． (1)求证：不论为任何实数，方程 总有实数根； (2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点 与 在抛物线上（点 不重合），且，求代数式 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)24 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象与性质等知识； （1）用根的判别式可以直接证明； （2）令，方程可以化为，解得或，又为正整数，可以求解的值，进而可求出函数解析式；点、在抛物线上，且，可将代入解析式联立方程，用含的式子表示出，然后带入代数式化简求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵ ∴此方程总有实数根； 综上，不论为任何实数时，方程总有实数根． （2）解：令，则有 解得：，， 因为抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数， 所以， 所以抛物线为． ∵点、在抛物线上，且， ∴ ∴ 即：， ∵、不重合， ∴， ∴ ∴ 所以代数式 的值为24 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的二次函数．若和是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的解析式可知开口方向和对称轴为直线，根据函数的对称性和增减性即可求解；熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数． ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵和是抛物线上的两点， ∴当时，， ∵抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∴时，m的取值范围为或； 故选：C． 【变式4-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（a为常数，且） (1)若函数图象过点，求a的值； (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的表达式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入表达式求解即可； （2）分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：函数图象过点得 解得： （2）由可知对称轴为直线 ①当时，开口方向向上，当时 当时取最小值，当时取最大值 ， 解得，满足题意． ②当时，开口方向向下，当时 当时取最大值，当时取最小值 ， 解得  满足题意． 综上所述：． 【变式4-3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，连接．点M是线段上不与点O、B重合的点，过点M作轴，交抛物线于点D，交于点E．    (1)求抛物线的表达式； (2)过点D作，垂足为点F．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的表达式为： (2)当时，有最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式． （2）先求出B,C所在直线解析式可得，通过可表示长度的代数式，再配方求解即可． 【详解】（1）把点，点分别代入中，得： 解得： 抛物线的表达式为：． （2）把代入中， 得： 设所在直线解析式为, 把代入中， 得： 解得 设, 则， 轴 又 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值 题型05 a，c与图像的关系 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示是二次函数的图象，则的值是（     ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点，把点代入函数解析式得，解得的值． 【详解】解：由图象得，此二次函数过原点， 把点代入函数解析式得，解得； 又因为此二次函数的开口向上，所以； 所以． 故选：C． 【例5-2】（23-24九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数的图象如图所示．    (1)写出c的值； (2)求出函数的表达式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）将点代入即可求出c； （2）把点代入即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点； ∴将点代入得； ． （2）解：设函数的表达式为； ∵函数图象经过点； ∴把点代入得； ； ∴函数的表达式为： 【例5-3】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，点轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求点坐标，并结合图象写出时，的取值范围； 【答案】(1)； (2)，或． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数解答，即可求解； （2）根据当时，，求出点，进而根据图象可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）已知二次函数有最大值，且图象经过原点，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的基本性质，根据二次函数有最大值得出，根据二次函数图象经过原点得出，即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的解析式为：有最大值， ， ， 二次函数的图象经过原点， ， 或， ， ． 故选：C 【变式5-2】（20-21九年级上·全国·单元测试）如图所示，抛物线的图象经过、两点． 求此抛物线的解析式； 求此抛物线的顶点坐标和对称轴； 观察图象，求出当取何值时，？ 【答案】 ；抛物线的对称轴是直线；顶点坐标是； 当取或时，． 【分析】（1）把A点和B点坐标代入得到关于a、c的方程组，然后解方程组求出a、c即可得到抛物线解析式； （2）把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解； （3）先通过解方程 得到抛物线与轴的另一个交点的坐标为．然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】∵二次函数的图象经过、， ∴，解得 ∴此二次函数的解析式是； ∵， ∴抛物线的对称轴是直线；顶点坐标是； 当时，，解得，，即抛物线与轴的另一个交点的坐标为． 所以当取或时，． 【点睛】待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键 【变式5-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知二次函数的图象经过点， (1)求的值； (2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (3)结合图象，直接写出当时，x的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象的对称性可得出抛物线的对称轴； （3）观察函数图象，结合方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：将，代入二次函数得：， 解得：， ； （2）解：如图，直线为所求对称轴， ， 由（1）得二次函数的解析式为， 可以得出顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：令，则， 解得：或， 结合图象得：或时，， 故答案为：或 题型06 a，b，c与图像的关系 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·山东济南·期末）二次函数的图像如图所示，则下列结论中：①；②；③当时，；④当时，随的增大而减小，正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定、、的符号，根据对称轴和图像确定时，的范围，根据二次函数的性质确定增减性．掌握二次函数的图像和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：①∵二次函数的图像开口向上， ∴， ∵二次函数图像的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故结论①不正确； ②∵，， ∴，故结论②不正确； ③∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：，该图像与轴的位于对称轴左边的交点的坐标为， ∴该图像与轴的位于对称轴右边的交点的坐标为， ∴当时，， ∴当时，，故结论③正确； ④∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：， ∴当时，随的增大而增大，故结论④不正确， ∴正确的个数是个． 故选：A 【例6-2】（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向判断①，与轴的交点个数，判断②，特殊点判断③，最值判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴；故①正确； ∵抛物线与轴没有交点， ∴；故②错误； ∵顶点坐标为，图象过， ∴， 两式相减，得：， ∴；故③正确； ∵当时值最小， ∴，故④正确； 故答案为：①③④ 【例6-3】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）已知二次函数． (1)当时，二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围； (2)若二次函数的部分图象如图所示， 求二次函数图象的对称轴； 求关于的一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)直线；， 【分析】（）将代入二次函数中，然后根据当时，二次函数 的图象与轴有两个交点，可知 ，然后即可求得的取值范围； （）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴； 根据图象与轴的一个交点和二次函数的性质，可以写出该函数图象与轴的另一个交点，然后即可写出关于的一元二次方程的解； 本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合熟练掌握以上知识的应用． 【详解】（1）当 时，， ∵当时，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴， 解得； （2）∵， ∴二次函数的图象的对称轴是直线； 由图象可知：二次函数的图象与轴交于点(1,0), 由知，该函数的对称轴为直线， ∴该函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的解是， 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， A．该函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴位于轴右侧， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B．由图象可得：当时，不一定大于，故此选项不符合题意； C．该函数图象与轴交于正半轴， ∴，而， ∴， ∴错误，即错误；故此选项不符合题意； D．该函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即，故选项符合题意． 故选：D 【变式6-2】（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向和图象与轴的交点位置判断①；对称轴判断②和③，图象与轴的交点个数，判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交于正半轴， ∴， ∴；故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴；故②正确； ∴；故③正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴；故④错误； 故答案为：①②③ 【变式6-3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由题意知，抛物线经过，三点，将三点坐标代入，计算求解即可； （2）由，可得对称轴为直线，图象开口向上，由二次函数的图象与性质可知，当时，最小的函数值在顶点取到，在时，取到函数的最大值，然后计算作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线经过，三点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵， ∴对称轴为直线，图象开口向上， ∴由二次函数的图象与性质可知，当时，最小的函数值在顶点取到，即， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$