第13讲 二次函数与一元二次方程、不等式（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第13讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 一元二次不等式的概念 2 题型02 一元二次不等式的解法 5 题型03 含参的一元二次不等式的解法 7 易错归纳 9 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 24 一、一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个________，并且未知数的最高次数是__________的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 二、一元二次不等式的解法 1．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使______________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的________． 2. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 题型01一元二次不等式的概念 【解题策略】 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数 【典例分析】 【例1】下列不等式中是一元二次不等式的为(　　) A．ax2＋2x＋1>0 B．x2－y>0 C．－x2－3x<0 D.>0 【变式演练】 【变式1】若把ab≠0，a2b＋2ab2＋9>0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为________． 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型02 一元二次不等式的解法 【解题策略】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．结合图象写出不等式的解集 【典例分析】 【例2】解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 【变式演练】 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (2)(2－x)(x＋3)<0. 【变式3】（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 题型03 含参的一元二次不等式的解法 【解题策略】 在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 【典例分析】 【例3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0)． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·四川泸州·期中）已知：，集合B是关于x的不等式的解集，若，则实数m的取值范围为 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：. 易错点 忽略对二次项系数的讨论致错 【例】解关于的不等式. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2022高一上·全国·专题练习）设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 二、多选题 5．（23-24高一下·江西·开学考试）已知：，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·山东日照·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 8．（20-21高一·全国·课后作业）写出一个解集为的一元二次不等式： ． 9．（23-24高一上·广东江门·期末）一元二次不等式的解集为 . 四、解答题 10．（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）不等式的解为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一上·广西柳州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 4．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）已知m，且，对于任意均有，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 8．（20-21高一上·北京丰台·期中）已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 . 9．（22-23高一上·全国·期末）如果对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 11．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数，其中. (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一上·北京·阶段练习）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 2．（23-24高一上·重庆·期中）若不等式的解集为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 三、填空题 3．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围是 ； 四、解答题 4．（2023高一上·全国·专题练习）解下列关于的不等式的解集 (1)（）. (2)（）. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 一元二次不等式的概念 2 题型02 一元二次不等式的解法 5 题型03 含参的一元二次不等式的解法 7 易错归纳 9 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 24 一、一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 二、一元二次不等式的解法 1．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2. 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 题型01一元二次不等式的概念 【解题策略】 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数 【典例分析】 【例1】下列不等式中是一元二次不等式的为(　　) A．ax2＋2x＋1>0 B．x2－y>0 C．－x2－3x<0 D.>0 答案　C 解析　由一元二次不等式定义可知，C正确． 【变式演练】 【变式1】若把ab≠0，a2b＋2ab2＋9>0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为________． 答案　b 解析　由ab≠0知，b≠0且a≠0， a2b＋2ab2＋9>0可化为ba2＋2b2a＋9>0， 故a的二次项系数为b. 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 【答案】⑥⑦ 【分析】根据一元二次不等式的定义逐一分析每个选项即可. 【详解】①不是，是二元一次不等式； ②不一定是，当时是一元二次不等式，当时不是一元二次不等式； ③不是，未知数的最高次数是； ④不是，是二元二次不等式； ⑤不一定是，原因同②； ⑥是，因为，二次项系数非零，也符合一元二次不等式的定义； ⑦是，因为符合一元二次不等式的定义． 故答案为：⑥⑦ 【变式3】（21-22高一上·全国·课后作业）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)不是 (6)不是 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据一元二次不等式的定义判断. 【详解】（1）符合一元二次不等式的定义，所以（1）是一元二次不等式. （2）符合一元二次不等式的定义，所以（2）是一元二次不等式. （3）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. （4）不是，因为x的最高次数为3，不符合一元二次不等式的定义. （5）不是，因为当时，它为一元一次不等式；当时，它为二元二次不等式. （6）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义 题型02 一元二次不等式的解法 【解题策略】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．结合图象写出不等式的解集 【典例分析】 【例2】解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 解　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．结合图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 结合图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．结合图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 【变式演练】 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可化为，解得， 故不等式的解集为. 故选：D. 【变式2】解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (2)(2－x)(x＋3)<0. 解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． 【变式3】（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）首先将式子因式分解，再解得即可. 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集为 题型03 含参的一元二次不等式的解法 【解题策略】 在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 【典例分析】 【例3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0)． 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 【变式2】（23-24高一上·四川泸州·期中）已知：，集合B是关于x的不等式的解集，若，则实数m的取值范围为 【答案】 【分析】由可得，分别研究、、时满足的m的值即可. 【详解】因为，所以， 所以①当时，解得，此时，满足，所以符合. ②当，即或， 当时，不等式变为，解得，此时，不满足，所以不符合； 当时，不等式变为，解得，此时，满足，所以符合. ③当，即或， 令，设的两个不等的实根为，，（）， 则， 因为，所以在上有两个不等的实根， 所以，解得， 综述：. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或 易错点 忽略对二次项系数的讨论致错 【例】解关于的不等式. 【思路分析】由题意，可分五种情况讨论，即可得到不等式的解集. 【解析】（1）当时，原不等式的解集为. （2）当时，原不等式可化为，方程 的解为. ①当 时，原不等式的解集为 ②当时，若，则原不等式的解集为，若，则原不等式的解集为，若，则原不等式的解集为 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 4．（2022高一上·全国·专题练习）设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 【答案】B 【分析】 对于选项A、B，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；对于选项C，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；举出反例可判断选项D. 【详解】 因为，，， 设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一下·江西·开学考试）已知：，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】解出一元二次不等式，再根据充分不必要条件的判定即可. 【详解】由，解得，设：， 成立的一个充分不必要条件为集合，则且， 所以和都是的充分不必要条件. 故选：BD. 6．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对进行分、和讨论即可. 【详解】当时，此时解集为； 当时，此时解集为； 当时，此时解集为； 故选：CD. 三、填空题 7．（23-24高一上·山东日照·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】根据一次不等式的解集可得且，代入二次不等式运算求解即可. 【详解】若关于的不等式的解集是，则2为方程的根，且， 可得且，即且， 则关于的不等式即为，且， 可得，解得或， 所以关于的不等式的解集是或. 故答案为：或. 8．（20-21高一·全国·课后作业）写出一个解集为的一元二次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一元二次不等式的解法，即可写出不等式，得到答案. 【详解】由一元二次不等式的解法可知，解集为的一元二次不等式可以是. 故答案为：.（答案不唯一） 9．（23-24高一上·广东江门·期末）一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【分析】转化为标准一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可. 【详解】由可得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】把一元二次不等式的左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集. 【详解】（1）由可得，则得或， 故不等式的解集为； （2）由可得，则得, 故不等式的解集为. 11．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为； （3）不等式， 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）不等式的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】直接求解二次不等式即可. 【详解】不等式的解为. 故选：A. 2．（23-24高一上·广西柳州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分性与必要性的定义即可求解判断. 【详解】由题意知， 充分性：当时，则，故充分性满足； 必要性：当时，则或，故必要性不满足； 综上可知“”是“”的充分不必要条件，故B正确. 故选：B. 3．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据不等式特点对参数进行分类讨论，当时，不等式为一元一次不等式，直接求解即可；当时，不等式为一元二次不等式，需结合一元二次不等式对应的一元二次方程及二次函数即可求解. 【详解】根据题意，当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式可化为， 当时，不等式对应的二次函数为，开口向上，对应方程根为和， 又因为当时，，所以不等式的解集为； 当时，不等式对应的二次函数为，开口向下，对应方程根为和， 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集不可能是. 故选：D. 4．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）已知m，且，对于任意均有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析题意进行解答，进行分类讨论，，三种情况，分别讨论得出满足在恒成立时，只有. 【详解】当时，在上，恒成立，所以只需满足恒成立，此时，由二次函数图象可知，只有时满足，而不满足条件； 当时，在上，恒成立，所以只需满足恒成立，此时等于0的方程两根分别为和， ①当时，此时，当时，不恒成立； ②当时，此时，若满足恒成立，只需满足； ③当时，此时，满足恒成立． 综上可知，满足在恒成立时，只有． 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】解一元二次不等式，即可求出A、C选项的解集；B选项，分和两种情况讨论；D选项，利用基本不等式证明该不等式恒成立. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，时，恒成立， 时，恒成立，所以解集为，故B正确； C选项，或，故C错误； D选项，， 当且仅当即时，等号成立， 所以恒成立，解集为，故D正确； 故选：BD. 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分，，，讨论即可. 【详解】由题意，对应的二次方程有两根， 当时，开口向下，，解集为， 当时，开口向上，，解集为， 当时，开口向上，，解集为， 当时，开口向上，，解集为. 故选：BCD 三、填空题 7．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据的解集可得，代入整理后直接求解可得. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，，即， 所以， 解得，即不等式的解集为. 故答案为： 8．（20-21高一上·北京丰台·期中）已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 . 【答案】 【解析】由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解. 【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得， ，， 可变为，即，解得. 故答案为：. 9．（22-23高一上·全国·期末）如果对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据数轴的距离确定当时，最小为，得到，解得答案. 【详解】表示数轴上到距离之和， 当时，最小为， 故，解得. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据、和分类讨论解不等式即可. 【详解】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 11．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数，其中. (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可以先求出的值，然后直接解一元二次不等式即可. （2）当时，不等式变为了，首先讨论当时的情形，然后再分别讨论时的情形，在讨论时，还要继续对进行分层讨论，由此即可得解. 【详解】（1）由题意若不等式的解集为， 则当且仅当， 即，解得， 此时不等式变为了， 即，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）当时，不等式变为了， 当时，不等式变为了， 解不等式得，此时不等式的解集为； 当时， 分以下两种情形来讨论： 情形一： 令，得，此时有， 此时方程有两个不相等的实数根， 而此时二次函数开口向上， 又， 所以当时，不等式的解集为. 情形二： 令，得，此时只需即可， 此时方程有两个相等的实数根或者无解， 而此时二次函数开口向上， 即不等式恒成立， 所以此时不等式无解，即此时不等式的解集为. 当时， 分以下两种情形来讨论： 情形一： 令，得，此时只需即可， 此时方程有两个不相等的实数根， 而此时二次函数开口向下， 又，所以此时不等式的解集为. 情形二： 令，得，又，故产生矛盾,即此种情形不可能成立. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是求出参数的值，至于第二问的关键是在对时的讨论中，还需对继续进行分层讨论. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一上·北京·阶段练习）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解得或，根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】解得或， 所以“”“”，“”“”， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 二、多选题 2．（23-24高一上·重庆·期中）若不等式的解集为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求出，即可判断ABC，根据一元二次不等式解法即可判断D. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，故A正确； 因为的两个根是，所以， 所以，则，，故BC错误； 将代入得，即， 解得或，故D错误. 故选：BCD. 三、填空题 3．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】分类讨论求解不等式组，结合解集为空集列式求解即可. 【详解】当时，不等式无解，此时不等式组的解集为空集，则； 当时，不等式组化为，显然此时不等式组解集不为空集，即不成立； 当时，不等式组化为，要此不等式组无解， 当且仅当，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 4．（2023高一上·全国·专题练习）解下列关于的不等式的解集 (1)（）. (2)（）. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由求根公式求出方程的两根，分和两种情况讨论即可. （2）首先讨论时的情形，然后由求根公式求出方程的两根，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）方程： 且 解得方程两根：； 当时，原不等式的解集为： 或； 当时，原不等式的解集为： 综上所述, 当时，原不等式的解集为： 或； 当时，原不等式的解集为： （2）当时，，∴，则的解集为. 当时，解，得， ①当时，，则的解集为. ②当时，（1），即，则可化简为，此时不等式无解； （2），即，则的解集为； （3），即，则的解集为； 综上：（1）时，解集为； （2）当时，解集为； （3）当时，无解； （4）当时，解集为； （5）当时，解集为. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·安徽黄山·阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】（1）设草坪的长为米，宽为米，根据面积得到关于的等量关系，再结合长比宽至少多米得到关于的不等式，由此求解出结果； （2）设整个绿化面积为平方米，根据图形列出的表达式，然后结合已知条件利用基本不等式求解出的最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$