第12讲 基本不等式在实际问题中的应用（两大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第12讲 基本不等式在实际问题中的应用 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 基本不等式在生活中的应用 1 题型02 基本不等式在几何中的应用 4 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 14 创新拓展 21 题型01基本不等式在生活中的应用 【解题策略】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值．利用基本不等式求最值； (3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论． 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·四川成都·期中）石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为 元． 【变式3】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 题型02 基本不等式在几何中的应用 【解题策略】 　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 【典例分析】 【例2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ． 【变式2】（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）某小区要建一座八边形休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺设草坪，造价为每平方米80元.设（米），则总造价为（万元）的最小值为 .    【变式3】（23-24高一上·甘肃白银·期末）某地欲修建一个的长方形休闲广场，如图所示，场地上､下两边要留空白，左､右两侧要留空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？    【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 2．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 3．（23-24高一上·江苏扬州·期末）某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 4．（22-23高一上·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·山西·期中）已知，且，则（    ） A．的取值范围为 B．的最小值为8 C．无最小值 D．的最小值为16 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下面命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 7．（22-23高一上·云南保山·期中）若某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间（单位：年）的关系为，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大． 8．（23-24高一上·安徽宿州·期中）最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米. 9．（23-24高一上·福建三明·期中）用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 11．（23-24高一上·新疆·期中）求最值问题． (1)已知的最小值； (2)用一段长为篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积为多少？ 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 2．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）用长度为24米的材料围城一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（     ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 3．（23-24高一上·安徽·阶段练习）如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高一上·福建福州·期中）将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 6．（23-24高一上·福建福州·期中）小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2023高一·全国·课后作业）用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为 ． 8．（22-23高一上·天津南开·期末）用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20米，当这个矩形宽为 米时，菜园的面积为最大，最大面积为 平方米． 9．（22-23高一上·广东梅州·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的长（平行于墙面的边）为 时，菜园的面积最大，最大面积是 . 四、解答题 10．（23-24高一上·广西梧州·阶段练习）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)用x表示一年购买的总次数. (2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？ 11．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 二、填空题 2．（23-24高一上·四川·阶段练习）用长为20cm的铁丝围成矩形，则该矩形面积的最大值为 . 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 ． 三、解答题 4．（23-24高一上·河北邯郸·期中）如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 基本不等式在实际问题中的应用 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 基本不等式在生活中的应用 1 题型02 基本不等式在几何中的应用 4 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 14 创新拓展 21 题型01基本不等式在生活中的应用 【解题策略】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值．利用基本不等式求最值； (3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论． 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克， ，解得， ，当且仅当时，取到等号， 由于，所以. 故选：B 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可. 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·四川成都·期中）石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为 元． 【答案】15 【分析】结合已知条件，求出利润的解析式，然后结合换元法和基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知，利润，， 不妨令， 则利润， 当且仅当时，即时，即时，不等式取等号， 故销售价格每件应定为15元. 故答案为：15. 【变式3】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元 【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元． 题型02 基本不等式在几何中的应用 【解题策略】 　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 【典例分析】 【例2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据已知结合半圆的面积公式得出，即可根据勾股定理得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】设，，， 以斜边为直径的半圆弧长为， 则，即， 为直角三角形， ，即， 则， 即，当且仅当时，等号成立， 则，即周长的最大值为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）某小区要建一座八边形休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺设草坪，造价为每平方米80元.设（米），则总造价为（万元）的最小值为 .    【答案】11.8 【分析】依题意列出总造价与的长之间的关系式，可解得，利用基本不等式即可求得最小值为万元. 【详解】根据题意可得，可得； 易知，解得； 因此总造价为 当且仅当，即时，等号成立； 所以总造价为的最小值为万元； 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·甘肃白银·期末）某地欲修建一个的长方形休闲广场，如图所示，场地上､下两边要留空白，左､右两侧要留空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？    【答案】长为，宽为 【分析】设出休闲广场用地的长和宽，写出长方形用地的面积，进而利用基本不等式求出最值即可. 【详解】设休闲广场用地的宽为，则长为，所以长方形用地的宽为，长为， 则长方形用地的面积为， 当且仅当，即时，等号成立，此时的长方形用地的长为，宽为. 所以应选择的长方形用地满足长为，宽为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】根据题意，得到，平均损耗蔬菜量之和为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设安排男社员名，女社员名， 根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15. 故选：B. 2．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 3．（23-24高一上·江苏扬州·期末）某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设天平的左臂长为，右臂长为（不妨设）， 第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为， 由杠杆平衡的原理，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以顾客所得的黄金不小于20克. 故选：D. 4．（22-23高一上·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式的应用即可求解. 【详解】设矩形菜园中平行于墙的边长度为，垂直于墙的边长度为，菜园面积， 则，当且仅当时取等号. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高一上·山西·期中）已知，且，则（    ） A．的取值范围为 B．的最小值为8 C．无最小值 D．的最小值为16 【答案】ABD 【分析】由基本不等式知识求解. 【详解】对于A项：因为：，所以．因为，所以，故A项正确． 对于B、C项：，即，解得， 当且仅当时，等号成立，故B项正确，C项错误． 对于D项：，即，解得， 即，当且仅当时，等号成立，故D项正确． 故选：ABD. 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下面命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断. 【详解】对于A，，，则，即，故A正确； 对于B，，，又，所以，故B错误； 对于C，，，即，故C正确； 对于D，，，， ，，则，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（22-23高一上·云南保山·期中）若某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润（单位：万元）与机器运转时间（单位：年）的关系为，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大． 【答案】5 【分析】先求出年平均利润关于机器运转时间的解析式，再利用基本不等式求解最值. 【详解】每台机器运转年的平均利润为，且， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元. 故答案为:5. 8．（23-24高一上·安徽宿州·期中）最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米. 【答案】 【分析】利用基本不等式、勾股定理求得正确答案. 【详解】设直角三角形框架的直角边为，为正实数， 则， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 9．（23-24高一上·福建三明·期中）用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为 ． 【答案】 【分析】设出窗户的长，再根据已知表示出宽，算出面积，结合基本不等式求出最值即可. 【详解】设窗户的长为米，则宽为米，面积为. 则， 当且仅当时，即米时，窗户面积最大，透过的光线最多，此时，宽为； 所以窗户的长与宽之比为. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少. 【分析】（1）表示出矩形宣传栏的长和宽，然后根据面积公式可得； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式将（1）中等式转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有， 整理得. （2）由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 11．（23-24高一上·新疆·期中）求最值问题． (1)已知的最小值； (2)用一段长为篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当矩形菜园平行于墙的一边长为，与之相邻的边长为时，菜园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值； （2）根据题意设矩形两边，利用基本不等式求面积的最大值即可. 【详解】（1）因为，则， 当且仅当，即时等号成立, 所以的最小值为. （2）设矩形菜园平行于墙的一边长为，与之相邻的边长为，菜园的面积为， 则，. 因为，所以，即， 由基本不等式得. 当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是. 因此，当矩形菜园平行于墙的一边长为，与之相邻的边长为时，菜园的面积最大，最大面积是. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，，故， ， 故， 故选：C 2．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）用长度为24米的材料围城一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（     ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【分析】设隔墙长度为，场地面积为，构建出函数表达式，利用基本不等式即可. 【详解】设隔墙长度为，场地面积为， 则， ∴当且仅当时，有最大值18， 故选：A. 3．（23-24高一上·安徽·阶段练习）如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式解决实际问题即可； 【详解】设一个正方形的边长为x，面积之和为y， 则另一个正方形的边长为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故两个正方形面积之和的最小值为 故选：D 4．（23-24高一上·福建福州·期中）将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形的两条直角边为，从而得到周长为，再利用均值不等式即可得解. 【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为， 则，则， 此时三角形框架的周长， 当且仅当时，等号成立， 由于，所以. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】由可知A正确；利用基本不等式可直接构造不等式求得B正确；将已知等式变形为，利用基本不等式可构造不等式求得C错误；由，利用基本不等式可求得D错误. 【详解】对于A，由得：， ，，又，，，A正确； 对于B，， ，解得：， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，B正确； 对于C，由得：， 由A知：，，即， ，即， 又，，则（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，C错误； 对于D，由C知：，（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，D错误. 故选：AB. 6．（23-24高一上·福建福州·期中）小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】依题意得到，结合基本不等式即可得解. 【详解】依题意，设两次花费的钱数为， 则两次购物的平均价格为，故A错误，B正确； 又，所以， 根据基本不等式及其取等号的条件可得， 所以，即，故C正确，D错误； 故选：BC． 三、填空题 7．（2023高一·全国·课后作业）用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为 ． 【答案】 【分析】设矩形场地的长为米，则矩形的宽为米，可得矩形的面积为平方米，利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】设矩形场地的长为米，则矩形的宽为米，且， 所以矩形的面积为平方米， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以矩形的最大面积为平方米. 故答案为：平方米. 8．（22-23高一上·天津南开·期末）用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20米，当这个矩形宽为 米时，菜园的面积为最大，最大面积为 平方米． 【答案】 9 162 【分析】设矩形菜园平行于墙的一边的长为米，与之相邻的边的长为米，由题意得出，利用基本不等式可求出菜园面积的最大值，利用等号成立的条件可求出矩形的边长，进而可得出结论. 【详解】设矩形菜园平行于墙的一边的长为米，与之相邻的边的长为米，菜园的面积为平方米， 则，. 由基本不等式得. 当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是平方米. 因此，当矩形菜园的长为米，宽为米时，菜园的面积最大，最大面积是162平方米， 故答案为：9；162. 9．（22-23高一上·广东梅州·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的长（平行于墙面的边）为 时，菜园的面积最大，最大面积是 . 【答案】 【分析】设矩形的长为米，且，由菜园的面积为，结合基本不等式求最大值，并确定取值条件. 【详解】设矩形的长为米，则， 菜园的面积为， 当且仅当，即时等号成立， 所以这个矩形的长为时，菜园的最大面积是. 故答案为：， 四、解答题 10．（23-24高一上·广西梧州·阶段练习）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元. (1)用x表示一年购买的总次数. (2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)20吨，160万元 【分析】（1）直接求解即可； （2）求出函数解析式，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）由一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，知一年购买的总次数次； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为y万元， 则，当且仅当即时，等号成立， 因此，每次购买20吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小，最小值为160万元. 11．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【答案】(1)320 (2)售价为145，利润最大，最大值为80元 【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 二、填空题 2．（23-24高一上·四川·阶段练习）用长为20cm的铁丝围成矩形，则该矩形面积的最大值为 . 【答案】25 【分析】设矩形的长为，宽为，则，从而利用基本不等式求面积最大值. 【详解】设矩形的长为，宽为，则，即，从而面积， 当且仅当取等，即矩形面积的最大值为， 故答案为：25. 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由海伦秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值． 【详解】由，，可得， 则， 当且仅当时，取得等号， 所以此三角形面积的最大值为． 故答案为：． 三、解答题 4．（23-24高一上·河北邯郸·期中）如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，再结合题干的数据可求绿化带面积； （2）利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）因为矩形ABCD的面积为，，所以， 两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形， 则，解得， 则绿化带面积为； （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以绿化带面积的最大值为. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）解一元二次不等式即可得解. （2）分类讨论求解一元二次不等式. 【详解】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：， 当时，， 当时，解得或， 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$